Phys. N° 06

Energie cinétique. Cours.

 

 

I - Introduction .

II - Energie cinétique d'un solide .

III - Variation de l'énergie d'un solide en translation..

IV - Théorème de l'énergie cinétique .

V - Energie liée à l'altitude.

VI - Etude énergétique de la chute libre.

 

VII - Applications.

Exercices

1)- Exercice 6 page 124.

2)- Exercice 9 page 125.

3)- Exercice 13 page 125.

4)- Exercice 15 page 125.

5)- Exercice 17 page 126. Facultatif

6)- Exercice 27 page 129. Facultatif

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

Energie cinétique de translation ; Energie cinétique de rotation ; Energie Potentielle ; Energie mécanique ; Théorème de l'énergie cinétique ; chute libre ; lois de la chute libre ; Energie et travail d'une force ; ...

Moteur de Recherche sur le site   

Recherche Personnalisée

Mode d'emploi  

 

I- Introduction.

Lors de l’étude de la chute libre (voir TP Physique N° 07), on a déterminé l’expression du travail du poids.

1)- Expression du travail du poids.

-          Une balle de masse m tombe en chute libre d’une hauteur h.

-          Le travail du poids est donné par la relation suivante :

-           (1)

2)- Relation entre la vitesse et la hauteur h de chute.

-          Si la balle est en chute libre sans vitesse initiale, on trouve la relation suivante : v 2 =  2 g . h  (2)

-          Choix du repère : on repère l’altitude du centre d’inertie G de la balle sur un axe z’Oz ascendant et vertical.

-          L’origine O coïncide avec la position initiale de la balle : position de la balle au temps t = 0 s.

-          Lorsque la balle passe de la position O à la position M,

-          La hauteur de chute correspondante est h et au point M correspond l’altitude z M .

-          Avec z M = - h. La vitesse du mobile vaut alors : v M .

-          On peut écrire la relation suivante : vM 2 = 2 g . h = - 2 g . z M  (3)

 

-           Considérons deux point A et B d’altitudes respectives z A et z B telles que : z A > z B

-          Au point A d’altitude z A, on peut écrire que vA 2 = - 2 g . z A   (4)

-          Au point B d’altitude z B, on peut écrire que vB 2 = - 2 g . z B   (5)

-          Par différence entre (5) et (4) donne :

-      vB 2  vA 2  =  - 2 g . z B2 g . z A

-      vB 2  vA 2  =  2 g . (z A z B)

-          Lors de la chute libre d’un solide la variation du carré de la vitesse est proportionnelle à la dénivellation z A -  z B

-          On écrit que : 

-      Δv 2  =  vB 2  vA 2  =  2 g . (z A z B)  (6)

II- Énergie cinétique d’un solide.

1)- Relation entre le travail du poids et la vitesse.

-          Au cours de la chute libre d’un solide, lorsqu’il passe de l’’altitudes z A à l’altitude z B , la variation de la vitesse est donnée par la relation suivante :

-      Δv 2  =  vB 2  vA 2  =  2 g . (z A z B)  (6)

-          La valeur du travail du poids :

-         

-          Si on multiplie la relation par m et qu’on la divise par deux, on obtient la relation suivante :

-        

-          On trouve la relation suivante :

-        

-          On conclusion, on peut dire que l’expression  est homogène à une énergie.

2)- Énergie cinétique d’un solide en translation.

-          L’énergie cinétique est l’énergie que possède un solide du fait de son mouvement. 

-         Elle dépend de la vitesse et de la masse du solide.

-          Pour un solide animé d’un mouvement de translation, tous les points du solide ont à chaque instant la même vitesse que le centre d’inertie G :

-          L’énergie cinétique E C d’un solide en mouvement de translation est égale

-          au demi-produit de la masse m du solide

-          par le carré de la vitesse vG 2 du centre d’inertie du solide.

-          On écrit :

-        

-          Unités :

 E C  en joule J

m en kilogramme kg

v en mètre / seconde m / s

 

-          L’énergie cinétique caractérise un solide en mouvement. 

Elle est : 

-          Proportionnelle à la masse m du solide

-          Proportionnelle au carré de la vitesse du solide.

-          Elle dépend du référentiel d’étude.

III- Variation de l’énergie cinétique d’un solide en translation.

1)- Premier cas :

-          On lance un mobile autoporteur sur une table plane est horizontale.

-          Le mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme

-          D’après la réciproque du principe de l’inertie,

-          Dans un référentiel galiléen, si le centre d’inertie d’un solide est animé d’un mouvement rectiligne uniforme alors le solide est isolé ou pseudo-isolé

-          On écrit :

-          Conclusion :

-          Au cours du mouvement, l’énergie cinétique du solide reste constante.

-          D’autre part, le travail de la résultante des forces extérieures appliquées au solide est égal à zéro.

-          En conséquence, pas de variation d’énergie cinétique pas de travail de force extérieure.

2)- Deuxième cas :

-          Un mobile autoporteur est placé sur une table à digitaliser horizontale.

-          Il est attaché à un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible. 

-         On lance le mobile.

-          On remarque que le solide est animé d’un mouvement circulaire uniforme.

-          Bilan des forces :

-          Le mobile est soumis à son poids , la réaction du support  et la tension du fil .

-          Schéma :

-          On remarque que :

-            , le solide n’est ni isolé, ni pseudo-isolé.

-          La résultante des forces extérieures appliquée au solide est différente du vecteur nul :

-          On remarque que le vecteur vitesse du centre d’Inertie  garde la même valeur.

-          Par contre, la direction du vecteur vitesse change au cours du mouvement.

-          En conséquence le vecteur  varie au cours du mouvement.

-          L’énergie cinétique du solide ne varie pas au cours du mouvement.

-          Si on s’intéresse aux travaux des différentes forces, on remarque que :

-          Le poids est perpendiculaire au déplacement, de même que la réaction du support et la tension du fil.

-          En conséquence la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide est nulle.

3)- Troisième cas :

-          Un mobile autoporteur est placé sur une table à digitaliser horizontale.

-          À l’instant t = 0 s, on lâche le mobile autoporteur.

-          Il est entraîné dans son mouvement par la masse marquée qui est accrochée au fil.

 

-          Bilan des forces.

-          Le mobile est soumis à son poids , la réaction du support  et la tension du fil .

-          Schéma :

-          Conséquence : , le solide n’est ni isolé, ni pseudo-isolé.

-          La résultante des forces extérieures appliquée au solide est différente du vecteur nul :

-          On remarque que le vecteur vitesse du centre d’Inertie  garde la même direction et le même sens au cours du mouvement.

-          Par contre, la valeur de la vitesse change au cours du mouvement.

-          En conséquence le vecteur  varie au cours du mouvement.

-          L’énergie cinétique varie au cours du mouvement, elle augmente.

-          Pour le déplacement AB, la variation d’énergie cinétique est donnée par la relation :

-        

-          Travaux des différentes forces :

-          Le poids est perpendiculaire au déplacement, de même la réaction du support est perpendiculaire au déplacement.

-          La tension du fil est colinéaire au déplacement.

-          Pour un déplacement AB,

-        

-        

-        

-          L’expérience montre que :

-      

-          Lorsqu’une force travaille, l’énergie cinétique du solide varie.

4)- Conclusion :

Seule une force dont le travail n’est pas nul peut faire varier la valeur de la vitesse et de ce fait l’énergie cinétique du solide auquel elle s’applique.

 

IV- Théorème de l’énergie cinétique.

1)- Énoncé :

-          Dans un référentiel galiléen, 

-         la variation de l’énergie cinétique d’un solide en mouvement de translation entre deux instants t I et t F 

-         est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui lui sont appliquées entre ces deux instants.

-          On écrit :

-          Remarque : Le travail des forces extérieures peut faire varier l’énergie cinétique d’un solide.

-          On dit que le travail mécanique est un mode de transfert de l’énergie.

-          Si

-          Si

2)- Application :

-          Une bille d’acier de masse m = 200 g est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale v 0 = 6,0 m / s.

-          A quelle hauteur h la bille va-t-elle s’élever avant de retomber ? On donne : g = 9,8 m / s² et masse volumique de l’acier ρ = 7,8 g / cm3.

-          Solution :

-          Référentiel d’étude : le sol : référentiel terrestre supposé galiléen.

-          Le système d’étude : la bille d’acier.

-          Bilan des forces : Le poids , la poussée d’Archimède , les forces de frottements dues à l’air .

-          On peut considérer que les autres forces sont négligeables devant le poids de la bille.

-          Schéma de la situation :

-          Au point A, la bille est animée de la vitesse v 0 = 6,0 m / s et au point B, la bille est animée de ma vitesse v F = 0,0 m / s.

-          On peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique à la situation décrite :

-      

-          En conséquence :

-          Avec les notations utilisées :

-          On peut donner l’expression littérale de la hauteur h :

-      

-          Application numérique :

-      

V- Énergie liée à l’altitude.

1)- Situation problème :

-          Un voyageur déplace une valise pour la hisser dans un porte-bagage.

-          La valise passe de l’altitude z A, avec une vitesse nulle v A = 0,0 m / s  à l’altitude z B avec une vitesse nulle v B = 0,0 m / s.

-          Schéma de la situation :

-          Solution :

-          Référentiel d’étude : le sol : référentiel terrestre supposé galiléen.

-          Le système d’étude : la bille valise

-          Bilan des forces : Le poids , et la force exercée par le voyageur.

-          On peut considérer que les autres forces sont négligeables.

-          On peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique à la situation décrite :

-      

-          En conséquence :

-      

-      

-          On peut utiliser le fait que h = z B - z A avec l’axe z’z associé à la situation décrite.

-      

-          Le travail de la force  apparaît comme la différence de deux termes de la forme m . g . z.

-          Cette quantité s’exprime en joule, elle est homogène à un travail et aussi à une énergie.

-          La force  exercée par le voyageur fournit un travail, transféré à la valise sous forme d’énergie.

-          Cette énergie est liée à la position de la valise, c‘est de l’énergie potentielle de pesanteur.

2)- Énergie potentielle de pesanteur.

-          L’énergie potentielle de pesanteur d’un solide est l’énergie qu’il possède du fait de son interaction avec la Terre.

-          La valeur de cette énergie dépend de la position du solide par rapport à la Terre.

-          Expression : Ep = m . g . z.

m : masse de l’objet en kilogramme kg.

g : facteur d’attraction terrestre :  g = 9,81 N / kg ou g = 9,81 m / s².

z : altitude du centre d’inertie de l’objet en mètre m.

-          Remarque 1 : La valeur de l’énergie potentielle de pesanteur dépend de la valeur de z, elle dépend du choix de l’origine des altitudes.

-          L’énergie potentielle est définie à une constante additive près.

-          La différence d’énergie potentielle ne dépend pas du choix de l’origine.

-          Pour les exercices, on choisit l’origine la plus commode, celle qui simplifie les calculs.

VI- Étude énergétique de la chute libre.

1)- Situation problème.

-          On étudie la chute libre d’une balle de golf de masse m = 44 g (TP Physique N° 07).

-          Référentiel d’étude : le sol : référentiel terrestre supposé galiléen.

-          Le système d’étude : la bille d’acier.

-          Bilan des forces : Le poids  (chute libre)

-          Schéma de la situation :

-          On applique le théorème de l’énergie cinétique à la balle pour les deux positions A et B.

-      

-          En conséquence :

-      

-          On peut donner l’expression du travail du poids en utilisant l’altitude z des points utilisés :

-      

-          Le travail du poids sur le chemin AB est égal à la différence d’énergie potentielle de pesanteur entre les altitudes z A et z B.

-          On peut écrire que :

-      

-          La quantité E C + E P est une constante au cours du temps, au cours du mouvement du solide.  

Tableau de valeurs : chute libre d'une balle de golf (TP Physique N° 07

t

x

y

h

v

Ec

Ep

Em

s

m

m

m

m / s

J

J

J

0,000

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00E+00

0,00E+00

0,00E+00

0,040

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00E+00

-2,00E-03

-2,00E-03

0,080

0,00

0,00

0,00

0,06

7,34E-05

0,00E+00

7,34E-05

0,120

0,00

-0,01

0,01

0,52

5,95E-03

-3,99E-03

1,96E-03

0,160

0,00

-0,04

0,04

0,87

1,66E-02

-1,80E-02

-1,38E-03

0,200

0,00

-0,08

0,08

1,27

3,53E-02

-3,40E-02

1,37E-03

0,240

0,00

-0,14

0,14

1,68

6,20E-02

-6,17E-02

2,76E-04

0,280

0,00

-0,21

0,21

2,09

9,59E-02

-9,19E-02

3,93E-03

0,320

0,00

-0,31

0,31

2,49

1,36E-01

-1,34E-01

2,32E-03

0,360

-0,01

-0,41

0,41

2,89

1,83E-01

-1,78E-01

5,59E-03

0,400

0,00

-0,54

0,54

3,30

2,40E-01

-2,34E-01

6,06E-03

0,440

0,00

-0,68

0,68

3,59

2,83E-01

-2,92E-01

-8,65E-03

0,480

-0,01

-0,83

0,83

3,93

3,39E-01

-3,57E-01

-1,85E-02

0,520

-0,01

-0,99

0,99

4,40

4,26E-01

-4,27E-01

-1,40E-03

0,560

-0,01

-1,18

1,18

4,88

5,23E-01

-5,09E-01

1,35E-02

0,600

-0,01

-1,38

1,38

5,25

6,06E-01

-5,96E-01

1,07E-02

0,640

-0,01

-1,60

1,60

5,63

6,96E-01

-6,91E-01

5,47E-03

0,680

-0,01

-1,83

1,83

6,00

7,92E-01

-7,90E-01

2,10E-03

0,720

-0,01

-2,08

2,08

6,50

9,30E-01

-8,98E-01

3,17E-02

0,760

-0,01

-2,35

2,35

 

 

 

 

-          Graphe : 

 

-          Cette quantité représente l‘énergie mécanique du système et se note E m.

-          Définition de l’énergie mécanique d’un solide :

-          L’énergie mécanique d’un solide est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.

-          Relation : E m.= E C +  E P.

-          Remarque 1 : lors de la chute libre, l’altitude du solide diminue, en conséquence, son énergie potentielle diminue.

-          Simultanément, sa vitesse augmente et de ce fait, son énergie cinétique augmente.

-          Remarque 2 : Au cours du mouvement, l’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique et réciproquement.

-          Remarque 3 : L’énergie mécanique d’un solide soumis uniquement à son poids reste constante.

-          Si un solide est soumis à son poids et à d’autres forces dont le travail est nul au cours du mouvement, alors l’énergie mécanique de ce solide est constante.

-          Remarque 4 : On a vu que :

-      

2)- Cas où d’autres forces que le poids travaillent.

-          Étude de la chute d’une bille dans un fluide (TP Physique N° 06).

-          Au cours du mouvement, la bille est soumise à son poids , la poussée d’Archimède  et à la force  due au frottement qui apparaît lors de l’écoulement des couches de fluide l’une sur l’autre.

-          Sur un graphe, on représente les variations de l’énergie cinétique du système, l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie mécanique du système.

-          On remarque que l’énergie cinétique du système augmente puis se stabilise. L’énergie potentielle de pesanteur diminue. L’énergie mécanique du système diminue aussi.

-          On peut utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour mettre en évidence ce phénomène :

-          Pour simplifier, on peut remplacer la somme de la force  et de la force  par la force  :

-      

-          L’application du théorème de l’énergie cinétique entre deux positions A et B de son centre d’inertie donne :

-      

-          Ceci donne :

-       or

-      

-          La force   , orientée vers le haut, est de sens opposé au déplacement de la bille. Son travail est négatif.

-          En conséquence, l’énergie mécanique de la bille diminue.

-          Conclusion : l’énergie mécanique d’un solide soumis à des forces de frottement non compensées diminue.

VII- Applications

1)- Exercice 6 page 124.

2)- Exercice 9 page 125.

3)- Exercice 13 page 125.

4)- Exercice 15 page 125.

5)- Exercice 17 page 126. Facultatif

6)- Exercice 27 page 129. Facultatif