Correction :

Pondichéry 2003

 Mise en orbite d'un satellite

artificiel par la fusée Ariane (6 points)

 

    

Énoncé

 

D’après Encyclopædia Universalis (1998).

(Certains renseignements et données sont nécessaires à la résolution du sujet).

Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est

 de 47,4 m et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.

 Le premier étage, qui fonctionne pendant 145 s est équipé de 4 moteurs

Viking V alimentés par du peroxyde d'azote N2O4 ( masse de peroxyde

emportée :  147 tonnes).

L'intensité de la force de poussée totale  de ces 4 moteurs est constante

 pendant leur fonctionnement : elle vaut F = 2445 kN.

Le lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite

de 4850 kg ;  Il peut également placer en orbite géostationnaire un satellite

de 965 kg ;  Il peut être aussi utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des

 satellites très utiles pour les applications météorologiques.

1)- L'ascension de la fusée Ariane :

Le champ de pesanteur est supposé uniforme : g0 = 9,8 m/s².

On choisit un axe Oz vertical vers le haut.

On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

a)- Représenter sur un schéma en les nommant les deux forces qui agissent sur la

fusée Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement. On néglige les frottements et la

 poussée d'Archimède.

Schéma :

b)- A un instant quelconque, la masse de la fusée est m. Déterminer en fonction

de m et des intensités des deux forces précédentes la valeur de l'accélération a.

 Intensité des deux forces :

-    Le poids de la fusée : 

-    Le théorème du centre d’inertie appliquée à la fusée par rapport à un référentiel

galiléen (deuxième loi de Newton) :

-    Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures

appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par

le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit :

-     

-     (2)

-    On travaille dans le repère  lié au référentiel d’étude.

-    On projette la relation (2) sur l’axe Oz :  

 

c)- On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors

 m1. Calculer la valeur numérique de l'accélération a à cet instant. On envisage la

situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne soit

 consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de

 m2  puis celle de l'accélération a2  à cet instant.

Le mouvement de la fusée est-il uniformément accéléré ?

-  Nature du mouvement de la fusée :

-    

-    Masse de la fusée lorsque tout le peroxyde d’azote est consommé :

-    m2 = m1 m

-    m2 208 147,5

-    m 2 60,5 tonnes

-    Accélération de la fusée :

-    Au cours du temps, l’accélération varie, elle augmente.

-  Elle n’est pas constante.

-  Le mouvement de la fusée n’est pas uniformément accéléré.

 

d)- La vitesse d'éjection   des gaz issus de la combustion du peroxyde

d'azote est donnée par la relation :

où  est la variation de la masse de la fusée par unité de temps et caractérise

la consommation des moteurs. Vérifier l'unité de Ve par analyse dimensionnelle.

Calculer la valeur numérique de Ve.

Quel est le signe de  ? En déduire le sens de  . Qu'en pensez vous ?

A l'aide d'une loi connue que l'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz

 propulse la fusée vers le haut.

-  Analyse dimensionnelle :

-   Valeur numérique de Ve. :

-  la masse de la fusée diminue de 147,5 tonnes en 145 s.

-   signe de  : Au cours du mouvement de la fusée,

-  la masse de celle-ci diminue et le temps s’écoule :

-    En conséquence : 

-    Le sens de  : Les vecteur et   ont même direction et

des sens opposés.

-    C’est grâce à l’éjection des gaz que la fusée peut d’élever.

-    Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques.

-    Soient deux corps A (la fusée) et B (gaz éjectés). A est situé

au point O et B est situé au point P.

-    Lorsqu’un corps A exerce sur un corps B une action mécanique

représentée par le vecteur force localisée en P.

-   Le corps B exerce sur un corps A une action mécanique représentée

par le vecteur force localisée en O.

-   Les forces  et  ont même support et .

-   Remarque : cette propriété est toujours vraie, que les corps soient

 au repos ou en mouvement.

2)- Étude du satellite situé à basse altitude (h = 200 km)

on s'intéresse au mouvement d'un satellite S, de masse m 1, en orbite circulaire

( rayon r) autour de la terre de masse MT, de rayon RT et de centre O.

On suppose que la terre est une sphère et qu'elle présente une répartition de

 masse à symétrie sphérique et que le satellite est assimilé à un point.

a)- Préciser les caractéristiques du vecteur accélération   d'un point animé

d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.

-  caractéristiques du vecteur accélération  :

-    Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-    

-    L’accélération est radiale et centripète.

-  Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.

-    Schéma :

 

b)- Énoncer la loi de gravitation universelle. On appelle G la constante de

 gravitation universelle. Faire un schéma sur lequel les vecteurs forces sont

 représentés.

 -  Énoncé de la loi de gravitation universelle :

Énoncé de la loi de gravitation universelle :

Deux corps ponctuels A et B de masses respectives m A et m B

exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction, 

directement opposées, dirigées suivant la droite (AB),

de valeur proportionnelle aux masses et

inversement proportionnelle au carré de leur distance r.

-    Schéma :

-    Expression vectorielle :

-   

 

c)- Le satellite est à l'altitude h tel que r = RT + h.

On appelle  la force qu'exerce la terre sur le satellite.

Cette force dépend de la position du satellite et on pose  .

On note g(h) l'intensité de la pesanteur   à l'endroit où se trouve le satellite : 

 

Exprimer g (h) en fonction de MT, RT, G et h puis en fonction de RT, h et g0.

-  Expression de g(h) en fonction de M T, R T, G et h :

-  Et enfin :  

 

d)- Appliquer la deuxième loi de Newton au satellite en orbite circulaire.

En déduire l'expression de la vitesse vS du satellite en fonction de g0, RT

et h puis celle de sa période TS.

-  Deuxième loi de Newton appliquée au satellite :

Dans le référentiel géocentrique, on applique la deuxième loi de Newton :

-

-  Pour simplifier l’étude, on travaille dans le repère de Frenet :  

-  On remarque que  .

-  L’expression de l’accélération dans ce repère :

-  Expression de la vitesse vS du satellite :

-  Période de révolution : Durée pour effectuer un tour.

 

e)- Application numérique : g0 = 9,8 m / s² ; h = 200 km et RT = 6400 km.

 Calculer vS et TS.

Application numérique :

-  Valeur de vS:

Valeur de TS: