Pondichéry

2004

Physique 1

Correction

 

    


EXERCICE I. 

CHUTE LIBRE ET
PARACHUTISME (6 points)

Énoncé

 

 

Cet exercice vise dans un premier temps à analyser quelques informations

extraitesd'un document Internet relatif au projet de "Grand Saut" du parachutiste

Michel Fournier et dans un deuxième temps à étudier un saut en parachute plus

classique. Les deux parties A et B sont indépendantes.  

PARTIE A - Le grand saut  

D'après l'édition Internet du vendredi l2 juillet 2002 du Quotidien Québécois Le Devoir.

Paris - Michel Fournier, 58 ans, ancien instructeur parachutiste de l'armée française, a annoncé hier son intention d'effectuer en septembre un saut en chute libre de 40 000 mètres d'altitude au-dessus du Canada.

«Ce qui m'intéresse au premier chef c'est le record et le challenge physique que représente ce .saut», a déclaré Michel Fournier à Paris.

Pour réaliser cet exploit, il sera équipé d'une combinaison pressurisée proche de celles utilisées par les astronautes mais modifiée pour résister à des températures extrêmement basses (moins 110 degrés Celsius) et équipée d'un parachute.

Il atteindra l'altitude de 40 000 mètres en trois heures environ, à bord d'une nacelle, elle aussi pressurisée, et tirée par un ballon gonflé à l'hélium.

La durée du saut est évaluée à six minutes vingt-cinq .secondes.

En l'absence de pression atmosphérique, Fournier dépassera la vitesse du son (1067 kilomètres/heure) trente secondes environ après .son départ en position verticale. Il sera ensuite progressivement freiné dans sa chute par la densification de l'air. Il pourra alors reprendre une position horizontale et ouvrir son parachute à une altitude de 1000 mètres. Pour des raisons de sécurité, le .saut aura lieu dans le nord du Canada, au-dessus de la base de Saskatoon, dans une zone où la densité de population est très réduite. Le record est actuellement détenu par l'Américain Joseph Kittinger, qui, en août 1960, avait sauté d'une nacelle à 30 840 mètres.

 

1 - L'intensité de la pesanteur (début du saut)

1.1   - Le système constitué par le parachutiste et son équipement subit, de la part

de la Terre, une force de gravitation .

Exprimer littéralement la valeur F de cette force en fonction de la masse de la

 Terre MT, du rayon de la Terre RT, de la constante de gravitation universelle G,

de la masse m du système et de son altitude h.  

Expression littérale de la valeur de F :

 

1.2 - On assimile le poids à la force de gravitation.

En déduire l'expression littérale de l'intensité g de la pesanteur à l'altitude h.

Expression littérale de g : On assimile le poids à la force de gravitation.

En conséquence :

 

1.3 - Calculer l'intensité de la pesanteur à l'altitude 40 km.

Valeur de l’intensité de la pesanteur à l’altitude de 40 km :

2 - La chute libre (début du saut)

Au début du saut, la pression atmosphérique est très faible :

l'air est raréfié et son action sur le parachutiste peut être négligée

On admettra pour cette question que l'intensité de la pesanteur est constante,

de valeur égale à g =  9,7 N.kg – 1.

On précise que la vitesse initiale est nulle,

2.1 - Qu'appelle-t-on une chute libre ?

Un corps est en chute libre lorsqu’il est soumis à la seule action de son poids.

 

2.2 - Établir l'expression de l'accélération du parachutiste lors de cette phase

du saut.

Expression de l'accélération du parachutiste lors de cette phase du saut :

Le système : le parachutiste de masse m et de centre d’inertie G

On choisit un référentiel terrestre supposé galiléen.

On choisit un repère associé au référentiel d’étude :

Axe vertical, orienté de haut en bas :   

 

La deuxième loi de Newton appliquée au système : 

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des

forces extérieures appliquées à un solide est égale au

produit de la masse du solide par le vecteur accélération

de son centre d’inertie.

On écrit :   (1)

Dans le repère d’étude,

on peut écrire que :

 

 

2.3 - Établir la relation liant la vitesse v atteinte à la durée de chute t

Vérifier que la durée de chute t1 permettant d'atteindre la "vitesse" du son

(soit v1 = 1067 km.h – 1) est bien celle présentée dans le texte.

Relation liant la vitesse v atteinte à la durée de chute t :

dans le cas considéré, vx = v.

La grandeur vx est une primitive de ax :

vx = g.t  + v0x  

Comme la vitesse initiale est nulle :

v x = g.t

vx 9,7 t

Durée de chute t1 permettant d'atteindre la "vitesse" du son

(soit v1 = 1067 km.h – 1) :

 

Le résultat est en accord avec le texte : «Fournier dépassera la vitesse du

son (1067 kilomètres /heure) trente secondes environ après »

2.4 - Établir la relation liant la distance x parcourue à la durée de chute.

Calculer la distance x, parcourue quand la "vitesse" du son est atteinte.

Quelle est alors l'altitude h, du parachutiste ?

Relation liant la vitesse x à la durée de chute t :

La grandeur x est une primitive de vx  :

c'est-à-dire une primitive de vx = g.t

Comme x0 = 0,

Altitude du parachutiste :

 

3 - Les conditions de température

3.1- A propos du son, le terme de célérité est préférable à celui de vitesse. Expliquer.

Le son, ou l’onde sonore est une perturbation qui se propage sans transport

de matière. 

C’est le déplacement d’une variation de pression.

L’onde sonore transporte de l’énergie sans transfert de matière. 

Pour le déplacement d’une onde, on préfère utiliser le terme célérité

au terme vitesse.  

3.2 - En admettant que la célérité du son est proportionnelle à la racine carrée

de la température absolue, déterminer la température θ1 de l'atmosphère

correspondant à une célérité v1 = 1067 km.h – 1.

Température θ1 de l'atmosphère correspondant à une célérité

v1 = 1067 km.h – 1

On donne :    avec :

 

On tire :  

 

PARTIE B : Le saut classique

Le parachutiste et son équipement (système étudié) ont au total une masse

m = 80 kg.

On supposera que le parachutiste s'élance sans vitesse initiale d'un ballon

immobile situé à 1000 m d'altitude.

Le saut se déroule en deux phases.

1 - Première phase

Lors de la première phase, le parachute n'est pas déployé. 

L'action exercée par l'air peut être modélisée par une force de valeur exprimée

par F = k v2 avec k = 0,28 S.I. (unités du système international) 

La poussée d’Archimède due à l'air sera supposée négligeable. 

L'intensité de la pesanteur sera considérée comme constante et de valeur

g0 = 9,8 N.kg – 1.

1.1 - Déterminer l'unité du coefficient k (en utilisant les unités fondamentales

du système international).

 

Unité de k :

1.2 - Effectuer le bilan des actions exercées sur le système et établir l'équation

 différentielle relative à l'évolution de la vitesse du système au cours du temps.

Montrer qu'elle correspond numériquement à   

 

Bilan des actions mécaniques : le poids  et la force  .

Le système : le parachutiste de masse m et de centre d’inertie G.

On choisit un référentiel terrestre supposé galiléen. 

On choisit un repère associé au référentiel d’étude : 

Axe vertical, orienté de haut en bas  

 

La deuxième loi de Newton appliquée au système : 

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des

forces extérieures appliquées à un solide est égale au

produit de la masse du solide par le vecteur accélération

de son centre d’inertie.

On écrit   (1)

Schéma :

On projette cette relation sur l’axe x’Ox :

 

Dans le cas considéré, vx = ve

 

En combinant (2) et (3) :

 

Équation du type :

 

En remplaçant les constantes par leur

valeur respective :

 

Conditions initiales : v0x = v0 = 0 et

x0 = 0

 

1.3 - La courbe d'évolution de la vitesse au cours du temps est représentée en

annexe 1 à rendre avec la copie.

1.3.1- Déterminer la vitesse limite et le temps caractéristique de ce mouvement.

Vitesse limite et temps caractéristique :

annexe 1 

Vitesse limite : vlim 53 m / s

Temps caractéristique : τ 5,5 s  

1.3.2 - Comment peut-on retrouver, à partir de ce document,

une valeur approchée de l'intensité de la pesanteur ?  

Valeur approchée de l'intensité de la pesanteur :

La valeur approchée de l’intensité de la pesanteur est donnée

par celle du coefficient directeur de la tangente à l’origine à

la courbe v = f (t) :

  

1.4 - La courbe précédente a en fait été obtenue par résolution de

l'équation différentielle précédente par la méthode numérique

 itérative d'Euler. 

Un extrait de la feuille de calcul est représenté ci-dessous.

Date t (s)

Vitesse

v ( m / s)

Accélération

( m / s 2)

0,00

0,00

9,80

0,10

0,98

9,80

0,20

1,96

9,79

0,30

2,94

9,77

0,40

3,92

9,75

0,50

4,89

9,72

0,60

5,86

9,68

0,70

6,83

9,64

1.4.1 - Quel est le pas Δt utilisé pour les calculs ?

Pas utilisé pour le calcul : Δt = 0,10 s.

1.4.2 - Expliquer la méthode d'Euler en effectuant les calculs de l'accélération à

la date t4 = 0,40 s et de la vitesse à la date t4 = 0,40 s.  

Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f (t)

et d’en déduire une représentation graphique.

À condition de choisir Δt suffisamment petit, on peut écrire que :  

Or Δv représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée Δt.

Si on connaît les valeurs de a et b et les conditions initiales, on peut trouver

de proche en proche les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps.

Les conditions initiales sont les suivantes :

au temps t0 =  0, v = v0 = 0

On choisit une valeur de Δt suffisamment petite : c’est le pas du calcul.

À la date t1t0 Δt,  la vitesse est devenue : v1 = v0 Δv0 avec

 

en conséquence :  

Cette valeur est calculable puisque les valeurs a, b et v0 sont connues.

On procède de la même façon pour le calcul de v2.

À la date t2t1 Δt,  la vitesse est devenue :

À la date tn+1tn Δt,  la vitesse est devenue :  

Exemple pour le calcul de v4 : 

On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes

dates séparées de Δt

On peut ainsi obtenir la représentation graphique de v en fonction du temps t.

L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode

itérative.

La résolution mathématique de l’équation différentielle du type :  

 

donne comme solution :

Pour aller plus loin

Méthode d'Euler (graphique)

 

1.4 - Sur le document fourni en annexe 1 à rendre avec la copie, est également

 représentée l'évolution de la position x au cours du temps. 

Déterminer à quelle date le parachutiste atteindrait le sol s'il n'ouvrait pas son

 parachute.

Date à laquelle le parachutiste atteindrait le sol s'il n'ouvrait pas son parachute :

Le parachutiste s'élance sans vitesse initiale d'un ballon immobile situé à

1000 m d'altitude. 

Il arrive au sol après avoir parcourue 1000 m et la durée correspondante est

 d’environ 23 s.  

t ≈ 23 s

Remarque : x est une primitive de  

 On trouve comme expression :

2 - Deuxième phase

Le parachutiste déclenche l'ouverture de son parachute à l'instant 12 s.

La vitesse diminue se stabilise en 4 s à la valeur limite de 4,5 m.s – 1.

2.1 - L'ouverture du parachute modifie la force de frottement exercée

par l'air qui devient F’ = k’ v2.

En s'aidant de l'expression littérale de la vitesse limite, déterminer

la valeur de k'.

 

L’équation différentielle est de la forme : .

 Lorsque la vitesse limite est atteinte,

  

2.2 - Représenter, sur l'annexe 2 à rendre avec la copie, l'évolution de la

vitesse au cours du temps (évolution correspondant à l'ensemble du saut). 

L'évolution correspondant à la chute étudiée au cours de la première phase,

 lorsque le parachute n'est pas déployé, est rappelée en trait fin.