Exercice N° 2

Énoncé

Correction

Bac Blanc

décembre 2004

 

    

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Exercice 2 : à la recherche de la Loi de décroissance.

Énoncé

Le phosphore  est radioactif.

Il se désintègre en émettant un électron.

Sa durée de demi-vie est égale à t½ = 14,3 jours.

1. La désintégration forme du soufre S.

1.1. établir l’équation de désintégration. Justifier votre réponse.

1.2. Indiquer le type de radioactivité correspondant à cette réaction

de désintégration.

2. On veut étudier l’évolution du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon

 au cours du temps. 

On fait l’hypothèse suivante : on considère que la variation  ΔN (t) du nombre

de noyaux radioactifs, pendant l’intervalle de temps Δt, a pour expression :

  ΔN (t) = λ . N (t) . Δt

-  N (t) représente le nombre de noyaux radioactifs au début de l’intervalle

de temps considéré.

-  Le nombre de noyaux radioactifs initial de l’échantillon est ; 

-  N (0) = 1,00 × 10 22  (1)

-  Rappel : Relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie t½  :   

2.1. Calculer la valeur de la constante radioactive λ en utilisant les unités du

Système International.

2.2. Calculer le nombre N1 de noyaux qui se désintègrent pendant les

quatre premiers jours en utilisant l’expression (1).

2.3. Calculer le nombre N (4) de noyaux radioactifs qui restent dans l’échantillon

 après 4 jours.

3.  On renouvelle le calcul précédent au cours du temps en gardant toujours

 comme intervalle de temps Δ= 4 jours.

On obtient le tableau suivant :

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) × 10 21

10,0

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,93

N (0)

N (4)

N (8)

N (12)

N (16)

N (20)

N (24)

N (28)

N (32)

N (36)

N (40)

N (44)

3.1. Compléter les cases vides du tableau en justifiant les calculs.

3.2. Sur un graphique, représenter l’évolution du nombre N de noyaux radioactifs

en fonction du temps t.

3.3. Déterminer à l’aide du graphique la valeur de la constante de temps τ.

 Justifier votre réponse.

4.  Il faut garder un peu d’énergie pour la fin.  On donne :

-  La masse atomique du phosphore 32 : mP = 5,35631 × 10 – 26  kg

-  La masse atomique du soufre formé : mS = 5,35608 × 10 – 26  kg

-  La masse d’un électron  : me = 9,10939 × 10 – 31  kg

-  La célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 × 10 8  m / s.

4.1.   Exprimer la variation de masse Δm  pour une désintégration.

4.2. Déterminer la valeur de la perte de masse m de l’échantillon étudié au bout de 44 jours.

4.3. En déduire la valeur de l’énergie libérée Elib en 44 jours.

 

Correction

Le phosphore  est radioactif.

Il se désintègre en émettant un électron.

Sa durée de demi-vie est égale à t½ = 14,3 jours.

1. La désintégration forme du soufre S.

1.1. établir l’équation de désintégration. Justifier votre réponse.

-  Au cours de la désintégration, il y a conservation :

-  Du nombre de nucléons et conservation de la charge globale  

32

P

 

32

S

 

 

0

e

 

 

 

+

 

   15

 

16

 

 

–1

1.2. Indiquer le type de radioactivité correspondant à cette réaction

de désintégration.

-  Il s’agit d’une émission β  . Le phosphore 32 possède trop de neutrons. 

-  Un neutron du noyau se transforme en proton et il y a émission  d’un électron.

2. On veut étudier l’évolution du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon

 au cours du temps. 

On fait l’hypothèse suivante : on considère que la variation  ΔN (t) du nombre

de noyaux radioactifs, pendant l’intervalle de temps Δt, a pour expression :

  ΔN (t) = λ . N (t) . Δt

-  N (t) représente le nombre de noyaux radioactifs au début de l’intervalle

de temps considéré.

-  Le nombre de noyaux radioactifs initial de l’échantillon est ; 

-  N (0) = 1,00 × 10 22  (1)

-  Rappel : Relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie t½  :   

2.1. Calculer la valeur de la constante radioactive λ en utilisant les unités du

Système International.

-  Valeur de la constante radioactive :

-  

 

2.2. Calculer le nombre N1 de noyaux qui se désintègrent pendant les

quatre premiers jours en utilisant l’expression (1).

-  On utilise l’expression donnée dans l’énoncé :

ΔN (t) = - λ . N (t) . Δt  

-  Qui devient :  

ΔN (4) = λ . N (4) . Δt

-  On considère que pendant la durée Δt qui est courte devant la durée de

demi-vie, le nombre de noyaux radioactifs n'a pratiquement pas varié :

-  En conséquence :

N (t) = N (4) N (0) 

-  Nombre N1 de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours

-  N1 = | ΔN (t) | = | λ . N (t) . Δt |

-  N1 = | ΔN (4) | = | λ . N (4) . Δt |

-  N1 | λ . N (0) . Δt |

-  

2.3. Calculer le nombre N (4) de noyaux radioactifs qui restent dans l’échantillon

 après 4 jours.

-  Nombre N(4) de noyaux radioactifs restant dans l’échantillon après 4 jours.  

-  N (4) =N (0) N 1 

-  N (4) 1,00 × 10 22 1,94 × 10 21

-  N (4) 8,06 × 10 21

3.  On renouvelle le calcul précédent au cours du temps en gardant toujours

 comme intervalle de temps Δ= 4 jours.

On obtient le tableau suivant :

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) x 10 21

10,0

 

 

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,93

 

N (0)

N (4)

N (8)

N (12)

N (16)

N (20)

N (24)

N (28)

N (32)

N (36)

N (40)

N (44)

3.1. Compléter les cases vides du tableau en justifiant les calculs.

-  Pour la première case, le calcul a été effectué :  

N (4) 8,06 × 10 21

-  Pour compléter la case suivante, on répète le calcul effectué précédemment :

-  

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) x 10 21

10,0

8,06

6,50

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,934

 

N (0)

N (4)

N (8)

N (12)

N (16)

N (20)

N (24)

N (28)

N (32)

N (36)

N (40)

N (44)

3.2. Sur un graphique, représenter l’évolution du nombre N de noyaux radioactifs

en fonction du temps t.

Graphique :

Complément :

3.3. Déterminer à l’aide du graphique la valeur de la constante de temps τ.

 Justifier votre réponse.

-  La constante de temps, notée τ est l’inverse de la constante radioactive.

-  On peut obtenir la valeur de la constante de temps τ à partir de la loi de décroissance.

-  Si l’on se place au temps t = 0 :  

-  

-  En conséquence, la tangente à la courbe N = f (t)  à l’instant initial rencontre l’axe

des abscisses à la date τ.

-  La lecture graphique donne :  τ 20,6 jours

4.  Il faut garder un peu d’énergie pour la fin.  On donne :

-  La masse atomique du phosphore 32 : mP = 5,35631 × 10 – 26  kg

-  La masse atomique du soufre formé : mS = 5,35608 × 10 – 26  kg

-  La masse d’un électron  : me = 9,10939 × 10 – 31  kg

-  La célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 × 10 8  m / s.

4.1.   Exprimer la variation de masse Δm  pour une désintégration.

-  Variation de masse pour une désintégration :

32

P

 

32

S

 

 

0

e

 

 

 

+

 

   15

 

16

 

 

– 1

-  État initial : l’atome de phosphore immobile mP

-  État final :  atome de soufre et électron : mS et me

-  Variation de masse : Δm = (mS + me) mP

4.2. Déterminer la valeur de la perte de masse m de l’échantillon étudié au bout de 44 jours.

-  Nombre de désintégrations :

-  N = N (0) N (44)

-  Valeur de la perte de masse :

-  m = N . Δm

-  m = [ N (0) N (44) ] . [ (m S + m e) m P ]

-  m = [1,00 × 10 22 0,93 × 10 21] × [5,35631 × 10 – 26 5,35608 × 10 – 26 9,10939 × 10 – 31]

-  m   1,26 × 10 – 8 kg

4.3. En déduire la valeur de l’énergie libérée Elib en 44 jours.

-  Énergie libérée en 44 jours

-  Elib = | m | c2 

-  Elib 1,26 x 10 – 8 × ( 3,00 × 10 8)2 

-  Elib 1,13 × 10 9 J