Exercice N° 2

Bac Blanc

décembre 2004

 

    

Recherche personnalisée
 

 

Exercice 2 : à la recherche de la Loi de décroissance.

Le phosphore  est radioactif. Il se désintègre en émettant un électron. Sa durée de demi-vie est égale à t ½ = 14,3 jours.

1.      La désintégration forme du soufre S.

1.1.   établir l’équation de désintégration. Justifier votre réponse.

-          Au cours de la désintégration, il y a conservation :

-          Du nombre de nucléons et conservation de la charge globale  

32

P

 

32

S

 

 

0

e -

 

 

 

+

 

   15

 

16

 

 

-1

1.2.   Indiquer le type de radioactivité correspondant à cette réaction de désintégration.

-          Il s’agit d’une émission β  . Le phosphore 32 possède trop de neutrons. 

-          Un neutron du noyau se transforme en proton et il y a émission  d’un électron.

2.      On veut étudier l’évolution du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon au cours du temps. 

On fait l’hypothèse suivante : on considère que la variation  ΔN (t) du nombre de noyaux radioactifs, pendant l’intervalle de temps Δt, a pour expression :

  ΔN (t) = - λ . N (t) . Δt

-          N (t) représente le nombre de noyaux radioactifs au début de l’intervalle de temps considéré.

-          Le nombre de noyaux radioactifs initial de l’échantillon est ;  N (0) = 1,00 x 10 22  (1)

-          Rappel : Relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie t ½  :   

2.1.   Calculer la valeur de la constante radioactive λ en utilisant les unités du Système International.

-          Valeur de la constante radioactive :

-         

 

2.2.   Calculer le nombre N 1 de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours en utilisant l’expression (1).

-          On utilise l’expression donnée dans l’énoncé : ΔN (t) = - λ . N (t) . Δt  

-          Qui devient :   ΔN (4) = - λ . N (4) . Δt

-          On considère que pendant la durée Δt qui est courte devant la durée de demi-vie, le nombre de noyaux radioactifs n'a pratiquement pas varié :

-          En conséquence : N (t) = N (4) N (0) 

-          Nombre N1 de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours

  -          N 1 = | ΔN (t) | = | - λ . N (t) . Δt |

-          N 1 = | ΔN (4) | = | - λ . N (4) . Δt |

-          N 1 | - λ . N (0) . Δt |

-         

2.3.   Calculer le nombre N (4) de noyaux radioactifs qui restent dans l’échantillon après 4 jours.

-          Nombre N(4) de noyaux radioactifs restant dans l’échantillon après 4 jours.  

-          N (4) =N (0) - N 1 

-          N (4) 1,00 x 10 22 - 1,94 x 10 21

-          N (4) 8,06 x 10 21

3.      On renouvelle le calcul précédent au cours du temps en gardant toujours comme intervalle de temps D t = 4 jours. On obtient le tableau suivant :

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) x 10 21

10,0

 

 

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,93

 

N(0)

N(4)

N(8)

N(12)

N(16)

N(20)

N(24)

N(28)

N(32)

N(36)

N(40)

N(44)

 

3.1.   Compléter les cases vides du tableau en justifiant les calculs.

-          Pour la première case, le calcul a été effectué :   N (4) 8,06 x 10 21

-          Pour compléter la case suivante, on répète le calcul effectué précédemment :

-          

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) x 10 21

10,0

8,06

6,50

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,934

 

N(0)

N(4)

N(8)

N(12)

N(16)

N(20)

N(24)

N(28)

N(32)

N(36)

N(40)

N(44)

 

3.2.   Sur un graphique, représenter l’évolution du nombre N de noyaux radioactifs en fonction du temps t.

-          Graphique :

Complément :

3.3.   Déterminer à l’aide du graphique la valeur de la constante de temps τ. Justifier votre réponse.

-          La constante de temps, notée τ est l’inverse de la constante radioactive.

-          On peut obtenir la valeur de la constante de temps τ à partir de la loi de décroissance.

-          Si l’on se place au temps t = 0 :  

-         

-          En conséquence, la tangente à la courbe N = f (t)  à l’instant initial rencontre l’axe des abscisses à la date τ.

-          La lecture graphique donne :  τ 20,6 jours

4.      Il faut garder un peu d’énergie pour la fin.  On donne :

-          La masse atomique du phosphore 32 : m P = 5,35631 x 10 – 26  kg

-          La masse atomique du soufre formé : m S = 5,35608 x 10 – 26  kg

-          La masse d’un électron  : m e = 9,10939 x 10 – 31  kg

-          La célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 x 10 8  m / s.

4.1.   Exprimer la variation de masse Dm  pour une désintégration.

-          Variation de masse pour une désintégration :

32

P

 

32

S

 

 

0

e -

 

 

 

+

 

   15

 

16

 

 

-1

-          État initial : l’atome de phosphore immobile m P

-          État final :  atome de soufre et électron : m S et m e

-          Variation de masse : Δm = (m S + m e) - m P

4.2.   Déterminer la valeur de la perte de masse m de l’échantillon étudié au bout de 44 jours.

-          Nombre de désintégrations :

-          N = N (0) - N (44)

-          Valeur de la perte de masse :

-          m = N . Δm

-          m = [ N (0) - N (44) ] . [ (m S + m e) - m P ]

-          m = - [ 1,00 x 10 22 - 0,93 x 10 21 ] x [5,35631 x 10 – 26 - 5,35608 x 10 – 26 - 9,10939 x 10 – 31]

-          m 1,26 x 10 – 8 kg

4.3.   En déduire la valeur de l’énergie libérée E lib en 44 jours.

-          Énergie libérée en 44 jours

-          E lib = | m | c2 

-          E lib 1,26 x 10 – 8 x ( 3,00 x 10 8)2 

-          E lib 1,13 x 10 9 J