Contrôle  N° 03 bis

Détermination de la capacité

d'un condensateur

Correction

Énoncé

 

   

 

 

 Détermination de la capacité d’un condensateur.

On charge un condensateur de capacité C inconnue à travers un conducteur

 ohmique de résistance R = 330 kΩ à

l’aide d’un générateur délivrant une tension continue constante U0 = 12,0 V.

On relève les valeurs de la tension uC aux bornes du condensateur pour

 différentes dates données.

On obtient le tableau de mesures suivant :

t en s

0

5

10

15

20

30

40

50

70

100

150

200

220

u C en V

0,00

1,60

3,00

4,20

5,20

6,90

8,20

9,10

10,4

11,3

11,8

11,9

12,0

1)- Tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe uC = f (t) à partir

du tableau de mesures ci-dessus.

On prendra 1 cm pour 10 s en abscisse et 1 cm pour 1 V en ordonnée.

-        Graphe : uC = f (t)

  Graphe uc = f(t)

2)- Faire un schéma annoté du montage. Représenter par un segment fléché la

 tension uC, indiquer le sens du courant dans le circuit.

Indiquer le signe de la charge portée par chaque armature du condensateur.

-        Schéma annoté du montage :

Schéma annoté du montage

3)- Écrire la loi d’ohm aux bornes de chacun des composants du circuit.

Loi d’Ohm

aux bornes du

générateur

Loi d’Ohm

aux bornes du

conducteur ohmique

Loi d’Ohm

aux bornes du

condensateur

uBM = E

uBA = R.i

4)- Quelle est la valeur de la tension uC lorsque l’intensité du courant s’annule ?

Justifier par un calcul simple.

-  Valeur de la tension uC lorsque l’intensité du courant s’annule.

-   uBM = E = uBA  +   uAM 

-   E = R.i  +   uC

-   Lorsque l’intensité i s’annule :

-   E = uC = U0 = 12,0 V

5)- La constante de temps d’un tel dipôle est : τ = R.C.

Montrer que la dimension de cette grandeur est bien celle d’un temps.

-        La constante de temps τ = R.C.

τ

Constante de temps en seconde s

R

Résistance du conducteur ohmique en ohm Ω

C

Capacité du condensateur en farad F

-  analyse dimensionnelle :

-  Analyse dimensionnelle

-  Le produit R.C a bien la dimension d'un temps.

6)- Une méthode de détermination de τ fait appel au tracé de la tangente à

la courbe uC = f (t) à l’instant t = 0 s.

Montrer que cette tangente coupe la droite uC = U0 en un

point d’abscisse t = τ. Justifier.

-  Une méthode de détermination de τ

-  Détermination de la constante de temps tau

La connaissance du coefficient directeur de la tangente à la courbe uC = f (t)

au temps t = 0 s, permet de connaître le rapport :

 et de déduire la valeur de τ à partir de celle de U0.

7)- En déduire la valeur numérique de cette constante de temps τ,

puis la valeur de la capacité C du condensateur.

-  Valeur numérique de cette constante de temps τ, puis la valeur de

la capacité C du condensateur.

-  À partir du tracé, on trouve : τ ≈ 34,0 s

-  Valeur de la capacité du condensateur :

-  Capacité du condensateur que l'on peut exprimer en microfarad

8)- Établir l’équation différentielle vérifiée par uC. Justifier.

-  Équation différentielle vérifiée par uC :  voir (6)

-  

9)- Cette équation différentielle admet une solution de la forme :

uC (t) = A + B. e – k.t

-  Calculer les valeurs de A, B et k. Justifier.

-  Valeurs de A, B et k :

-  

-  Cette équation est vérifiée ceci quel que soit t :

-  

-  À l’instant initial, la tension aux bornes du condensateur est nulle :

-  

-  Récapitulatif :

A = E = U0 = 12,0 V

B = A  = 12,0 V

-  On peut donner l’expression suivante :

-  uC (t) = E . (1 – e k.t)

-  Avec les valeurs numériques :

uC (t) = 12,0 x (1 e – 0,0275.t)

10)- À l’aide de l’expression précédente, déterminer la valeur numérique de la tension uC lorsque t = τ.

Lire sur le graphe la valeur de τ.

Ce résultat vous semble-t-il conforme ?

- Valeur numérique de la tension uC lorsque t = τ = R.C

-  uC (τ) = 12,0 x (1e 1)

-  uC (τ) ≈ 7,6 V

-  On peut utiliser la relation :

-  

-  Détermination graphique : lecture pour t = τ.

-  Valeur déduite du graphique : uC (t) ≈ 7,5 V.

-  Comparaison :

-  

-  Le résultat est conforme, les deux valeurs  trouvées ont des valeurs voisines.

11)- Exprimer i (t). En déduire la valeur i (0) = I0 de l’intensité du courant

au temps t = 0 s.

-  Expression de i (t)

-  Expression de l'intensité i(t) dans le circuit

-  Valeur de i (0) = I0

-  

-  

12)- Calculer l’énergie emmagasinée EC par le condensateur lorsqu’il est chargé.

-  Énergie emmagasinée EC par le condensateur lorsqu’il est chargé

-  Énergie emmagasinée Ec par le condensateur lorsqu’il est chargé

13)- La durée de décharge du condensateur est Δt = 4,0 x 10 –3  ms.

Calculer la valeur numérique de la puissance électrique Pe dissipée durant

la décharge.

- Valeur numérique de la puissance électrique Pe dissipée durant la décharge :

-  Valeur numérique de la puissance électrique P e dissipée durant la décharge