Contrôle  N° 04 bis

Résistance d'une bobine réelle.

I - En régime permanent.

II - En régime transitoire.

III - Constante de temps du circuit.

IV - En régime oscillatoire.

Correction

Énoncé

 

   

 

 

 

 Résistance d’une bobine réelle.

Dans tout l’exercice, on tiendra compte de la précision des données afin d’exprimer les résultats numériques en accord avec cette précision.

Un étudiant, ‘’curieux’’, veut vérifier la valeur de la résistance r d’une bobine réelle

d’inductance L = 250 mH, modélisée sous forme d’un dipôle (r, L) en série.

La tension en fonction du temps dans le cas général d’un courant électrique

d’intensité i (t) aux bornes d’une telle bobine est donnée par la relation :

loi d'Ohm aux bornes d'une bobine

 

Il dispose de tout le matériel souhaitable et procède à plusieurs essais.

I- En régime permanent.

Pour mesurer la valeur de r, l’étudiant réalise un circuit comportant un générateur

de tension continue de valeur E = 6,00 V de résistance interne négligeable,

un ampèremètrenumérique, un voltmètre numérique, des fils de connexion et

la bobine à étudier.

1)- Compléter le schéma du circuit 1 présenté en annexe en indiquant les

 positions et les bornes de branchement de l’ampèremètre et du voltmètre.

Faire figurer la tension Ug = E (tension aux bornes du générateur) ainsi que la

 tension Ub = (tension aux bornes de la bobine).

On négligera la tension aux bornes de l’ampèremètre.

-  L’ampèremètre se branche en série,

tandis que le voltmètre se branche en dérivation.

2)- Les mesures des appareils donnent Ub = 5,95 V et I = 280 mA.

En déduire la valeur r1 de la résistance de la bobine dans ce cas particulier.

Justifier votre démarche.

-  En régime permanent, la bobine se comporte

comme un conducteur ohmique de résistance r.

-  On peut utiliser la loi d’Ohm :

-  valeur de la résistance r1

II- En régime transitoire.

L’étudiant modifie le montage précédent auquel il ajoute une résistance

R = 10,0 Ω en série. Il remplace les appareils de mesure par un système

d’acquisition informatisé qui lui donne les variations de i (t) obtenues à

la fermeture de l’interrupteur.

La tension du générateur reste fixe et égale à 6,00 V.

1)- Quel est alors le phénomène observé dans le circuit ?

-  Phénomène observé dans le circuit :

établissement du courant dans le circuit.

-  À la fermeture de l’interrupteur, le courant électrique s’établit avec

 un retard, il ne prend pas immédiatement sa valeur permanente I.

Le phénomène d’induction dont la bobine est le siège, s’oppose aux

 variations brusques du courant.

Pendant ce régime, la bobine se met à stocker de l’énergie magnétique.

-  Le courant met un certain temps pour s'établir dans le circuit.

-  Il existe un régime transitoire (établissement du courant) et un régime

 permanent (Le courant est établi).

-  durée de la première phase : Δt  ≈ 40 ms (environ).

2)- Sur le schéma du circuit 2 modifié présenté en annexe, indiquer comment

brancher le système d’acquisition (voie d’entrée YA et voie de référence : masse)

 afin d’obtenir une tension proportionnelle à l’intensité du courant dans le circuit.

 Justifier votre réponse.

Selon la loi d’Ohm, la tension aux bornes d’une résistance R’ est

 proportionnelle à l’intensité du courant qui la traverse.

En visualisant la tension aux bornes de R’, on obtient une tension

représentative du courant i (t).

Afin d’obtenir le bon signe de i (t).

Il faut visualiser u R’ selon l’orientation récepteur.

-  uR’ = uAB  = R’ i.

 

 


3)- Déterminer la valeur de la constante de temps τ à partir du document

(annexe) obtenu par le système d’acquisition. Détailler clairement la méthode

 utilisée sur le graphe donné en annexe.

(On peut utiliser les deux méthodes pour plus de précision)

-  On utilise la méthode de la tangente à l’origine de la courbe :

elle coupe l’asymptote horizontale en une date qui est la constante de temps τ.

-  On lit τ = 8,0 ms.

-  On peut aussi s’assurer du résultat en déterminant la date

pour laquelle i prend 63 % de sa valeur maximale I0.

-  Il s’agit de la date où

i (τ) = 0,63 × 188

-  i (τ) ≈ 118 mA environ.

-  Les deux méthodes concordent.

III- Constante de temps du circuit :

1)-  La valeur de τ de ce circuit est égale au rapport où R représente

la résistance électrique totale du circuit.

Donner l’expression littérale de τ en fonction des paramètres du circuit et vérifier

par une analyse dimensionnelle que τ est homogène à un temps.

-  Expression littérale de τ en fonction des paramètres du circuit :

-  Expression littérale de la constante de temps tau

-  Analyse dimensionnelle :

-  D’une part :  Loi d'Ohm

-  D’autre part de la relation : , on tire que :

- 

-  En combinant (1) et (2) :

-  Le rapport a la dimension d’un temps.

Il s’exprime en seconde dans le S.I.

2)- La bobine ayant une inductance L = 250 mH, déduire la valeur r2 de

sa résistance r.

-  Valeur r2 de sa résistance r :

- 

 

3)- On considère que l’intensité i (t) atteint la valeur limite I = 188 mA au bout

d’une durée 5 fois supérieure à τ.

a)-   Quel est alors le régime de fonctionnement de la bobine ?

-  Pour t > 5 τ, le régime permanent est atteint.

La bobine se comporte comme un

conducteur ohmique de résistance r.

b)-   Exprimer r, résistance de la bobine, en fonction de

E, I et R’. Calculer sa valeur r3.

-  En régime permanent, la bobine se comporte comme

un conducteur ohmique :

-  avec    et i (∞) = I∞ 

ub  = r. I.

-  D’autre part, la loi d’Ohm aux bornes de R’  s’écrit :

uAB = R’. I.

-  L’additivité des tensions s’écrit :

-  E = ub + uAB = r. I. + R’. I 

E = (r. + R’) I    

-  On tire la valeur de r3 :

-     

c)- Les trois valeurs r obtenues dans les parties 1. et 2.  sont-elles cohérentes

entre elles ?

-  Les trois valeurs obtenues (r1 ≈ 21,3 Ω , r2 ≈ 21 Ω et r1 ≈ 21,9 Ω)

sont bien cohérentes entre elles, car on n’observe qu’un très faible

écart relatif :

-  L’écart absolu est au maximum de Δr ≈ 0,9 Ω,

-  L’écart relatif est de l’ordre suivant :

 

IV- En régime oscillatoire.

Cette bobine est branchée aux bornes d’un condensateur de capacité

C = 4,00 μF, préalablement chargé par un circuit annexe non représenté,

selon le schéma 3 ci-après :

1)- Période propre :

a)- Rappeler l’expression littérale de la période propre T0 d’un oscillateur LC.

-  Expression littérale de la période :

-  Expression littérale de la période propre

b)- Calculer la valeur de cette période T0.

-  Valeur de la période :

-  

2)- Observations à l’oscilloscope :

a)- On branche un oscilloscope aux bornes du condensateur et on observe sur

 l’écran des oscillations pseudo-périodiques de pseudo-période T.

Interpréter l’oscillogramme obtenu donné en annexe.

-  On observe des oscillations libres amorties.

-  Il y a des échanges d’énergie entre le condensateur et la bobine

qui sont deux réservoirs d’énergie.

-  Lors des échanges d’énergie entre le condensateur et la bobine,

une partie de l’énergie est dissipée par effet Joule dans les résistances,

ce qui conduit à l’atténuation progressive des oscillations.

b)-   Donner à l’aide de l’oscillogramme la valeur de la pseudo-période T

des oscillations.

-  Valeur de la pseudo-période des oscillations :

T

3,0 cm

20 ms

9,6 cm

-  On tire : Valeur de la période

 

-  On peut faire les mesures avec un logiciel de dessin :

-  Mesure 1 :

-   Mesure 2 :

T

4,02 cm

20 ms

12,84 cm

On tire : Valeur de la période

 

c)-   Comparer ce résultat avec T0.

-  Comparaison :

Cette valeur est cohérente avec la valeur de T0.

-  On trouve bien T0 T.

-  La résistance du circuit est faible.

-  L’amortissement des oscillations est faible.

3)- équation différentielle : Soit uC la tension aux bornes du condensateur et uL

 la tension aux bornes de la bobine à l’instant t quelconque (t > 0).

À cet instant, le condensateur porte la charge q.

a)- Représenter les tensions uC et uL sur le schéma 3 donné en annexe.

Indiquer la charge portée par chaque armature du condensateur à l’instant t.

b)- Écrire l’expression de la tension aux bornes du condensateur

en fonction de q et C.

-  Expression de la tension aux bornes du condensateur

en fonction de q et C :

-  

c)- Écrire l’expression de la tension aux bornes de la bobine

en fonction de u C, L, r et t.

-  Expression de la tension aux bornes de la bobine

en fonction de uC, L, r et t

-   loi d'Ohm aux bornes d'une bobine avec

-  On tire :

-  En remplaçant on obtient :

d)- Déduire l’équation différentielle qui régit les variations de la tension uC.

-  On utilise l’additivité des tensions :

-  

-  Équation différentielle du deuxième ordre linéaire sans second membre.

e)-   Si la bobine est idéale (r = 0 Ω), l’équation différentielle

admet une solution de la forme :

 

Que représentent les grandeurs Um et T0 ?

-  La grandeur Um représente l’amplitude des oscillations

de la tension aux bornes du condensateur.

-  La grandeur T0 représente la période propre du circuit L,C.

Annexe :

 

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