Devoir  N° 7

Additif.

Equation différentielle

 

   

 

 

1.      équations différentielles

1.1.    Premier cas :

Système : balle de masse m,

référentiel : terrestre supposé galiléen. 

Le repère : la chute de la balle est verticale :

on peut prendre un axe vertical orienté du haut vers le bas :

Représentation à l’instant t :

La Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des

forces extérieures appliquées à un solide est égale au

produit de la masse du solide par le vecteur accélération

de son centre d’inertie.

On écrit :

(1)

On peut poser v x = v car v x est positif.

La grandeur v représente la valeur de la vitesse, grandeur positive.

-          Type de l’équation différentielle :

1.2.    Deuxième cas :

Système : balle de masse m,

référentiel : terrestre supposé galiléen. 

Le repère : la chute de la balle est verticale :

on peut prendre un axe vertical orienté du bas vers le haut :

Représentation à l’instant t :

La Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des

forces extérieures appliquées à un solide est égale au

produit de la masse du solide par le vecteur accélération

de son centre d’inertie.

On écrit :

(1)

Remarque :  v x = - v car v x est négatif avec l'orientation choisie .

La grandeur v représente la valeur de la vitesse, grandeur positive.

-          Type de l’équation différentielle :  (2)’

-          Remarque : en remplaçant v x = v dans l’équation (2),

-      on obtient :  (2)

 

2.      Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants :  (2).

-          On pose pour généraliser l’expression :

-          L‘équation devient :  (1)

-          On sépare les variables :  (2)

-          Étude de l’expression :

-          En considérant que , on peut écrire que :

-         

-          Or :

-           

-          En conséquence :

-         

-          En remplaçant dans l’expression 2 :

-         

-          En identifiant :

-          On peut écrire l’expression suivante :

-         

-          Par intégration, on peut écrire :

-         

-          Que l’on peut aussi écrire :

-          On peut réduire cette expression :

-         

-          On peut continuer pour trouver l’expression de v en fonction du temps :

-         

-          En ordonnant, on obtient l’expression suivante :

-         

-          Utilisation des conditions initiales : Au temps t = 0 s, la vitesse de la

balle est nulle en conséquence, K 1 = 1 :

-         

-          Remarque : La vitesse limite atteinte par la bille est donnée par la relation :

-          .

3.      Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants :  (2)’.

-          On pose pour généraliser l’expression :

-          L‘équation devient :  (1)

-          On sépare les variables :  (2)

-          Étude de l’expression :

-          En considérant que , on peut écrire que :

-         

-          Or :

-         

-          En conséquence :

-         

-          En remplaçant dans l’expression 2 :

-         

-          En identifiant :

-          On peut écrire l’expression suivante :

-         

-          Par intégration, on peut écrire :

-         

-          On peut réduire cette expression :

-         

-          On peut continuer pour trouver l’expression de v en fonction du temps :

-         

-          En ordonnant, on obtient l’expression suivante :

-         

-          Utilisation des conditions initiales : Au temps t = 0 s, la vitesse de la

balle est nulle en conséquence, K 1 = 1 :

-         

-          Remarque : La vitesse limite atteinte par la bille est donnée par la relation :

-          .

4.      Représentations graphiques :

Équation différentielle du premier ordre non linéaire

v lim2

35

m

5,30E-02

intervalle de temps :

dt =

0,2

g = b

9,81

a 2 =

8,01E-03

k 2 =

4,24E-04

racine (k.g/m) =

0,28028571

v lim1

30

a 1 =

1,09E-02

k 1 =

5,78E-04

racine (k.g/m) =

0,327

  

équation différentielle (2) :

 

équation différentielle (2)’ :