Chap. N° 05

Cinématique

et

dynamique

newtoniennes.

 Cours.

 

   

 

Moteur de recherche sur les différents sites

 

 


I- Les outils pour décrire le mouvement

d’un objet.

1)- Introduction.

2)- Le vecteur position.

3)- Le vecteur vitesse.

4)- Le vecteur accélération.

5)- Application :

6)- Le vecteur quantité de mouvement.

(étude expérimentale :

propulsion et quantité de mouvement)

II- Reconnaître un mouvement.

1)- Le mouvement rectiligne uniforme.

2)- Les mouvements rectilignes

uniformément variés.

3)- Les mouvements circulaires uniformes.

4)- Les mouvements circulaires

non uniformes.

5)- Cas des mouvements accélérés,

retardés, uniformes.

III- Les lois de Newton.

1)- Référentiels Galiléens.

2)- Première loi de Newton :

le principe de l’Inertie.

3)- Deuxième loi de Newton :

Principe fondamental de la dynamique.

4)- Troisième loi de Newton :

Principe des actions réciproques.

5)- Application à la propulsion par réaction.

IV- Applications

1)- QCM :       QCM

2)- Exercices :     Exercices.

Phys. N° 09 La mécanique de Newton. Cours.
Chap. N° 04 Les lois de Newton. Cours.

  Phys. N° 09 La mécanique de Newton. Exercices.


Exercices :     énoncé avec correction

a)-   Exercice 7 page 146 : Choisir un référentiel d’étude.

b)-  Exercice 10 page 146 : Connaître les propriétés du vecteur accélération.

c)-   Exercice 11 page 147 : Représenter des vecteurs vitesses.

d)-  Exercice 12 page 147 : Représenter des vecteurs accélérations.

e)-   Exercice 16 page 148 : Analyser un mouvement.

f)-   Exercice 18 page 148 : Déterminer des forces inconnues.

g)-  Exercice 28 page 150 : Voiture au banc d’essai.

h)-  Exercice 30 page 150-151 : Décollage d’Ariane 5.

i)-    Exercice 34 page 152 : En impesanteur.

j)-    Exercice 35 page 153 : Le dauphin à flancs blancs.


I- Les outils pour décrire le mouvement d’un objet.

1)- Introduction.

-     Avant de décrire le mouvement d’un objet, il faut préciser :

-     Le système S étudié

-     Et le référentiel R d’étude.

-     l'objet dont on étudie le mouvement est appelé le mobile et l'objet de référence est appelé le référentiel.

-     Un référentiel est un solide par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile.

-     Pour décrire le mouvement d'un mobile, il faut indiquer le référentiel d'étude.

-     Un point matériel représente soit un objet de petite taille (particule, petite bille), soit un objet de grande taille dont on néglige les effets de rotation sur lui-même.

-     Généralement, on appelle cet objet le mobile.

-     Le système est modélisé par un point unique (c’est le centre d’inertie G du système), on parle du modèle du point matériel de masse m.

-     Lorsqu’on étudie le système S de masse m et de centre d’inertie G, on utilise la notation :

-     S = {m, G}

-     Pour simplifier les écritures, l’étude est limitée aux mouvements à deux dimensions, mais peut être généralisée aux espaces à trois dimensions.

2)- Le vecteur position.

-     On travaille dans le repère orthonormé lié au référentiel choisi.

-     L’association du repère avec le référentiel d’étude est notée :

-     Le point M (x, y) est repéré grâce à ses coordonnées :

-     ,

-     Les vecteurs sont des vecteurs unitaires constants et

-    

-     Unités : les coordonnées x et y s’expriment en mètres (m).

-     Si le point M est en mouvement, x et y sont deux fonctions du temps.

-     Les expressions x (t) et y (t) sont appelées les équations horaires du mouvement.

-    

-     Pour simplifier et alléger les notations, on peut écrire :

-     Tout en sachant que x et y sont des fonctions du temps t.

 

 

3)- Le vecteur vitesse.

a)-   Vitesse moyenne d'un point mobile. Rappels.

* Définition.

-     La vitesse moyenne d'un point mobile est égale au quotient de la distance parcourue par la durée du parcours.

-     Relation :

 

Vitesse moyenne v m en m / s ou m . s–1

Distance parcourue : d en m

Durée du parcours : Δt en s

-     Dans le S.I, l'unité de vitesse est le mètre par seconde.

  Cas d'un mouvement rectiligne.

 

  Cas d'un mouvement curviligne.

 

b)-  Vitesse instantanée.

-     C'est la vitesse à un instant donné.

-     On définit cette vitesse afin de mieux décrire le mouvement d'un point mobile.

-     On ne sait calculer qu'une vitesse moyenne.

-     On va considérer que pendant un intervalle de temps très court, la vitesse ne varie pratiquement pas, qu'elle reste pratiquement constante.

-   On peut en conséquence utiliser la relation précédente.

-     La vitesse instantanée v (t) d’un point mobile, à la date t, est pratiquement égale à sa vitesse moyenne calculée pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant t considéré.

 

-     Remarque  :

-     La valeur donnée par cette relation est d'autant plus proche de la vraie valeur que la durée Δt = t" - t' est petite.

-     Lorsque la durée Δt devient très petite, on la note τ.

c)-   Le vecteur vitesse.

-    La connaissance de la valeur de la vitesse instantanée n’est pas insuffisante pour caractériser le mouvement d'un point mobile.

-    Pour caractériser le mouvement d’un point mobile, il faut connaître à chaque l’instant, la valeur, la direction et le sens de la vitesse instantanée.

-    L'outil mathématique qui permet d'indiquer une direction, un sens et une valeur est le vecteur.

-     On utilise en physique le vecteur vitesse instantané noté .

  Le vecteur vitesse instantané a les caractéristiques suivante :

-     Origine : position occupée par le point mobile à l'instant considéré t.

-     Direction : tangente à la trajectoire au point considéré.

-     Sens : celui du mouvement à cet instant

-     Valeur : celle de la vitesse instantanée à cet instant.

  Représentation du vecteur vitesse.

 

 

-     On représente le vecteur vitesse par un segment fléché :

-     Vecteur vitesse du point mobile M à l'instant t3, que l'on note plus simplement .

*      Pour tracer ce vecteur vitesse :

-     Origine : Position occupée par le point mobile à l'instant considéré t c'est-à-dire le point M3.

-     Direction : Tangente à la trajectoire au point considéré : droite parallèle à (M2 M4) issue de M3.

-     Sens : Celui du mouvement à cet instant

-     Valeur : Celle de la vitesse instantanée à cet instant :

-     c'est-à-dire : .

-     Longueur du représentant ℓv :

-     Une échelle de représentation est indispensable.

-   Elle associe la longueur du segment fléché à la valeur de la vitesse instantanée.

-     Exemple : 1 cm ↔ 0,1 m / s.

-   En conséquence si v3 ≈ 0,40 m / s,

-     Le segment fléché aura une longueur :v3 = 4 cm.

Animation CabriJava (Tracé de vecteurs vitesses)

Méthode 1

Méthode 2

* Récapitulatif :

-     Caractéristiques du vecteur vitesse instantanée au temps t 3.

 

 

 

  Point d’application : M3

  Direction : tangente à la trajectoire au point considéré : (M2 M4)

  Sens : celui du mouvement

  Valeur :    c'est-à-dire : .

-     C’était une approche expérimentale qui permettait d’atteindre la valeur de la vitesse instantanée et de tracer le vecteur vitesse instantanée.

-     La relation vectorielle approchée était de la forme :

-     (1)

d)-  Le vecteur vitesse instantané.

-     Pour simplifier l’étude, on considère le mouvement d’un objet sur une table plane inclinée ou pas.

-     On étudie le mouvement de l’objet par rapport à la table (Référentiel).

-     À ce référentiel, on associe le repère : .

-     On écrit la relation (1), en utilisant l’origine des espaces O.

 

-      

-     Le vecteur vitesse traduit les variations du vecteur position par rapport au temps.

Définition du vecteur vitesse :

* Le vecteur vitesse d’un point mobile M, à l’instant t dans un référentiel R est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position de ce point.

-      

-     Remarque :

-     Notation simplifiée :

-     En conséquence, le vecteur vitesse décrit les variations du vecteur position.

-     Sa direction est donnée par la tangente à la courbe au point considéré.

-     Il dépend du référentiel d’étude.

e)-   Coordonnées du vecteur vitesse.

-     Pour connaître les coordonnées du vecteur vitesse, on dérive le vecteur position par rapport au temps :

 

 

 

 

Vecteur position

 

par dérivation

par rapport

 au temps

Vecteur vitesse

 

 

 

4)- Le vecteur accélération.

a)-   Approche expérimentale.

-     Le vecteur accélération est un vecteur qui rend compte des variations du vecteur vitesse.

-     Il traduit les variations du vecteur vitesse.

-     Pour déterminer, de façon expérimentale, la valeur de l’accélération au temps t, on calcule la variation du vecteur vitesse pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant considéré.

-     Représentation du vecteur accélération à l’instant t3 :

-      

*      Le tracé :

Animation CabriJava (Tracé du vecteur accélération)

Première étape

Deuxième étape

Troisième étape

 

 

  Point d’application : M3

  Direction et sens : même direction et même sens que

  Valeur : que l’on note plus simplement :

  Unité : m / s 2

b)-  Définition.

-     Pour obtenir l’accélération instantanée au temps t3, il faut faire tendre Δt → 0:

-      

Définition du vecteur accélération :

* Par définition, on appelle vecteur accélération du point M à la date t, dans un référentiel R, le vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur vitesse du point M à cet instant.

-     On écrit :

 

-     Notation simplifiée :

-     Ou encore :

c)-   Coordonnées du vecteur accélération.

-     Pour connaître les coordonnées du vecteur accélération, on dérive les coordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps :

 

 

 

 

Comme

 

Alors

 

=>

 

 

 

 

par dérivation

 par rapport

 au temps

 

-     Récapitulatif :

Vecteur position

Vecteur vitesse

Vecteur accélération

 

 

 

5)- Application :

-     On donne les équations paramétriques horaires du mouvement d’un point M dans le repère : ,

-     Donner l’expression des coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point mobile M dans le repère R.

Vecteur position

Vecteur vitesse

Vecteur accélération

 

 

 

-     Remarque :

-     La valeur de l’accélération est reliée aux coordonnées du vecteur accélération ax et ay par la relation de Pythagore :

-      

-     Les coordonnées et la valeur du vecteur accélération dépendent du temps et dépendent comme le vecteur vitesse du référentiel d’étude.

6)- Le vecteur quantité de mouvement. (Étude expérimentale : propulsion et quantité de mouvement)

-     Le vecteur quantité de mouvement  d’un point matériel est égal :

-     Au produit de sa masse m,

-     Par son vecteur vitesse

 

  Origine : position du point M à l’instant considéré

  Direction et sens : même direction et même sens que le vecteur vitesse  à l’instant considéré.

  Valeur : p = m . v

  Unité : kg . m . s–1

-     Remarque :

-     Le vecteur quantité de mouvement a toujours la même direction et le même sens que le vecteur vitesse, car la masse m est une grandeur positive.

II- Reconnaître un mouvement.

1)- Le mouvement rectiligne uniforme.

a)-   Définition :

Mouvement rectiligne uniforme :

* Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse a toujours même direction, même sens et même valeur.

-   Son vecteur vitesse est un vecteur constant au cours du temps.

b)-  Conséquences :

-     La trajectoire est une portion de droite

-     La valeur de sa vitesse est constante au cours du temps.

-     Le système parcourt des distances égales pendant des durées égales.

-     La valeur de la vitesse instantanée ne varie pas au cours du temps.

-     Le vecteur vitesse est indépendant du temps :

-     Le vecteur position et le vecteur vitesse ont, à chaque instant, même direction et même sens.

-     Comme

-     Le vecteur accélération est un vecteur nul et la valeur de l’accélération est nulle.

c)-   Caractéristiques graphiques du mouvement rectiligne uniforme.

Chronophotographie d’un mouvement rectiligne

 

Représentation graphique de la coordonnée x de la position en fonction du temps

 

 

 

Le coefficient directeur de la portion de droite tracée est égal à la valeur de la vitesse v du mobile.

 

Représentation graphique de la coordonnée vx de la vitesse en fonction du temps

 

Représentation graphique de l’accélération ax en fonction du temps

 

 

 

Vecteur position

Vecteur vitesse

Vecteur accélération

 

 

 

 

Équations

Horaires

x (t) = v0x . t + x0

vx (t) = v0x

ax (t) = 0

 

2)- Les mouvements rectilignes uniformément variés.

a)-   Définition :

Mouvement rectiligne uniformément varié :

* Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié si son vecteur accélération a toujours la même direction, le même sens et la même valeur.

-         Le vecteur accélération est un vecteur constant au cours du temps :

b)-  Conséquences :

-     La trajectoire est une portion de droite

-     La valeur de l’accélération est constante au cours du temps.

-     Le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération ont même direction.

-     La valeur de la vitesse est une fonction affine du temps : vx = a x0 . t + v0x

c)-   Caractéristiques graphiques du mouvement rectiligne uniformément varié.

Chronophotographie du mouvement

 

Représentation graphique de la coordonnée x de la position en fonction du temps

 

Représentation graphique de la coordonnée vx de la vitesse en fonction du temps

 

Représentation graphique de l’accélération ax en fonction du temps

 

-     Les équations horaires :

 

Vecteur position

Vecteur vitesse

Vecteur accélération

 

 

 

 

Équations

Horaires

vx (t) = a0x . t + v0x

ax (t) = a0x

 

3)- Les mouvements circulaires uniformes.

a)-   Définition :

Mouvement circulaire uniforme :

* Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et si la valeur de sa vitesse v est constante.

b)-  Conséquences :

-     Le vecteur accélération est alors centripète et sa valeur a est constante.

-      

-     Le mobile parcourt des arcs égaux pendant des durées égales.

-     Exemple :

Le mobile autoporteur, maintenu par un fil tendu, est lancé sur la table à digitaliser. La table est horizontale.

On enregistre la position du centre d’inertie du solide à intervalles de temps égaux t après avoir lâché le mobile.

 

 

 

Mouvement circulaire

Mouvement circulaire uniforme

Animation CabriJava

 

-     Le vecteur vitesse est à chaque instant perpendiculaire au vecteur accélération.

-     Le vecteur vitesse et le vecteur accélération changent de direction à chaque instant.

-     Animation CabriJava.

4)- Les mouvements circulaires non uniformes.

a)-   Exemple : Mouvement d’un pendule simple.

-     Un pendule simple est constitué d’un objet sphérique de masse m suspendu à un fil inextensible de longueur .

-     Remarque : la masse du fil est négligeable devant celle de l’objet.

-     La longueur est grande devant celle de l’objet.

-     Dans le cas contraire, on dit que le pendule est pesant.

-     On écarte le solide de sa position d’équilibre d’un angle θ0 < 10°.

-     On laisse le pendule osciller librement et on fait une représentation à un temps t quelconque.

 

Position à l’instant t

 

Bilan des forces

 

Accélération

 

 Animation CabriJava (Forces)

Animation CabriJava (Vecteurs vitesse et accélération) 

Animation CabriJava (Vecteurs accélérations) 

b)-  Définition :

-     Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement circulaire non uniforme,

-     Si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R

-     Et si la valeur de l’accélération  n’est pas constante.

-     À chaque instant, le vecteur accélération  se décompose en deux vecteurs :

-    

Vecteur accélération

 

Le vecteur accélération

 tangentielle

Le vecteur accélération

normale

 

 

 

Direction

Tangent à la trajectoire

au point considéré

Centripète

Sens

Orienté dans le

sens du mouvement

Orienté vers

le centre du cercle

Valeur

 

C’est la dérivée

par rapport

au temps de la

valeur de la vitesse v

 

 

5)- Cas des mouvements accélérés, retardés, uniformes.

-     Cas particuliers importants : le mouvement rectiligne uniforme, le mouvement rectiligne varié, le mouvement circulaire uniforme.

  Quelles sont les caractéristiques du vecteur accélération de ces mouvements ?

  Que peut-on dire de l'accélération tangentielle et de l'accélération normale ?

-     Si v ↑ au cours du mouvement, celui-ci est accéléré.

-     Si v au cours du mouvement, celui-ci est retardé.

-     Si v = cte le mouvement est uniforme.

-     Remarque :

-     Le produit scalaire permet de connaître si un mouvement est retardé ou accéléré.

-      

-     Si

-     Si

-     Si  

III- Les lois de Newton.

1)- Référentiels Galiléens.

* Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel les lois de Newton sont vérifiées.

-     Pour simplifier l’étude du système, on choisit toujours un référentiel adapté.

  Le référentiel terrestre ou référentiel du laboratoire.

-     On utilise, le plus souvent, comme repère lié au référentiel terrestre, deux axes horizontaux et un axe vertical.

-     Ce référentiel est bien commode pour l’étude du mouvement des objets dans une salle de classe, pour tous les mouvements qui s’effectuent au voisinage de la terre.

  Le référentiel géocentrique.

-     L’origine du repère lié au référentiel Géocentrique est située au centre de la Terre.

-     L’axe z’Oz est orienté vers une étoile lointaine : on peut choisir l’étoile polaire.

-     Les axes x’Ox et y’Oy sont situés dans le plan équatorial et ils sont orientés vers des étoiles lointaines supposées fixes.

-     Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites de la Terre.

-     Ce référentiel n’est pas entraîné dans le mouvement de rotation de la Terre.

-     Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation uniforme de l’ouest vers l’est, autour de l’axe des pôles.

  Le référentiel Héliocentrique ou de Copernic.

-     L’origine du repère lié au référentiel Héliocentrique est située au centre du Soleil.

-     Les axes z’Oz, x’Ox et y’Oy sont orthogonaux et ils sont orientés vers des étoiles lointaines supposées fixes.

-     Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites du Soleil.

-     Dans ce référentiel, la Terre décrit une orbite elliptique autour du Soleil en une année.

  Pour ces mouvements, ces référentiels peuvent être considérés comme galiléens.

2)- Première loi de Newton : le principe de l’Inertie.

Principe de l'Inertie : Énoncé :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel n’est soumis à aucune force (système isolé) ou s’il est soumis à un ensemble de forces dont les effets se compensent (système pseudo-isolé), alors il est immobile ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme.

-     Lorsqu’un système est isolé ou pseudo-isolé :

-     Sa vitesse est constante, sa quantité de mouvement est constant, on dit qu’elle se conserve.

-      

3)- Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique.

a)-   Énoncé :

Principe fondamental de la dynamique : Énoncé :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-     On écrit :

b)-  Cas particulier : la masse du système se conserve au cours du mouvement : m = cte

-      

c)-   Autre expression de la deuxième loi de Newton.

-     Considérons le repère lié au référentiel d’étude :

-     Dans ce repère :

 

Coordonnées des vecteurs

Expression

Résultante des forces extérieures

 

 

 

Vecteur quantité de mouvement

 

 

 

Deuxième loi de Newton

 

 

-     Remarque : Fx et Fy sont les coordonnées de la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le système.

d)-  Exemple : Cas du pendule simple.

-     Le système S étudié : La bille de masse m et de centre de gravité G.

 

Position à l’instant t

 

Bilan des forces

 

 

Coordonnées des vecteurs

Résultante des forces extérieures

 

 

Vecteur quantité de mouvement

 

Deuxième loi de Newton

 

 

4)- Troisième loi de Newton : Principe des actions réciproques.

a)-   Énoncé :

Principe des actions réciproques : Énoncé :

* Soient deux corps A et B.

-     A est situé au point O et B est situé au point P.

-     Lorsqu’un corps A exerce sur un corps B une action mécanique représentée par le vecteur force localisée en P

-     Le corps B exerce sur un corps A une action mécanique représentée par le vecteur force localisée en O.

-     Les forces  et ont même support et :  

-     Schéma :

 

-     Remarque : Cette propriété est toujours vraie, que les corps soient au repos ou en mouvement.

-     Schéma de l’interaction Terre–Lune.

 

 

b)-  Mesure de la valeur du poids d'un corps à l'aide d'un dynamomètre.

-     Le dynamomètre mesure aussi bien la force qu'il exerce que la force qu'on lui applique.

-     Représentation schématique :

 

 

L'objet est en équilibre

 

-     D'après les conditions d'équilibre, on peut écrire que :

-      

-     Et que les deux forces ont la même droite d'action : P = F2→1.

-     Le dynamomètre est en équilibre et on considère qu'il a une masse négligeable.

-     On peut écrire que :

-      

-     Et les deux forces ont la même droite d'action : F2→1 = F3→2.

-     D'après le principe de d'interaction : F2→1 = F1→2.

-     En conséquence : F2→1 = F1→2 = P 

-     Le dynamomètre mesure bien le poids de l'objet ceci lorsque le dynamomètre est immobile.

  Que se passe-t-il si l’objet est en mouvement ? Si le dynamomètre bouge ?

-     Si le dynamomètre bouge cela n'est plus vrai : F2→1 = F1→2 P 

-     Remarque :

-     La troisième loi de Newton est vérifiée que les forces soient de contact ou à distance et que les solides soient immobiles ou en mouvement.

c)-   Application : Interaction de contact et propulsion.

Pourquoi pouvons-nous marcher ?

  Schématiser un personnage qui se déplace en marchant. Quelles sont les actions mécaniques qui s’exercent sur le marcheur ?

-     Il y a l’action du sol sur le marcheur  et l’action de la Terre sur le marcheur .

  Représenter par des vecteurs forces l’action du sol sur ses pieds.

 

-     On peut décomposer la force exercée par le sol sur le pied du marcheur par deux actions :

-     La réaction normale au support qui empêche le pied de traverser le son ou de s’enfoncer dans le sol et la réaction tangentielle qui empêche le pied de glisser en arrière.

 

5)- Application à la propulsion par réaction.

-     Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un système S assimilé à un point matériel est soumis à des forces dont les effets se compensent :

-     D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :

-      

-     Le vecteur quantité de mouvement du système S = {m, G} se conserve.

-     Le système S est assimilé à un point matériel G de masse m.

-     Notation : S = {m, G}

-     Si le système S est immobile, alors

-     Si ce système S = {m, G} se sépare en deux parties S1 = {m1, G1} et S2 = {m2, G2}

-     Les deux parties S1 et S2 sont en interactions.

-     De plus :

-     Les quantités de mouvement des deux parties sont opposées puisque leur somme vectorielle est nulle.

-     La conservation de la quantité de mouvement permet d’expliquer la propulsion par réaction.

-     Exemple :  (à finir) Animation CabriJava

 

IV- Applications

1)- QCM : reconnaître un mouvement.

 

2)- Exercices : Exercices :     énoncé avec correction

a)-   Exercice 7 page 146 : Choisir un référentiel d’étude.

b)-  Exercice 10 page 146 : Connaître les propriétés du vecteur accélération.

c)-   Exercice 11 page 147 : Représenter des vecteurs vitesses.

d)-  Exercice 12 page 147 : Représenter des vecteurs accélérations.

e)-   Exercice 16 page 148 : Analyser un mouvement.

f)-   Exercice 18 page 148 : Déterminer des forces inconnues.

g)-  Exercice 28 page 150 : Voiture au banc d’essai.

h)-  Exercice 30 page 150-151 : Décollage d’Ariane 5.

i)-    Exercice 34 page 152 : En impesanteur.

j)-    Exercice 35 page 153 : Le dauphin à flancs blancs.