Chap. N° 06

Applications des lois de

Newton et de Kepler. Cours.

 

   

 

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I- Mouvement d’un système S dans

un champ uniforme.

1)- Cas d’un objet dans un champ de

pesanteur uniforme.

a)- Application :

b)- Les différentes étapes de l’étude :

2)- Cas d’une particule chargée dans un

champ .

a)- Le champ électrique uniforme.

b)- Application :

c)-  Les différentes étapes de l’étude :

II- Mouvement des satellites et

des planètes.

1)- Description par la deuxième

loi de Newton.

a)- Application :

b)- Les différentes étapes de l’étude :

2)- Description des lois de Kepler.

a)- Historique.

b)- Première loi : la loi des trajectoires

c)- Deuxième loi : Loi des aires.

d)- Troisième loi : Loi des périodes.

III- Applications.

1)- QCM :     QCM

2)- Exercices :     Exercices

Etude d'une chute verticale.

Phys. N° 11 Mouvements de projectile. Cours.

Phys. N° 12 Satellites et Planètes. Exercices.

Chap. N° 06 Mouvements dans un champ de pesanteur uniforme.

Chap. N° 07 Mouvement des satellites et des planètes.

Chap. N° 08 Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

Phys. N° 10 Chute verticale d'un solide. Exercices.
Phys. N° 11 Mouvements de projectile. Exercices.
Phys. N° 12 Satellites et Planètes. Cours.

QCM sous forme de tableau

QCM réalisé avec le logiciel Questy

Exercices : énoncé avec correction

a)- Exercice 9 page 172 : Étudier le lancer du poids.

b)- Exercice 10 page 173 : Faire une analyse dimensionnelle.

c)- Exercice 17 page 174 : Étude du canon à électrons.

d)- Exercice 18 page 175 : Neptune et Galatée.

e)- Exercice 20 page 176 : Poids et force électrostatique.

f)- Exercice 21 page 176 : De l’optique avec des électrons.

g)- Exercice 22 page 177 : Quelle est la masse de Jupiter.

h)- Exercice 26 page 179 : Principe du spectromètre de masse.

I- Mouvement d’un système S dans un champ uniforme.

1)- Cas d’un objet dans un champ de pesanteur uniforme.

a)-   Application :

-     Une balle de tennis de masse m est lancée d'un point O avec une vitesse initiale  faisant un angle α avec l'horizontale.

-     On considère que la balle se déplace dans un champ de pesanteur uniforme.

-     Données : v0 =12 m / s ; α = 60 ° ; m = 50 g et g = 9,81 m / s².

-     On choisit comme repère : y'Oy axe vertical orienté vers le haut et x'Ox axe horizontal orienté de gauche à droite.

-     Le plan (x'x, y'y) contient le vecteur vitesse .

-     L’axe z'Oz est orthogonal au plan (x'x, y'y).

-     Les vecteurs  forment un trièdre direct.

-     On choisit comme origine des espaces le point O et l'origine des dates l'instant ou la balle occupe la position O.

-     Schéma à l’instant t :

 

-     Donner les équations horaires du mouvement.

-     Que peut-on dire du mouvement de G suivant l'axe x'Ox, suivant l'axe y'Oy ?

-     Dans quel plan s'effectue le mouvement de G ?

-     Déterminer l'équation de la trajectoire du point G. Conclusion.

b)-  Les différentes étapes de l’étude :

   Première étape : Définition du système :

-     On précise le système étudié : dans le cas présent une balle de masse m, assimilable à un point matériel G :

-   Système : S (m, G)

   Deuxième étape : Choix du référentiel d’étude et on indique les conditions initiales :

-     Dans le cas présent, on étudie le mouvement d’une balle dans un champ de pesanteur uniforme.

-     Le mouvement a lieu au voisinage du sol.

-     On choisit un référentiel terrestre supposé galiléen.

-     À ce référentiel, on associe un repère d’espace orthonormé.

-     L’ensemble est noté :

-   Le plus souvent, le référentiel d’étude et le repère d’espace lié au référentiel sont donnés dans l’énoncé.

-     Conditions initiales : Position et vitesse du mobile au temps t = 0 s

 

 

   Troisième étape : Étude dynamique :

-     Bilan des forces : Inventaire des actions mécaniques que subit le système

-     Avec quoi le système est-elle en interaction ?

-     Interaction avec la Terre (champ de pesanteur uniforme) :

-     La balle est soumise à son poids .

-     La balle est en interaction avec l’air qui l’entoure.

-     On peut négliger la poussée d’Archimède et les forces de frottements.

-     On peut donner les coordonnées des différentes forces et vecteurs dans le repère choisi :

 

 

-     Application de la deuxième loi de Newton :

Deuxième loi de Newton :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-     On écrit :

-      

-     Comme la masse m de la balle ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :

-      

-     D’où :

-      

   Quatrième étape : Étude cinématique.

-     On peut donner les coordonnées du vecteur accélération dans le repère d’étude :

 

et

 

De l’équation (1),

on tire

 

-     Le but est de trouver les équations horaires du vecteur vitesse et du vecteur position de la balle.

* De l’accélération à la vitesse :

-     On utilise la relation :

-    

-     Le vecteur accélération  est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse .

-     La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.

-     On cherche les primitives des équations précédentes.

-     Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

 

D’après les

conditions initiales

 

* De la vitesse à la position.

-     On opère de la même façon :

-      

-     Le vecteur vitesse  est la dérivée par rapport au temps du vecteur position .

-     La détermination du vecteur position nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur vitesse en tenant compte des conditions initiales.

 

D’après les

conditions initiales

 

-     Remarques :

-     Le mouvement suivant l'axe x'Ox est rectiligne uniforme.

-     Le mouvement suivant l'axe y'Oy est rectiligne uniformément varié.

-     Le mouvement de G est contenu dans le plan (x'x, y'y) appelé plan de tir.

-     Il contient le vecteur .

* De la position à la trajectoire.

-     La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps.

-     On élimine le temps t pour trouver la relation entre les coordonnées x et y du vecteur position.

-     Comme le mouvement a lieu dans le plan (xOy) :

-      y = f (x).

                   

 

On en déduit l’équation de la trajectoire

 

-     La trajectoire de G est une portion de parabole contenue dans un plan vertical contenant le vecteur vitesse .  

-     Elle est liée aux conditions initiales.

-     Chronophotographie et animation CabriJava.

 

Animation

  

 Animation CabriJava

2)- Cas d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme.

a)-   Le champ électrique uniforme. 1sph07.htm

-     Un champ électrique est dit uniforme dans une région de l’espace si le vecteur champ  conserve en tout point de cette région, la même direction, le même sens et la même valeur.

-     Un condensateur plan est formé par deux plateaux conducteurs parallèles A et B appelés armatures, séparés par un isolant de faible épaisseur d.

 

-     Dans l’espace situé entre les armatures, le champ électrique  :

-     Est considéré comme uniforme,

-     Sa direction est perpendiculaire aux armatures,

-     Son sens est dirigé de l’armature positive vers l’armature négative (sens des potentiels décroissants),

-     Son intensité (sa valeur) :

b)-  Application :

-     Un électron M de masse m, porte la charge électrique q = – e.

-     L’électron M pénètre, dans le vide, avec le vecteur vitesse , faisant un angle α avec l’horizontale à l'intérieur d'un condensateur plan.

-     L’électron M coïncide avec O à la date t = 0 s.

*  Appliquer l’étude précédente à l’électron.

-     Données : m = 9,1 x 10–31 kg ; Charge : q = – e = – 1,6 x 10–19 C

-     E = 4,7 x 103 V / m ; g = 9,81 N / kg

c)-   Les différentes étapes de l’étude :

   Première étape : Définition du système :

-     Système S : électron M de masse m et de charge q.

   Deuxième étape : Référentiel d’étude et conditions initiales :

-     Référentiel terrestre supposé galiléen

-     Le repère d’espace choisi : contient le vecteur vitesse  et le vecteur champ électrique .

-     Position et vitesse du mobile au temps t = 0 s

 

 

   Troisième étape : Étude dynamique :

-     Bilan des forces : inventaire des forces extérieures exercées sur l’électron.

-     Son poids .

-     La force électrostatique

-     L’électron se déplace dans le vide, il n’y a pas d’interaction avec l’air.

-     Comparaison de Fe et P.

-     Fe = e . E ≈ 1,6 x 10–19 x 4,7 x 103 

-     Fe ≈ 7,5 x 10–19 N

-     P = m . g9,1 x 10–31 x 9,81

-     P 8,9 x 10–30 N

-      

-     En conséquence, P << Fe, on peut négliger les effets du poids devant celui de la force électrostatique Fe.

-     En conséquence, l’électron n’est soumis qu’à la force électrostatique.

-     Coordonnées des différentes forces et vecteurs dans le repère choisi :

 

 

-     Application de la deuxième loi de Newton :

Deuxième loi de Newton :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-     On écrit :

-      

-     Comme la masse m de l’électron ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :

-      

-     D’où :

-      

   Quatrième étape : Étude cinématique.

-     On peut donner les coordonnées du vecteur accélération dans le repère d’étude :

 

et

 

De l’équation (1),

on tire

 

-     Ainsi par recherche des primitives, on retrouve les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur position.

* De l’accélération à la vitesse :

 

D’après les

conditions initiales

 

* De la vitesse à la position :

 

D’après les

conditions initiales

 

* De la position à la trajectoire :

-     Équation de la trajectoire : on élimine le temps t entre x et y pour exprimer y = f (x).

-      

-     La trajectoire de l’électron est une portion de parabole.

Animation CabriJava

-     Déviation d’un faisceau d’électrons (oscilloscope)

 

II- Mouvement des satellites et des planètes.

1)- Description par la deuxième loi de Newton.

a)-   Application :

-     On étudie le mouvement d’un satellite S, de masse m, assimilé à un point matériel, en orbite autour de la Terre de centre O et de masse MT.

-     On considère que le satellite décrit une orbite circulaire de rayon R = OS.

 

*  Appliquer l’étude précédente au satellite S.

b)-  Les différentes étapes de l’étude :

   Première étape : Définition du système :

-     Système S : Satellite S de masse m.

   Deuxième étape : Référentiel d’étude

-     Référentiel géocentrique supposé galiléen.

-     Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

-     Repère mobile lié au satellite

-      

-     : désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-     : désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à  et orienté vers le centre O du cercle.

   Troisième étape : Étude dynamique :

-     Bilan des forces : inventaire des forces extérieures exercées sur le satellite.

-     Le satellite est en interaction avec la Terre : force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite :

-     Le satellite est aussi en interaction avec les autres astres de l’Univers : cette interaction est négligeable devant celle exercée par la Terre.

-     Le satellite est en interaction avec l’atmosphère de la Terre qui entraîne des forces de frottements.

-     Dans notre étude, on négligera cette interaction devant celle exercée par la Terre.

-     On considère que le satellite n’est soumis qu’à la seule force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre.

-      

 

-     Application de la deuxième loi de Newton :

Deuxième loi de Newton :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-     On écrit :

-      

-     Comme la masse m du satellite ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :

-      

-     D’où :

-      

-     Le vecteur accélération est centripète, il est orienté vers le centre de la trajectoire.

   Quatrième étape : Étude cinématique.

-     Comme on est en présence d’un mouvement circulaire,

Vecteur

accélération

 

Le vecteur accélération

 tangentielle

Le vecteur accélération

normale

 

 

 

Direction

Tangent à la trajectoire

au point considéré

Centripète

Sens

Orienté dans le sens du mouvement

Orienté vers le

centre du cercle

Valeur

 

C’est la dérivée par rapport au temps

de la valeur de la vitesse v

 

-     D’autre part, la relation (1) indique que :

-      

-     On en déduit que :

Vecteur accélération

Relation

 

 

 

-     De l’accélération à la vitesse :

-      

-     Le satellite est animé d’un mouvement circulaire uniforme.

-     D’autre part :

-      

-     La valeur de la vitesse du satellite est indépendante de sa masse.

-     Relation en fonction de l’altitude h du satellite

 

-     On note R = R T + h, ou h désigne l’altitude du satellite :

-      

-     La vitesse du satellite diminue lorsque l’altitude augmente.

-     Expression de la période T : Durée nécessaire pour effectuer un tour :

-      

-     La période de révolution d’un satellite est indépendante de sa masse m, elle dépend entre autre du rayon de la trajectoire.

-     La période de révolution d’un satellite augmente avec le rayon de sa trajectoire.

2)- Description des lois de Kepler.

a)-   Historique.

-     Pour Ptolémée (II e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde.

-     Copernic est à l’origine du système héliocentrique (1543).

-   Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil.

-     Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahé (1546 – 1601) formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

b)-  Première loi : la loi des trajectoires

* Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.

-     Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.

-     Définition d’une ellipse :

-     Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : r1 + r2 = 2 a.

-     Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.

-     La distance entre les deux foyers est 2 c.

-     Schéma : Animation

 

 

c)-    Deuxième loi : Loi des aires.

* Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

-     Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil.

-     En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

 

 

d)-  Troisième loi : Loi des périodes.

* Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :

.

-     Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète.

-     Si la trajectoire est un cercle de rayon R, on peut écrire que :

.

-     Cette constante peut être calculée.

-     Exemple :

-     Dans le cas du système solaire, on peut donner l’expression de la période de révolution d’une planète du système solaire :

-      

-     En élevant cette expression au carré et en ordonnant, on peut écrire :

-      

-     La constante s’identifie à .

-     En conséquence, on peut déterminer la masse du Soleil à partir de la période de révolution T et du rayon R de l’orbite d’une planète à trajectoire circulaire.

III- Applications.

1)- QCM

QCM sous forme de tableau

QCM réalisé avec le logiciel Questy

2)- Exercices :     Exercices : énoncé avec correction

a)-   Exercice 9 page 172 : Étudier le lancer du poids.

b)-  Exercice 10 page 173 : Faire une analyse dimensionnelle.

c)-   Exercice 17 page 174 : Étude du canon à électrons.

d)-  Exercice 18 page 175 : Neptune et Galatée.

e)-   Exercice 20 page 176 : Poids et force électrostatique.

f)-   Exercice 21 page 176 : De l’optique avec des électrons.

g)-  Exercice 22 page 177 : Quelle est la masse de Jupiter.

h)-  Exercice 26 page 179 : Principe du spectromètre de masse.