Chap. N° 06

Applications des lois de

Newton et de Kepler. Exercices.

 

   

 

Moteur de recherche sur les différents sites
 
 
 

  I- Exercice 9 page 172 : Étudier le lancer du poids.

II- Exercice 10 page 173 : Faire une analyse dimensionnelle.

III- Exercice 17 page 174 : Étude du canon à électrons.

IV- Exercice 18 page 175 : Neptune et Galatée.

V- Exercice 20 page 176 : Poids et force électrostatique.

VI- Exercice 21 page 176 : De l’optique avec des électrons.

VII- Exercice 22 page 177 : Quelle est la masse de Jupiter.

VIII- Exercice 26 page 179 : Principe du spectromètre de masse.


 

 

I- Exercice 9 page 172 : Étudier le lancer du poids.

 

Un athlète lance un poids. À la date t = 0 s, correspondant à l’instant du lancer, le poids se trouve à une hauteur h = 2,00 m au-dessus du sol et part avec une vitesse initiale de valeur égale à v0 = 14,0 m . s–1, faisant un angle α = 35,0 ° par rapport à l’horizontale. Le poids est assimilé à un point matériel M. Le champ de pesanteur terrestre est considéré comme uniforme.

Schéma :

 

On propose trois expressions littérales possibles de la trajectoire du poids dans le repère associé au référentiel terrestre supposé galiléen. L’objectif de cet exercice est de déterminer l’expression littérale correcte parmi les suivantes :

(A)  :

(B)   :

(C)   :

1)- Trajectoire :

a)-   Rappeler la définition de la trajectoire d’un point matériel en mouvement dans un référentiel.

b)-  Quelle expression peut-on éliminer ?

2)- Coordonnées :

a)-   Quelles sont les coordonnées du vecteur position initiale ?

b)-  En déduire la proposition correcte.

 

3)- Trajectoire :

a)-   Définition de la trajectoire d’un point matériel en mouvement dans un référentiel.

-     La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps.
-     La trajectoire d’un point mobile dépend du référentiel d’étude.
-     Le mouvement a lieu dans le plan (xOy), l’équation de la trajectoire est donnée par la relation du type :  y = f (x).

b)-  Expression que l’on peut éliminer :

-     Il faut éliminer la relation où intervient le temps t.
-     C’est-à-dire la relation (C) .
-     Elle est du type y = f (t), c’est une équation horaire.

4)- Coordonnées :

a)-   Coordonnées du vecteur position initiale et du vecteur vitesse initiale

 

 

-     Il faut éliminer l’expression littérale (A) qui ne tient pas compte de la position occupée par le poids M au temps t = 0 s.
-     Dans cette équation les coordonnées

b)-   Proposition correcte.

-     La bonne proposition est l’expression littérale (B) qui tient compte des conditions initiales.

 Pour aller plus loin :

 

II- Exercice 10 page 173 : Faire une analyse dimensionnelle.

 

Pour une planète du système solaire, la troisième loi de Kepler se traduit par l’expression :

-      

Indiquer la signification de chaque grandeur et vérifier à l’aide d’une analyse  dimensionnelle que l’expression est homogène.

Donnée : G = 6,67 x 10–11 m3 . kg–1 . s–2.

 

Analyse dimensionnelle :

-      

Grandeur physique

Symbole

unité

Période de révolution de la planète

T

La seconde : s

Rayon de la trajectoire

r

Le mètre : m

Masse du Soleil

MS

Le kilogramme : kg

Constant d’attraction Universelle

G

m3 . kg–1 . s–2

-     Étude de chaque expression :

Expressions

Unité

 

 

 

 

-     L’expression    est bien homogène.

 

III- Exercice 17 page 174 : Étude du canon à électrons.

 

Un canon à électrons est constitué d’un filament qui, lorsqu’il est porté à haute température, émet des électrons de vitesse initiale négligeable.

Ces électrons sont ensuite accélérés à l’intérieur d’un condensateur plan dont les armatures A et B sont verticales et entre lesquelles règne un champ électrostatique uniforme de valeur E.

Schéma :

 

On néglige le poids de l’électron devant la force électrostatique.

Le référentiel est supposé galiléen.

1)- Accélération et vitesse :

a)-   Déterminer les coordonnées du vecteur accélération  et du vecteur vitesse  de l’électron au cours du mouvement entre les plaques A et B.

On choisira le repère  indiqué sur le schéma.

b)-  En déduire l’expression de la valeur de sa vitesse à chaque instant.

2)- Établir les équations horaires de son mouvement.

3)- Expression et valeur de la vitesse :

a)-   Montrer que l’expression de la vitesse de l’électron lorsqu’il parvient à la plaque B du condensateur est :

-      

b)-  Calculer la valeur vB de cette vitesse.

-     Données :

e = 1,60 x 10–19 C ; me = 9,11 x 10–31 kg ; AB = d = 3,00 cm ; E = 6,00 x 104 V . m–1.   

 

1)- Accélération et vitesse :

a)-   Coordonnées du vecteur accélération  et du vecteur vitesse .

-     Système :
-   Électron, de masse me et de charge – e, assimilable à un point matériel M.
-     Référentiel d’étude :
-   Référentiel terrestre supposé galiléen .
-     Bilan des forces :
-   Inventaire des forces extérieures exercées sur l’électron.
-     Son poids .
-     La force électrostatique
-     L’électron se déplace dans le vide, il n’y a pas d’interaction avec l’air.
-     On néglige le poids de l’électron devant la force électrostatique.
-     En conséquence, l’électron est soumis à la seule force électrostatique :
-    .
-     Coordonnées des différentes forces et vecteurs dans le repère choisi :

 

 

-     Conditions initiales :

 

 

-     Application de la deuxième loi de Newton :

Deuxième loi de Newton :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-   On écrit :

-      

-     Comme la masse me de l’électron ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :
-      
-     D’où :
-      
-     Coordonnées du vecteur accélération :

 

Et

 

On en déduit :

 

-     Coordonnées du vecteur vitesse :
-     On utilise la relation .
-     Le vecteur accélération  est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse .
-     La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.
-     On cherche les primitives des équations précédentes.
-     Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

 

D’après les

conditions initiales

 

b)-  Expression de la valeur de sa vitesse à chaque instant.

-      

2)- Équations horaires de son mouvement.

-     On opère de la même façon :
-     Le vecteur vitesse  est la dérivée par rapport au temps du vecteur position .

 

D’après les

conditions initiales

 

3)- Expression et valeur de la vitesse :

a)-   Expression de la vitesse de l’électron lorsqu’il parvient à la plaque B du condensateur.

-     Lorsque l’électron est au point B, xB = d.
-     Date tB à laquelle l’électron atteint la plaque B :
-     On en déduit l’expression de tB en fonction de d :
-      
-     On remplace t par cette expression dans vBx :
-      
-      
-      

b)-  Valeur vB de cette vitesse.

-      
-     Le canon à électrons permet d’accélérer les électrons.

 

IV- Exercice 18 page 175 : Neptune et Galatée.

 

Galatée est l’un des 13 satellites actuellement connus de la planète Neptune.

Neptune est la huitième planète du système solaire.

G = (6,67384 ± 0,00080) x 10–11 m3 . kg–1 . s–2

Galatée :

Période de

révolution

T = (0,429 ± 0,0001) jour

 

Longueur du

demi-grand axe

a = (6,19 ± 0,01) x 104 km

 

Masse

MG = ?

Neptune

Masse

MN = (1,02 ± 0,01) x 1026 kg

1)- Troisième loi de Kepler :

a)-   Calculer le rapport  pour Galatée.

b)-  Calculer l’incertitude existant sur la valeur de Q.

-     On donne :

c)-   En déduire un encadrement de la valeur de Q.

2)- Neptune :

a)-   Calculer le rapport : pour Neptune.

b)-  Calculer l’incertitude existant sur la valeur de Q’.

-     On donne :

c)-   En déduire un encadrement de la valeur de Q’.

3)- La troisième loi de Kepler est-elle vérifiée dans cette situation.

 

 

 

 

1)- Troisième loi de Kepler :

a)-   Valeur du rapport  pour Galatée.

-      

b)-  Incertitude existant sur la valeur de Q.

-      

c)-   Encadrement de la valeur de Q.

-     Q = (5,79 ± 0,04) x 10–15 s2 . m–3
-     5,75 x 10–15 s2 . m–3  Q ≤ 5,83 x 10–15 s2 . m–3

2)- Neptune :

a)-   Valeur du rapport : pour Neptune.

-      

b)-  Incertitude existant sur la valeur de Q’.

-      
-     En conséquence :
-      

c)-   Encadrement de la valeur de Q’.

-     Q = (5,80 ± 0,06) x 10–15 s2 . m–3
-     5,74 x 10–15 s2 . m–3  Q ≤ 5,86 x 10–15 s2 . m–3

3)- Troisième loi de Kepler.

 

-     Les intervalles de Q et Q’ possèdent une partie commune.
-     On peut écrire :
-      
-     La troisième loi de Kepler est vérifiée.

 

 

V- Exercice 20 page 176 : Poids et force électrostatique.

 

 

Le dispositif ci-dessus permet de dévier un faisceau d’électrons grâce à un champ électrostatique uniforme  perpendiculaire aux armatures A et B.

Bastien se demande si la déviation observée est due au poids des électrons ou à la force électrostatique.

1)- Force électrostatique :

a)-   Quelle est l’expression de la force électrostatique  à laquelle est soumis l’électron ?

b)-  Calculer sa valeur de Fe.

2)- Le poids de l’électron.

a)-   Quelle est l’expression du poids  de l’électron ?

b)-  Calculer sa valeur Pe.

3)- Une force  peut être considérée négligeable par rapport à une force  si sa valeur F1 est au plus égale au centième de la valeur F2 de la force .

a)-   Peut-on négliger une des deux forces  et  par rapport à l’autre ?

b)-  Conclure sur la force à l’origine de la déviation du faisceau d’électrons.

Données :

-     me = 9,1 x 10–31 kg 
-     e = 1,6 x 10–19 C
-     E = 50 000 V . m–1 
-     g = 10 m . s–2

 

 

 

 

1)- Force électrostatique :

a)-   Expression de la force électrostatique  à laquelle est soumis l’électron :

-      
-      

b)-  Valeur de Fe.

-     Fe = e . E
-     Fe ≈ 1,6 x 10–19 x 50 000
-     Fe ≈ 8,0 x 10–15 N

2)- Le poids de l’électron.

a)-   Expression du poids  de l’électron ?

-      

b)-  Calculer sa valeur Pe.

-     Pe = me . g
-     Pe ≈ 9,1 x 10–31 x 10
-     Pe ≈ 9,1 x 10–30 N

3)- Forces .

a)-   Comparaison des forces et .

-     On compare les valeurs :
-      
-     Pe << Fe
-    
-     La force  peut être considérée comme négligeable par rapport à une force électrostatique .

b)-  Conclusion :

-     La force à l’origine de la déviation du faisceau d’électrons est la force électrostatique .

 

VI- Exercice 21 page 176 : De l’optique avec des électrons.

 

 

Dès la fin du XIXe siècle, des dispositifs permettant de dévier des faisceaux d’électrons à l’aide de champs électrostatiques ont été mis au point.

Oscilloscopes, canon à électrons de télévisions et accélérateurs de particules ont été inventés et perfectionnés dans le courant du XXe siècle.

 

Dans certains dispositifs, les faisceaux d’électrons ont un comportement analogue à celui de rayons lumineux.

Il est possible de reproduire les phénomènes de réflexion et de réfraction.

De véritables lentilles électrostatiques équipent les microscopes électroniques à transmission.

On considère un électron de masse m, de charge électrique –e, initialement animé d’un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse .

Il entre au point O dans une région délimitée par deux grilles horizontales entre lesquelles règne un champ électrostatique uniforme vertical ascendant .

Les deux grilles sont séparées d’une distance d.

On négligera le poids de l’électron dans tout l’exercice.

Le référentiel est supposé galiléen.

 

1)- Établir les équations horaires du mouvement de cet électron sachant que le vecteur  fait un angle i1 par rapport à l’axe vertical.

2)- Montrer que l’équation de la trajectoire de l’électron s’écrit :

-      

3)- Trajectoire :

a)-   Quelle est la nature de la trajectoire de l’électron ?

b)-  Dans l’hypothèse où il n’atteint pas la grille, représenter l’allure de la trajectoire ainsi que le vecteur vitesse au sommet S de la trajectoire.

c)-   Décrire graphiquement les coordonnées du vecteur vitesse en S.

d)-  En déduire la date tS à laquelle l’électron atteint le point S.

e)-   Montrer que le sommet S de la trajectoire a pour ordonnée :

-      

4)- Quelle est la condition sur la valeur de E du champ électrostatique pour que l’électron atteigne la région située au-dessus de la grille supérieure ?

5)- Mouvement :

a)-   Si cette condition est remplie, comment qualifier le mouvement de l’électron dans cette région ?

b)-  L’électron traverse la grille avec une vitesse . On note i2 l’angle entre ce vecteur et la verticale.

-     La situation est représentée sur le schéma suivant :

 

-     Exprimer le sinus de l’angle i2 en fonction de v1, v2 et du sinus de l’angle i1.

c)-   Justifier à l’aide de ce qui précède la phrase du texte en italique.

 

 

1)- Équations  horaires du mouvement de cet électron.

-     Système :
-   Électron, de masse m et de charge – e, assimilable à un point matériel M.
-     Référentiel d’étude :
-   Référentiel terrestre supposé galiléen .
-     Bilan des forces :
-   Inventaire des forces extérieures exercées sur l’électron.
-     Son poids .
-     La force électrostatique
-     L’électron se déplace dans le vide, il n’y a pas d’interaction avec l’air.
-     On néglige le poids de l’électron devant la force électrostatique.
-     En conséquence, l’électron est soumis à la seule force électrostatique :
-    .
-     Coordonnées des différentes forces et vecteurs dans le repère choisi :

 

 

-     Conditions initiales :

 

 

-     Application de la deuxième loi de Newton :

Deuxième loi de Newton :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-   On écrit :

-      

-     Comme la masse me de l’électron ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :
-      
-     D’où :
-    
-     Coordonnées du vecteur accélération :

 

Et

 

On en déduit :

 

-     Coordonnées du vecteur vitesse :
-     Le vecteur accélération  est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse .
-     La détermination du vecteur vitesse nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales.
-     On cherche les primitives des équations précédentes.
-     Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

 

D’après les

conditions initiales

 

-     Coordonnées du vecteur position :
-     Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position.
-     La détermination du vecteur position nécessite de rechercher la primitive par rapport au temps de chaque coordonnée du vecteur vitesse en tenant compte des conditions initiales.

 

D’après les

conditions initiales

 

 

2)- Équation de la trajectoire de l’électron.

-     Pour trouver l’équation de la trajectoire z = f (x), on élimine le temps t entre les équations horaires x (t) et z (t).
-      
-      
-     On trouve bien l’expression donnée dans l’énoncé.
-      

3)- Trajectoire :

a)-   Nature de la trajectoire de l’électron :

-     La trajectoire de l’électron est une portion de parabole de coefficient négatif.
-     Type : z (x) = a . x2 + b. x avec a < 0.

 

b)-  Allure de la trajectoire ainsi que le vecteur vitesse au sommet S de la trajectoire.

 

c)-   Description graphique du vecteur vitesse en S.

-     Le vecteur vitesse est horizontal est orienté de la gauche vers la droite.
-     Coordonnées du vecteur vitesse
-      

d)-  Date tS à laquelle l’électron atteint le point S.

-      

e)-   Côte du sommet S de la trajectoire :

-      
-     On retrouve bien l’expression donnée dans l’énoncé.

4)- Condition sur la valeur de E du champ électrostatique pour que l’électron atteigne la région située au-dessus de la grille supérieure :

-     Pour que l’électron atteigne la région située au-dessus de la grille supérieure, il faut que
-     zS  ≥ d

 

-      

5)- Mouvement :

a)-   Mouvement de l’électron dans cette région.

-     Dans cette région de l’espace, l’électron n’est plus soumis à la force électrostatique .
-     On néglige toujours l’action du poids.
-     L’électron est presque pseudo-isolé.
-   Il est animé d’un mouvement rectiligne uniforme d'après le principe de l'inertie (première loi de Newton).

b)-  Expression de sin i2 en fonction de v1, v2 et de sin i1.

-     À la sortie de la grille, l’électron vérifie les équations suivantes :
-     Soit le point I, le point de sortie de la grille :

 

-     Au point I, l’électron vérifie les équations suivantes :
-      
-     De plus :
-      
-     La direction du vecteur vitesse est donnée par la tangente à la parabole au point I.
-     Or
-     La vitesse horizontale reste inchangée : On en déduit la relation :
-     v1 . sin i1 = v2 . sin i2

c)-   Justification de la phrase du texte en italique.

-     Phrase : Dans certains dispositifs, les faisceaux d’électrons ont un comportement analogue à celui de rayons lumineux. Il est possible de reproduire les phénomènes de réflexion et de réfraction.
-     Ici, on a reproduit le phénomène de réfraction.
-   À la sortie de la grille, l’électron a été dévié et sa trajectoire est rectiligne.
-     Par analogie, i1 est l’angle d’incidence et i2 l’angle de réfraction.
-     Ces angles vérifient la relation suivante : v1 . sin i1 = v2 . sin i2

 

 

VII- Exercice 22 page 177 : Quelle est la masse de Jupiter ?

 

La planète Jupiter possède de nombreux satellites.

On s’intéresse à ceux dont la trajectoire est considérée comme circulaire.

Chacun d’eux, modélisé par son centre de gravité, n’est soumis qu’à la seule force de gravitation exercée par Jupiter.

La distance entre les centres de gravité de Jupiter et du satellite étudié est notée r.

1)- Force de gravitation :

a)-   Quelle est l’expression vectorielle de la force de gravitation exercée par Jupiter, de masse M, sur un satellite de masse m.

b)-  Représenter cette force  sur un schéma.

2)- Montrer que dans un référentiel, lié au centre de Jupiter, supposé galiléen, le satellite a un mouvement uniforme et exprimer la valeur de sa vitesse.

3)- Choisir parmi les propositions suivantes ci-dessous celle qui correspond au satellite le plus rapide. Justifier la réponse.

-     Le satellite le plus proche de Jupiter.

-     Le satellite le plus éloigné de Jupiter.

-     Le satellite le plus léger.

-     Le satellite le plus lourd.

4)- À partir de l’expression de la valeur de la vitesse, établir l’expression de la période de révolution T d’un satellite autour de Jupiter.

5)- Troisième loi de Kepler :

a)-   L’étude des mouvements de quatre satellites de Jupiter (Callisto, Europe, Ganymède et IO) a permis de déterminer la période et le rayon de l’orbite de chacun.

On a représenté pour chaque satellite les valeurs des couples (r3, T2).

-     Graphe :

 

-     Montrer que l’allure de la représentation graphique est en accord avec la troisième loi de Kepler.

b)-  L’équation modélisant la droite obtenue est donnée sur le graphique. En déduire l’ordre de grandeur de la masse M de Jupiter.

Donnée : G = 6,67 x 10–11 m3 . kg–1 . s–2.

 

 Les satellites de Jupiter :  Utilisation du logiciel CELESTIA

1)- Force de gravitation :

a)-   Expression vectorielle de la force de gravitation exercée par Jupiter, de masse M, sur un satellite de masse m.

-      

b)-  Représentation cette force  et schéma.

 

2)- Mouvement du satellite dans le référentiel lié à Jupiter.

-     Système S : Satellite S de masse m.
-     Référentiel jovicentrique supposé galiléen.
-     Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet : Repère mobile lié au satellite
-      
-     désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
-     désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers le centre O du cercle.
-     Bilan des forces : Inventaire des forces extérieures exercées sur le satellite.
-     Le satellite est en interaction avec Jupiter :
-   Force d’interaction gravitationnelle exercée par Jupiter sur le satellite :
-     Application de la deuxième loi de Newton :

Deuxième loi de Newton :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-   On écrit :

-      

-     Comme la masse m du satellite ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :
-      
-     D’où :
-      
-     Le vecteur accélération est centripète, il est orienté vers le centre de la trajectoire.
-     L’accélération tangentielle est nulle.
-     On en déduit que :

Vecteur accélération

Relation

 

 

-      
-     Le satellite est animé d’un mouvement circulaire uniforme.
-     D’autre part :
-      

3)- La bonne proposition et justification

-      
-     La valeur de la vitesse du satellite est indépendante de sa masse et la valeur de la vitesse du satellite augmente lorsque qu’il est plus proche de Jupiter.
-     « Le satellite le plus proche de Jupiter ».

4)- Expression de la période de révolution T d’un satellite autour de Jupiter.

-     Expression de la période T : Durée nécessaire pour effectuer un tour :
-      

5)- Troisième loi de Kepler :

-     Exploitation du graphique et troisième loi de Kepler.
-     La représentation graphique de T2 = f (r3) est une portion de droite passant par l’origine.
-     On peut écrire que T2 = k . r3 , le nombre k est le coefficient directeur de la droite tracée.
-   Les deux grandeurs sont proportionnelles.
-     On retrouve la troisième loi de Kepler, appelée loi des périodes :
-      
-     Dans le cas présent :
-      

b)-  Ordre de grandeur de la masse M de Jupiter.

-      
-     En élevant cette expression au carré et en ordonnant, on peut écrire :
-      
-     On en déduit la valeur de la masse M de Jupiter.
-      
-     Ordre de grandeur : M ≈ 1027 kg

 

 

VIII- Exercice 26 page 179 : Principe du spectromètre de masse.

 

 

 

Le spectromètre de masse est une technique d’analyse permettant notamment d’identifier des molécules organiques et de déterminer leur formule développée.

Dans un spectromètre de masse, des ions séparés en fonction de leur masse et de leur charge électrique.

Le Canadien Artur Dempster (1886-1950) a contribué à développer cette technique durant la première moitié du XXe siècle et ses travaux l’on conduit à la découverte de l’isotope 235 de l’uranium (seul l’isotope 238 était connu à l’époque), utilisé comme combustible fissile dans les centrales électronucléaires.

Cette technique ne nécessitant que des microéchantillons est aussi utilisée dans l’analyse d’œuvres d’art, ainsi qu’en imagerie biomédicale…

 

Le principe du spectromètre est le suivant

-    Un vide poussé est maintenu dans tout l’appareil ;
-    Dans la chambre d’ionisation, les molécules à analyser sont bombardées par des électrons, ce qui les fragmente en cations ;
-    Ensuite, ces cations sortent de la fente F avec une vitesse négligeable dans le référentiel terrestre du laboratoire supposé galiléen.

On considère des ions i1 et i2 de même charge, mais de masses m1 et m2 différentes, pénétrant dans la chambre d’accélération délimitée par les plaques P et P’ distantes de d.

Dans cette chambre règne un champ électrostatique uniforme .

En O, ces ions possèdent respectivement les vitesses :

-     et .

Dans la chambre de déviation, on cherche à séparer ces ions avant leur entrée dans la chambre de détection.

Le poids des ions sera négligeable devant les autres forces.

 

Représentation du spectromètre vu de dessus.

1)- Comment doit être orienté le champ  pour accélérer les cations entre P et P’ ?

2)- Dans la chambre de déviation règne un champ magnétique , uniforme, orthogonal aux vitesses initiales, colinéaire et de même sens que .

     Les ions subissent alors une force appelée force de Lorentz  toujours orthogonale au champ  et au vecteur vitesse des ions.

     Elle a pour valeur  FL = qi . vi . B, ou vi et B sont respectivement les valeurs des vecteurs et   et qi la charge de l’ion i.

     Dans ces conditions, le mouvement des ions est circulaire (de centre Ci) et uniforme.

a)-   Définir un mouvement circulaire uniforme.

b)-  Rappeler l’expression du vecteur accélération en fonction des vecteurs  et  du repère lié à la particule.

c)-   En admettant que la force  est orientée dans le sens du vecteur , montrer que le rayon Ri de la trajectoire de chaque ion i vaut :

-      

d)-  Justifier alors la phrase en italique dans le texte ci-dessus.

3)- Les ions i1 et i2 atteignent la chambre de détection aux points A1 et A2.

      Dans cette chambre de détection, il n’existe plus aucun champ.

      Que dire alors du mouvement des ions ?

4)- Expliquer comment la spectrométrie a permis à A. Dempster de découvrir l’uranium 235.

 

 

1)- Orientation du champ électrostatique .

 

-     Le champ électrostatique  doit être orienté de P vers P’, même direction et même sens que le vecteur car les cations sont soumis à la force électrique  avec q > 0.

2)- Chambre de déviation :

a)-   Définition du mouvement circulaire uniforme :

-     Dans un référentiel donné, un système est animé d’un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et si la valeur de sa vitesse v est constante.
-   Son vecteur accélération  est centripète.

b)-  Expression du vecteur accélération :

-     À chaque instant, le vecteur accélération  se décompose en deux vecteurs :
-      

 

Le vecteur accélération

 tangentielle

Le vecteur accélération

normale

 

 

Direction

Tangent à la trajectoire

au point considéré

Centripète

Sens

Orienté dans le

sens du mouvement

Orienté vers

le centre du cercle

Valeur

 

C’est la dérivée

par rapport au temps

de la valeur de la vitesse v

 

-     Schéma :

 

c)-   Rayon de la trajectoire :

-     Système S : cation i de masse mi
-     Référentiel terrestre supposé galiléen.
-     Conditions initiales :
-     À l’instant initial, le cation occupe la position O de l’espace et la vitesse initiale est vi.
-      
-     Bilan des forces : dans la chambre de déviation, le cation i est soumis à la seule force de Lorentz :
-      
-     On est en présence d’une force centripète.
-     Application de la deuxième loi de Newton :

Deuxième loi de Newton :

* Dans un référentiel galiléen, si un système assimilé à un point matériel est soumis à une ou plusieurs forces extérieures, alors la somme vectorielle de ces forces est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

-   On écrit :

-      

-     Comme la masse mi ne varie pas au cours du temps, on peut en déduire la relation suivante :
-      
-     D’où :
-      
-     L’accélération est centripète.
-     L’accélération tangentielle est nulle.
-     On en déduit que :

Vecteur accélération

Relation

 

 

-      

Vecteur accélération

Relation

 

 

-     Le cation i est animé d’un mouvement circulaire uniforme de vitesse vi et de rayon Ri.

d)-  Justification de la phrase en italique :

-     « Dans un spectromètre de masse, des ions séparés en fonction de leur masse et de leur charge électrique. »
-     La relation  montre que :
-     Lorsque vi augmente, Ri augmente ;
-     Lorsque mi augmente, Ri augmente ;
-     Lorsque qi augmente, Ri diminue ;
-     D’autre part, la vitesse initiale du cation à l’entrée de la chambre de déviation est donnée par la relation  :
-      
-     Cette vitesse dépend entre autres de la charge qi portée par le cation et de sa masse mi.
-     Le rayon de la trajectoire est lié aux caractéristiques du cation.
-     Chaque cation a sa propre trajectoire circulaire.

3)- Mouvement des ions dans la chambre de détection :

-     Dans cet espace, les cations ne sont soumis à aucune force (on néglige toujours le poids) , ils sont isolés.
-     D’après la première loi de Newton (principe de l’inertie), les cations i sont animés d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse vi.

4)- Séparation des isotopes de l’uranium :

-     Les ions isotopes 235 et 238 de l’uranium, ayant la même charge, mais n’ayant pas la même masse ont pu être séparés par le spectromètre.