Chap. N° Numérisation de l'information. Cours. Exercices,  terminale S, 2012

 

Chap. N° 20

Numérisation de

 l'information.

Exercices

 

   

 

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I- Exercice 9 page 530 : Calculer une fréquence d’échantillonnage.

II- Exercice N° 13 page 530 : Associer un tableau de nombres à une image numérique.

III- Exercice 15 page 531 : échantillonnage et CD.

IV- Exercice 16 page 531 : Acquisition d’une carte d’acquisition.

V- Exercice 20 page 532 : Le réseau téléphonique.

VI- Exercice 24 pages 533 et 534 : Critère de Shannon et théorie de l’échantillonnage.

VII- Exercice 30 page 537 : Appareil photo numérique.

 

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I- Exercice 9 page 530 : Calculer une fréquence d’échantillonnage.

 

Un signal sonore converti en signal numérique est représenté ci-dessous :

 Signal sonore

1)- Déterminer la fréquence f du signal sonore étudié.

2)- Échantillonnage :

a)-  Définir la fréquence d’échantillonnage fe.

b)-  Calculer sa valeur et la comparer à celle de f.

c)-  Dans quel sens faut-il faire évoluer le rapport rapport fe / f pour que le signal numérisé soit le plus fidèle possible au signal réel ?

 

 

1)- Fréquence f du signal sonore étudié :

-    Exploitation graphique :

Exploitation du signal

Temps

T

5,82 cm

Distance

10 ms

12,51 cm

-    Valeur de la période T :

-     T = 4,66 ms

-    Fréquence du signal :

-     f = 215 Hz

2)- Échantillonnage :

a)-  Définir la fréquence d’échantillonnage fe.

-    La fréquence d’échantillonnage fe représente de nombre d’échantillons prélevés par seconde.

b)-  Calculer sa valeur et la comparer à celle de f.

-    Pour une période T= 4,66 ms, on dénombre 23 points :

-     fe = 4,94 x 10E3 Hz

-    Comparaison :

-     fe / f = 23

-    La fréquence d’échantillonnage est 23 fois plus élevée que la fréquence du signal sonore.

c)-  Dans quel sens faut-il faire évoluer le rapport rapport fe / f pour que le signal numérisé soit le plus fidèle possible au signal réel ?

-    Si la fréquence d’échantillonnage augmente, le rapport rapport fe / f augmente et le signal numérisé est plus fidèle au signal sonore réel.

-    Le nombre de valeurs de l’échantillon prélevé est plus grand.

-    Le signal numérisé est d’autant plus proche du signal analogique que :

-    La fréquence d’échantillonnage est grande, la durée entre deux mesures est alors plus faible : quand fe ↑, alors Te ↓.

 

II- Exercice N° 13 page 530 : Associer un tableau de nombres à une image numérique.

 

Le document ci-dessous correspond à l’image agrandie et pixellisée de la photographie située en haut à droite :

 image d'une fleur

Les tableaux ci-dessous (A, B et C) correspondent au codage de trois zones (1, 2 et 3) repérées sur l’image.

R

V

B

78

103

45

71

97

36

75

101

38

R

V

B

74

99

42

70

95

37

74

99

44

R

V

B

76

101

44

68

91

35

75

93

48

(A)

R

V

B

247

243

242

243

236

233

237

228

219

R

V

B

251

251

251

246

243

243

236

227

222

R

V

B

249

249

249

244

243

241

214

197

190

(B)

R

V

B

133

6

17

141

7

14

143

17

18

R

V

B

165

70

40

137

1

13

133

1

12

R

V

B

138

6

17

143

8

22

131

6

12

(C)

1)- Le pixel :

a)-  Qu’est-ce qu’un pixel.

b)-  Comment apparaît un pixel sur l’image ?

c)-  Qu’observerait-on si l’image était encore agrandie ?

2)- Quelle est la couleur dominante des zones 1, 2 et 3 sélectionnées ?

3)- Attribuer un tableau de nombres (A), (B) ou (C) à chacune des zones sélectionnées, en justifiant.

 

1)- Le pixel :

a)-  Définition du pixel.

-    Le pixel est la plus petite unité lumineuse d’une image.

-    Un pixel est constitué de trois sous-pixels.

-    Chaque pixel est constitué de trois sous-pixels : trois luminophores

-    Un sous-pixel qui diffuse de la lumière rouge.

-     Un sous-pixel qui diffuse de la lumière verte.

-    Un sous-pixel qui diffuse de la lumière bleue.

b)-  Le pixel sur l’image :

-    Un pixel est représenté par un carré sur l’image.

 

c)-  Image agrandie :

-    Lorsque l’on agrandie l’image, la taille du pixel augmente.

-     L’image est pixellisée.

2)- Quelle est la couleur dominante des zones 1, 2 et 3 sélectionnées ?

-    Zone 1 :  Zone 1 : rougeLa couleur dominante est le rouge.

-    Zone 2 : Zone 2 : blancLa couleur dominante est le blanc.

-    Zone 3 :  Zone 3 : vertLa couleur dominante est le vert.

3)- Tableau de nombres (A), (B) ou (C) et zones sélectionnées 1, 2 et 3.

-    Couleur et tableau de nombres :

-    Un tableau correspond au codage RVB de chaque pixel.

-    On utilise le principe de la trichromie et de la synthèse additive des couleurs.

-    Le tableau (A) :

R

V

B

78

103

45

71

97

36

75

101

38

R

V

B

74

99

42

70

95

37

74

99

44

R

V

B

76

101

44

68

91

35

75

93

48

(A)

-    Les nombres associés aux sous-pixels verts sont les plus grands.

-    La couleur qui prédomine est le vert.

-    Le tableau (A) correspond à la zone 3 Zone 3 : vert.

-    Le tableau (B) :

R

V

B

247

243

242

243

236

233

237

228

219

R

V

B

251

251

251

246

243

243

236

227

222

R

V

B

249

249

249

244

243

241

214

197

190

(B)

-    Les nombres associés aux sous-pixels sont du même ordre de grandeur, elles sont proches : R 347, V243 et B 242).

-    Aucune couleur ne prédomine.

-     La couleur associée à ce tableau est le blanc.

-    Le tableau (B) correspond à la zone 2 Zone 2 : blanc.

-    Tableau (C) :

R

V

B

133

6

17

141

7

14

143

17

18

R

V

B

165

70

40

137

1

13

133

1

12

R

V

B

138

6

17

143

8

22

131

6

12

(C)

-    Les nombres associés aux sous-pixels rouges sont les plus grands.

-    La couleur qui prédomine est le rouge.

-    Le tableau (C) correspond à la zone 1 Zone 1 : rouge.

 

III- Exercice 15 page 531 : échantillonnage et CD.

Afin de pouvoir restituer correctement un son, la fréquence d’échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence de l’harmonique le plus haut de ce son.

La fréquence d’un son audible par l’oreille humaine est comprise entre 20 Hz et 20 kHz.

1)- Quelle fréquence d’échantillonnage minimale faut-il choisir pour numériser correctement un son ?

2)- La fréquence d’échantillonnage standard pour les CD est de 44,1 kHz.

Cette valeur est-elle en accord avec le résultat de la question précédente ?

3)- Les standards d’enregistrement sur CD codent les sons en 16 bits.

Combien de niveaux d’intensité sonore différents peut-on coder ?

4)- Quelle est la durée maximale d’enregistrement disponible sur un CD dont la capacité de stockage est de 700 Mio ? (1 Mio = 220 octets)

 

1)- Fréquence d’échantillonnage minimale pour numériser correctement un son :

-    La fréquence d’échantillonnage minimale est le double de la plus haute fréquence audible par une oreille humaine :

-    fe = 2 f = 40 kHz

2)- Fréquence d’échantillonnage :

-    La valeur de la fréquence d’échantillonnage des CD est : f’e = 44,1 kHz.

-    f’e > fe

-    Cette valeur est en accord avec le résultat de la question 1.

3)- Nombre de niveaux d’intensité sonore différents en codage 16 bits :

-    Le signal est codé en 16 bits :

-    Le nombre de valeurs possibles est : 216 = 65 536.

4)-  Durée maximale d’enregistrement disponible sur un CD dont la capacité de stockage est de 700 Mio : (1 Mio = 220 octets)

-    Signal sonore échantillonné en qualité CD : 44,1 kHz, 16 bits.

-    On considère un signal stéréo (2 voies)

-    Chaque seconde : 2 x 16 x 44,1 x103 bits = 1,41 Mbits

-    Valeur en octet : 1 octet = 8 bits

-    Pour une seconde de son échantillonné à 44,1 kHz : 176 ko.

-    700 Mio = 700 x 220 = 734 Mo

-    Durée maximale :

-   d = 1 h 9 min 30 s

-    Pour un enregistrement stéréo.

-    Ou 2 h 19 min pour un enregistrement mono.

 

IV- Exercice 16 page 531 : Acquisition d’une carte d’acquisition.

 

Pour l’équipement des salles de physique du lycée, on a besoin de mesurer des tensions allant de 0 à 4,5 V à 10 mV près.

Une carte d’acquisition trouvée dans le commerce contient un CAN 8 bits et a pour calibre 0,0 – 5,0 V.

1)- Déterminer le pas p du convertisseur de ce modèle.

2)- Ce modèle correspond-il aux besoins du lycée ?

3)- Quel doit-être le minimum de bits du CAN pour que sa précision soit suffisante ?

Donnée :

pas ou résolution, avec n le nombre de bits du convertisseur.

Coup de pouce :

 

4)- Pas p du convertisseur de ce modèle :

-     p = 20 mV

5)- Ce modèle correspond-il aux besoins du lycée ?

-    Ce modèle ne convient pas car il faut une résolution de 10 mV.

-    Pour une séance de TP, la précision n’est pas suffisante.

-     La résolution du convertisseur CAN est de 20 mV.

6)- Nombre minimum de bits du CAN pour que sa précision soit suffisante :

-    La résolution doit être inférieure ou égale à 10 mV.

-    On connait la page de valeur : 5,0 V

-    On choisit un pas p ≤ 10 mV et n représente le nombre de bits.

-    On doit résoudre :

-     Relation

-    On utilise la relation :

-     n = 9

-    Le convertisseur CAN doit comporter au moins 9 bits.

 

V- Exercice 20 page 532 : Le réseau téléphonique.

 

De nombreuse communications transitent par le réseau téléphonique.

Ce dernier étant majoritairement numérisé, les centraux téléphoniques n’échangent plus un signal électrique engendré par la parole, mais des échanges de ce signal prélevés 8000 fois par seconde.

Chaque échantillon est ensuite codé sur 8 bits.

1)- Rappeler les principales étapes de la numérisation d’un signal.

2)- Déterminer la fréquence d’échantillonnage utilisée par les centraux téléphoniques.

3)- Combien de niveaux d’intensité sonore peut-on obtenir avec le codage proposé ?

4)- Combien d’informations une ligne téléphonique doit-elle transporter par seconde pour transmettre la parole d’un usager ? Le résultat sera donné en kibibit par seconde (Kibit . s–1)

Donnée : 1 Kibit = 210 bits.

 

1)- Les principales étapes de la numérisation d’un signal.

-    La numérisation du signal :

-    Il désigne le procédé qui permet de passer d’un signal analogique à un signal numérique.

 CAN

-    Les étapes principales de toute conversion analogique-numérique sont :

-    L’échantillonnage,

-    La quantification,

-    Et le codage.

  L’échantillonnage :

-    Le convertisseur analogique-numérique prélève des échantillons du signal analogique à intervalles de temps Te égaux appelés période d’échantillonnage.

-    La fréquence d’échantillonnage fe est le nombre de prélèvements effectués par seconde (nombre de mesures effectuées par seconde).

-    Elle définit le nombre de valeurs prélevées au signal analogique par seconde.

  La quantification :

-    L’échantillonnage consiste à prélever certaines valeurs d’une fonction continue.

-    On ne va retenir que les valeurs selon un certain pas p de quantification.

-    La quantification consiste à affecter une valeur numérique à chaque échantillon prélevé.

-    Chaque valeur est arrondie à la valeur permise la plus proche par défaut.

  Le codage :

-    La valeur permise est codée par un nombre binaire.

-    Les valeurs numérisées vont être stockées sous forme de bits.

-    La qualité de la conversion analogique-numérique, ou numérisation, est d’autant plus grande que le pas p du convertisseur est petit et que la fréquence fe d’échantillonnage est élevée.

2)- Fréquence d’échantillonnage utilisée par les centraux téléphoniques.

-    Prélèvement du signal : 8000 fois par seconde.

-    fe = 8,0 x 103 Hz

3)- Nombre de niveaux d’intensité sonore obtenu avec le codage proposé :

-    Chaque échantillon est codé à 8 bits :

-    Le nombre de valeurs prélevées est : 28 = 256.

4)- Nombre N d’informations transportées par seconde :

-    Signal sonore échantillonné à une fréquence de 8,0 kHz et de codage 8 bits :

-    N = 8 x 8000

-    N = 64 kbits / s

-    Avec : 1 Kibit = 210 bits

-     N = 62,5 Kibits / s

 

VI- Exercice 24 pages 533 et 534 : Critère de Shannon et théorie de l’échantillonnage.

 

Un instrument de musique joue un La1 de fréquence f1 = 110 Hz.

On réalise quatre numérisations (A, B, C et D) en changeant uniquement la fréquence d’échantillonnage fe.

Les spectres en fréquence obtenus sont représentés ci-dessous.

 Spectre de fréquences A

 Spectre de fréquences B

 Spectre de fréquences C

 Spectre de fréquences D

 numérisation D

 

Le dernier graphe montre le résultat de l’échantillonnage lors de la numérisation D.

D’après le critère de Shannon, la fréquence d’échantillonnage doit être au moins deux fois égale à la fréquence de l’harmonique de rang le plus élevé contenu dans le son à numériser pour ne pas altérer le signal.

On considère que la numérisation A est très fidèle au son émis par l’instrument.

1)- Quelle est la fréquence d’échantillonnage utilisée lors de la numérisation D.

2)- Quelle est la fréquence f de l’harmonique de rang le plus élevé contenu dans la note La1 joué par cet instrument ?

3)- Fréquence d’échantillonnage.

a)-  Comparer la fréquence d’échantillonnage à f pour cette numérisation.

b)-  Le critère de Shannon est-il vérifié ?

4)- Est-il nécessaire d’augmenter indéfiniment la fréquence d’échantillonnage pour améliorer la numérisation du son ?

 

1)- Fréquence d’échantillonnage utilisée lors de la numérisation D.

-    Exploitation du graphe :

 Exploitation du graphe

-    Tableau :

Durée

30 ms

11 Te

Distance

11,36 cm

11,2 cm

-    La période d’échantillonnage

-     Te = 27 ms

-    La fréquence d’échantillonnage de la numérisation D :

-     fe = 370 Hz

2)- Fréquence f de l’harmonique de rang le plus élevé contenu dans la note La1 joué par cet instrument :

-    La fréquence f de l’harmonique de rang le plus élevé :

-    D’après l’exploitation des spectres A et B :

-    f = 4 f1 = 440 Hz

3)- Fréquence d’échantillonnage.

a)-  Comparaison de la fréquence d’échantillonnage à f pour cette numérisation.

-    Numérisation A :

-     Valeur du rapport : 8

-    On remarque que f > 2 fe. Le signal sonore sera bien restitué.

-    Numérisation B :

-     Valeur du rapport : 3,4

-    On remarque que f > 2 fe. Le signal sonore sera bien restitué.

-    Numérisation C :

-     Valeur du rapport : 1,8

-    On remarque que f < 2 fe. Le signal sonore ne sera pas bien restitué.

-     Il subit des altérations.

-     Il apparaît des fréquences parasites.

-     L’harmonique la plus élevée perd de l’amplitude, alors que l’harmonique 3 f = 330 Hz a une amplitude plus grande.

 

-    Numérisation D :

-     Valeur du rapport : 0,84

-    On remarque que f < fe.

-     Le signal sera très mal restitué.

b)- Le critère de Shannon est-il vérifié ?

-    Le critère de Shannon n’est pas vérifié.

4)- Est-il nécessaire d’augmenter indéfiniment la fréquence d’échantillonnage pour améliorer la numérisation du son ?

-    Le critère de Shannon est vérifié pour les numérisations A et B.

-    On remarque que les deux spectres en fréquences A et B sont identiques.

-     Dans les deux cas, le son sera fidèle au son émis.

-    Pourtant, feB < feA.

-    Dans le cas présent, il n’est pas nécessaire de prendre une fréquence d’échantillonnage très élevée.

-     La qualité de la numérisation ne sera pas meilleure.

-    Le critère de Shannon n’est pas vérifié pour les numérisations C et D.

-    Dans ces deux cas la qualité de la numérisation est mauvaise et le signal ne sera pas fidèle au son émis.

-    Il n’est pas nécessaire d’augmenter indéfiniment la fréquence d’échantillonnage puisque l’oreille humaine ne peut déceler les fréquences des harmoniques supérieures à 20 kHz.

-    Dans le cas présent une fréquence d’échantillonnage fe = 1,5 kHz suffit.

-    Car au plus la fréquence d’échantillonnage est élevée, au plus la taille du fichier sera grande.

-    Il faut prendre la fréquence d’échantillonnage suffisante pour avoir une bonne numérisation et un fichier de taille acceptable.

 

VII- Exercice 30 page 537 : Appareil photo numérique.

 

La notice d’un appareil photographique numérique indique une « résolution » du capteur CCD de 3072 x 2048, soit 6,3 mégapixels (Mpx).

Une image est dite de qualité « photo » quand la taille du pixel est suffisamment petite pour qu’un œil normal n’en perçoive pas les détails.

On considère qu’un œil normal peut percevoir des détails lorsque les rayons lumineux issus de ces détails arrivent dans l’œil avec un angle supérieur à une minute.

En codage normal, un pixel est codé en RVB 24 bits.

Données :

1 Mio = 1024 Kio et 1 Kio = 1024 octets

1 pouce = 2,54 cm

 Appareil photo

 

1)- Image numérique :

a)-  Qu’appelle-t-on image numérique ?

b)-  Par abus de langage, les fabricants utilisent le terme « résolution ». Quel est celui qui convient en réalité ?

c)-  Le constructeur affiche une « résolution » de 3072 x 2048. Que représente ces valeurs ?

2)- Mio et octets :

a)-  Combien d’octets sont utilisés pour coder un pixel.

b)-  Déterminer la taille d’une image correspondant à la « résolution » indiquée par le fabricant. Exprimer le résultat en Mio.

3)- Calculer la taille du plus petit détail que l’on peut observer à l’œil nu sur un objet situé à 25 cm de l’œil.

4)- Résolution et photo :

a)-  Quelle est la résolution minimale d’une image numérique de qualité photo située à une distance de 25 cm de l’œil ? On exprimera la résolution en ppp : pixels par pouce.

b)-  On souhaite imprimer une photo prise avec cet appareil. Quelle est la taille maximale de l’impression qui permet d’avoir une qualité photo ? On l’exprimera en cm x cm.

 

1)- Image numérique :

a)-  Image numérique :

-    Une image numérique est composée de pixels, eux-mêmes divisés en trois sous-pixels.

-    En codage RVB 24 bits ou 3 octets, chaque sous-pixels peut prendre 256 nuances.

-    On a pour un pixel : 256 x 256 x 256 couleurs, soit environ 16 millions.

-    Une image numérique est codée par un tableau de nombre.

-    Chaque pixel de l’image numérique est codé par 3 nombres.

R

255

255

0

0

0

255

255

0

V

0

255

255

255

0

0

255

0

B

0

0

0

255

255

255

255

0

-    En codage RVB 24 bits, il est possible de réaliser 256 nuances de gris en affectant la même valeur à chaque sous-pixel :

-    En partant du noir R(0)V(0)B(0) au blanc R(255)V(255)B(255)

b)- Le terme « résolution ».

-    La définition d’une image numérique correspond au nombre de pixels qui constituent cette image.

-    Le terme « résolution » peut être remplacé par définition.

c)- Le constructeur affiche une « résolution » de 3072 x 2048.

-    Les valeurs 3072 x 2048 désignent le nombre de colonnes et le nombre de lignes :

-    Si une image est constituée de 3072 colonnes et de 2048 lignes, sa définition est égale à :

-    3072 x 2048 = 6 291 456 pixels.

-    Soit environ 6,3 Mpx.

2)- Mio et octets :

a)- Codage d’un pixel :

-    En codage normal, un pixel est codé en RVB 24 bits.

-    Chaque pixel est constitué de trois sous-pixels :

-    Un sous-pixel qui diffuse de la lumière rouge.

-     Un sous-pixel qui diffuse de la lumière verte.

-    Un sous-pixel qui diffuse de la lumière bleue.

-    Chaque sous-pixel est codé sur un octet, constitué par une séquence de huit bits :

 codage RVB

-    Un pixel est codé par 3 octets de 8 bits chacun.

b)- Taille d’une image correspondant à la « résolution » indiquée par le fabricant.

-    La taille d’une image numérique est la place qu’occupe le codage de tous les pixels qui constituent cette image.

-    La taille s’exprime en octet.

-    Elle est donnée par la relation :

-    taille = (nombre d’octets par pixel) x (définition)

-    taille = 3 x 3072 x 2048

-    taille ≈ 18,9 x 106 octets = 18,9 Mo

-    Résultat en Mio : 1 Mio = 1024 Kio et 1 Kio = 1024 octets

-     18,4 x 10E3

-    18,9 x 106 octets ≈ 18,4 x 106 Kio

-     18,0

-    18,4 x 106 Kio ≈ 18 Mio

3)- Taille du plus petit détail que l’on peut observer à l’œil nu sur un objet situé à 25 cm de l’œil.

-    Schéma de la situation :

 Schéma de la situation

-    = d tan θ

-     l = 73 micromètre

4)- Résolution et photo :

a)-  Résolution minimale d’une image numérique de qualité photo située à une distance de 25 cm de l’œil :

-    La taille d’un pixel doit être inférieur ou égale à 73 μm.

-    Nombre minimum de pixels par pouce :

-     N = 350 ppp

b)-  Taille maximale de l’impression qui permet d’avoir une qualité photo :

-    On considère qu’au minimum, on observe l’image à 25 cm d’un œil normal.

-    Il faut au minimum 350 pixels par pouce soit 2,54 cm.

-    L’image a les caractéristiques suivantes : 3072 x 2048 :

-    Largeur de l’image en centimètres :

-     largeur : 22 cm

-    Hauteur de l’image :

-     hauteur : 15 cm

-    Dimensions maximales de l’image situé à 25 cm d’un œil normal :

-    22 cm x 15 cm.