Correction :

Pondichéry 2003

 Mise en orbite d'un satellite

artificiel par la fusée Ariane ( 6 points )

 

   

 
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1)- L'ascension de la fusée Ariane :

a)-     Schéma :

b)-     Intensité des deux forces :

-          Le poids de la fusée :

-          Le théorème du centre d’inertie appliquée à la fusée par rapport à un référentiel galiléen (deuxième loi de Newton) :

-          Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit :

-         

-           (2)

-          On travaille dans le repère lié au référentiel d’étude.

-          On projette la relation (2) sur l’axe Oz :

c)-     Accélération au décollage :

-         

-          Masse de la fusée lorsque tout le peroxyde d’azote est consommé :

-          m 2 = m 1 - m

-          m 2 ≈ 208 - 147,5

-          m 2 ≈ 60,5 tonnes

-          Accélération de la fusée :

-         

-          Au cours du temps, l’accélération varie, elle augmente. Elle n’est pas constante. Le mouvement de la fusée n’est pas uniformément accéléré.

d)-     Analyse dimensionnelle :

-         

-          Valeur numérique de V e. : la masse de la fusée diminue de 147,5 tonnes en 145 s.

-         

-          signe de  : Au cours du mouvement de la fusée, la masse de celle-ci diminue et le temps s’écoule :

-          En conséquence :

-          Le sens de  : Les vecteurs et   ont même direction et des sens opposés.

-          C’est grâce à l’éjection des gaz que la fusée peut d’élever.

-          Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques.

-          Soient deux corps A (la fusée) et B (gaz éjectés). A est situé au point O et B est situé au point P.

-          Lorsqu’un corps A exerce sur un corps B une action mécanique représentée par le vecteur force localisée en P.

-          Le corps B exerce sur un corps A une action mécanique représentée par le vecteur force localisée en O.

-          Les forces  et ont même support et .

-          Remarque : cette propriété est toujours vraie, que les corps soient au repos ou en mouvement.

 

2)- Étude du satellite situé à basse altitude (h = 200 km)

a)-     caractéristiques du vecteur accélération  :

-          Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-         

-          L’accélération est radiale et centripète. Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.

-          Schéma :

b)-     Énoncé de la loi de gravitation universelle :

Énoncé de la loi de gravitation universelle :

-          Deux corps ponctuels A et B de masses respectives m A et m B exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction,  directement opposées, dirigées suivant la droite (AB), de valeur proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance r.

-          Schéma :

-          Expression vectorielle :

-         

c)-     Expression de g(h) en fonction de M T, R T, G et h :

-         

-         

-          Et enfin :

d)-     Deuxième loi de Newton appliquée au satellite :

-          Dans le référentiel géocentrique, on applique la deuxième loi de Newton :

-         

-          Pour simplifier l’étude, on travaille dans le repère de Frenet :

-          On remarque que .

-          L’expression de l’accélération dans ce repère :

-          Expression de la vitesse v S du satellite :

-           

-         

-          Période de révolution : Durée pour effectuer un tour.

-         

e)-     Application numérique : g 0 = 9,8 m / s² ; h = 200 km et R T = 6400 km. Calculer v S et TS.

-          Valeur de v S :

-         

-          Valeur de T S :

-