Devoir  N° 7

Additif

   

 

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1.      équations différentielles

1.1.    Premier cas :

Système : balle de masse m, référentiel : terrestre supposé galiléen. 

Le repère : la chute de la balle est verticale : on peut prendre un axe vertical orienté du haut vers le bas :

Représentation à l’instant t :

La Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit : (1)

On peut poser v x = v car v x est positif. La grandeur v représente la valeur de la vitesse, grandeur positive.

-  Type de l’équation différentielle :

1.2.    Deuxième cas :

Système : balle de masse m, référentiel : terrestre supposé galiléen. 

Le repère : la chute de la balle est verticale : on peut prendre un axe vertical orienté du bas  vers le haut :

Représentation à l’instant t :

La Deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit : (1)

Remarque :  v x = - v car v x est négatif avec l'orientation choisie . La grandeur v représente la valeur de la vitesse, grandeur positive.

-  Type de l’équation différentielle :  (2)’

-  Remarque : en remplaçant vx = - v dans l’équation (2), on obtient :  (2)

2.      Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants :  (2).

-  On pose pour généraliser l’expression :

-  L‘équation devient :  (1)

-  On sépare les variables :  (2)

-  Étude de l’expression :

-  En considérant que , on peut écrire que :

-  

-  Or :

-  

-  En conséquence :

-  

-  En remplaçant dans l’expression 2 :

-  

-  En identifiant :

-  On peut écrire l’expression suivante :

-  

-  Par intégration, on peut écrire :

-  

-  Que l’on peut aussi écrire :

-  On peut réduire cette expression :

-  

-  On peut continuer pour trouver l’expression de v en fonction du temps :

-  

-  En ordonnant, on obtient l’expression suivante :

-  

-  Utilisation des conditions initiales : Au temps t = 0 s, la vitesse de la balle est nulle en conséquence, K1 = 1 :

- 

-  Remarque : La vitesse limite atteinte par la bille est donnée par la relation :

-   .

3.      Résolution de l’équation différentielle non linéaire à coefficients constants :  (2)’.

-  On pose pour généraliser l’expression :

-  L‘équation devient :  (1)

-  On sépare les variables :  (2)

-  Étude de l’expression :

-  En considérant que , on peut écrire que :

-  

-  Or :

-  

-  En conséquence :

-  

-  En remplaçant dans l’expression 2 :

-  

-  En identifiant :

-  On peut écrire l’expression suivante :

- 

-  Par intégration, on peut écrire :

-  

-  On peut réduire cette expression :

- 

-  On peut continuer pour trouver l’expression de v en fonction du temps :

-  

-  En ordonnant, on obtient l’expression suivante :

-  

-  Utilisation des conditions initiales : Au temps t = 0 s, la vitesse de la balle est nulle en conséquence, K1 = - 1 :

-  

-  Remarque : La vitesse limite atteinte par la bille est donnée par la relation :

-   .

4.      Représentations graphiques :

Fichier excel qui permet de comparer le résultat donné par la méthode d'Euler et la courbe théorique :

Équation différentielle du premier ordre non linéaire

v lim2

35

m

5,30E-02

intervalle de temps :

dt =

0,2

g = b

9,81

a 2 =

8,01E-03

k 2 =

4,24E-04

racine (k.g/m) =

0,28028571

v lim1

30

a 1 =

1,09E-02

k 1 =

5,78E-04

racine (k.g/m) =

0,327

  

équation différentielle (2) :

 

équation différentielle (2)’ :