Phys. N° 01 :
Le Champ de Gravitation

Cours

Correction

 

   

 

I- La gravitation.

1)- Historique. Lire le document I.

2)- Choix d’un référentiel.

3)- La loi de Gravitation.

II- Le champ de gravitation.

1)- Champ de gravitation créé par

une masse ponctuelle.

2)- Champ de gravitation créé par un

objet de répartition sphérique de masse.

3)- Force exercée sur un objet de masse

m placé dans un champ de gravitation.

4)- Application :

III- Champ de gravitation et champ

de pesanteur.

1)- Champ de gravitation de la Terre.

2)- Champ de gravitation et champ

de pesanteur

3)- Variations de g.

4)- Champ de pesanteur uniforme.

IV- Applications. Correction

1)- Champ de gravitation de la Lune.

Exercice 15 page 23.

2)- Champ de gravitation terrestre.

Exercice 14 page 23.

3)- De la Terre à la Lune.

Exercice 20 page 24.

4)- Variation de g avec l’altitude.

Exercice 23 page 25.

5)- Mesure de G par Cavendish.

Exercice 24 page 25.

  

 

I- La gravitation.

1)- Historique. Lire le document I.

2)- Choix d’un référentiel.

Le référentiel :

-  Un référentiel est un objet matériel par rapport auquel on étudie

le mouvement d’un autre objet appelé mobile.

-  Le référentiel Galiléen :

c’est un référentiel dans lequel le principe de l’Inertie est vérifié.

Le référentiel terrestre ou référentiel du laboratoire :

-  On utilise, le plus souvent, comme repère lié au référentiel terrestre, deux axes horizontaux et un axe vertical.

Ce référentiel est bien commode pour l’étude du mouvement des objets dans une salle de classe,

pour tous les mouvements qui s’effectuent au voisinage de la terre.

-  Si l’expérience est suffisamment courte, on peut considérer que ce référentiel est Galiléen avec

une bonne approximation (précision de l’ordre de 10 –2 à 10 –3).

Le référentiel géocentrique.

-  L’origine du repère lié au référentiel Géocentrique est située au centre de la Terre.

L’axe z’Oz  est orienté vers une étoile lointaine : on peut choisir l’étoile polaire.

Les axes x’Ox et y’Oy sont situés dans le plan équatorial et ils sont orientés vers

des étoiles lointaines supposées fixes.

-  Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites de la Terre.

Ce référentiel n’est pas entraîné dans le mouvement de rotation de la Terre.

Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation uniforme de

l’ouest vers l’est, autour de l’axe des pôles.

-  on peut considérer que ce référentiel est Galiléen avec une bonne approximation

(précision de l’ordre de 10 –3 à 10 –4)

Le référentiel héliocentrique ou de Copernic.

-  L’origine du repère lié au référentiel Héliocentrique est située au centre du Soleil.

Les axes z’Oz, x’Ox et y’Oy sont orthogonaux et ils sont orientés vers

des étoiles lointaines supposées fixes.

-  Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites du Soleil.

Dans ce référentiel, la Terre décrit une orbite elliptique autour du Soleil en une année.

on peut considérer que ce référentiel est Galiléen avec une très bonne approximation

(précision de l’ordre de 10 –10)

 

3)- La loi de Gravitation.

Deux corps ponctuels A et B de masses respectives mA et mB

exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction, 

directement opposées, dirigées suivant la droite (AB),

de valeur proportionnelle aux masses et

inversement proportionnelle au carré de leur distance r.

Schéma :

 

Expression vectorielle :

 


 

Point d’application : B

Droite d’action : (AB)

Sens : de B vers A

Valeur : ; unité : N

-    Principe de l’action et de la réaction :

-     

-    G est la constante de gravitation Universelle :

-    G ≈ 6,67 x 10 – 3 m3. kg –1. s–2.

 

II- Le champ de gravitation.

1)- Champ de gravitation créé par une masse ponctuelle.

-    Considérons une masse ponctuelle M placée en O et un point quelconque P de l’espace.

-    Plaçons la masse m au point P. La masse M est la source de champ alors que la masse m permet de détecter le champ créé par la masse M.

 

-    D’après la loi de gravitation, la force de gravitation, exercée par la masse M sur la masse m, a les caractéristiques suivantes :

 

Point d’application : P

Droite d’action : (OP)

Sens : de P vers O

Valeur : ; unité : N

    

-    Expression vectorielle :

-     

-    Le terme entre parenthèses est un vecteur qui ne dépend que de la valeur de la masse M et des positions relatives de O et P.

-    Il est indépendant de la valeur de la masse m placée au point P.

-    On note ce vecteur :

-     

-    Il est appelé, vecteur champ de gravitation.

-    C’est le champ de gravitation créé, en un point P de l’espace, par la masse ponctuelle M située au point O.

-    Ce champ est indépendant de la masse m. Il existe même en l’absence de cette masse m.

 

-    Caractéristiques du vecteur champ de gravitation .

-     

-    Ce champ est radial et centripète.

-     On peut écrire aussi :

2)- Champ de gravitation créé par un objet de répartition sphérique de masse.

-  Un corps de masse m, formé de couches homogènes, est un corps possédant

une répartition sphérique de masse.

-  En première approximation, on peut assimiler les planètes (le Soleil, la Terre,…)

à des corps possédant une répartition de masse de symétrie sphérique.

-  Une répartition de masse de symétrie sphérique, de centre O et de masse M,

créé en un point extérieur P, un champ gravitationnel identique à celui

d’un corps ponctuel de même masse et placé au même point.

-  Schéma :

 

 

3)- Force exercée sur un objet de masse m placé dans un champ de gravitation.

-    L’objet ponctuel de masse m situé au point P subit une force :

-     

-    Ceci que la source de masse M située en O soit ponctuelle ou de symétrie sphérique.

4)- Application :

*   Donner la valeur du champ de gravitation créé par le Soleil

en un point de l’orbite terrestre.

En déduire la valeur des forces d’attraction Soleil –Terre et Terre-Soleil.

Pourquoi une seule de ces actions est perceptible ? Laquelle ?

Données :

 

MS ≈ 1,98 x 10 30 kg

MT ≈ 5,98 x 10 24 kg

rST ≈ 149,5 x 10 6  km

G ≈ 6,67 x 10 – 3 m3. kg–1. s–2

 

-    Valeur du champ de gravitation :

-     

-    Valeur des forces : d’après le principe de l’action et de la réaction :

-     

-    L’action du Soleil sur la Terre est perceptible car :

-     

 

 

III- Champ de gravitation et champ de pesanteur.

1)- Champ de gravitation de la Terre.

-  La Terre peut être considérée comme un corps à répartition de masse

de symétrie sphérique, de centre O, de rayon RT et de masse MT.

-  Schéma :

 

-  Au point P de l’espace, elle crée le champ de gravitation :

-   

-  La valeur du champ au point P est donnée par la relation :

-   

* Question : que représente le terme :

-     ?

* Calculer la valeur de ce terme.

Données :

 

RT ≈ 6400 km

MT ≈ 5,98 x 10 24 kg

G ≈ 6,67 x 10 – 3 m3. kg–1. s–2

 

-  Ce terme représente la valeur du champ de gravitation

de la Terre à la surface de celle-ci.

-  Valeur du champ de gravitation à la surface de la Terre :

-   

-  La terre est aplatie aux pôles :

-  RT ≈ 6380 km (rayon équatorial)   ≈ 9,80 m / s²

-  RT ≈ 6360 km (rayon polaire)  ≈ 9,86 m / s²

-  Remarque :

-   

-  Le champ de gravitation de la Terre ne dépend que de l’altitude h.

 

2)- Champ de gravitation et champ de pesanteur

-    Pour une masse m située au point P de la surface de la Terre :

-    Si l’on considère le champ de gravitation de la Terre, cet objet de masse m est soumis à une force de gravitation :

-    Si l’on considère le champ de pesanteur de la Terre, on peut dire que cet objet est soumis à son poids

-     

-    Remarque : le vecteur champ de gravitation  dépend de l’altitude alors que le vecteur champ de pesanteur de la Terre  dépend de l’altitude et de la latitude.

-    Il existe une différence entre  et  ,et par conséquence entre  et . Cette  faible différence est liée à la rotation de la Terre sur elle-même.

-    On admet que le champ de pesanteur peut s’identifier au champ de gravitation de la Terre En conséquence :

-     

3)- Variations de g.

-    On peut étudier les variations de g en fonction de l’altitude h.

-    On considère que :

-     

 Premier cas : considérons que h = 54 km et que RT = 6400 km.

-    Si l’on calcule le rapport

-    Dans ce cas, on peut poser que :

-    Complément mathématique : si ɛ << 1 alors (1 + ɛ)n ≈ 1 + n . ɛ

-    Dans le cas présent, on peut écrire que :

-     

-    La relation (a) n’est valable que si  h ≤ 64 km

 Second cas : Calculer g(h) pour h = 6400 km.

-    L’approximation n’est plus valable dans ce cas, il faut utiliser la relation (1).

-     

4)- Champ de pesanteur uniforme.

-    Dans une région limitée à quelques kilomètres, on peut admettre que le champ de pesanteur terrestre est uniforme.

-    Dans un champ de pesanteur uniforme, les forces de pesanteur s’exerçant sur un objet de masse m sont équivalentes :

-    À une force unique appelée poids

-    Appliquée au centre d’inertie G de l’objet considéré.

 

IV- Applications.

1)- Champ de gravitation de la Lune. Exercice 15 page 23.

2)- Champ de gravitation terrestre. Exercice 14 page 23.

3)- De la Terre à la Lune. Exercice 20 page 24.

4)- Variation de g avec l’altitude. Exercice 23 page 25.

5)- Mesure de G par Cavendish. Exercice 24 page 25.