Phys. N° 06 :
Mouvements dans un champ
de pesanteur uniforme
Cours

 

   

 

 

 

I- Mouvement de chute libre.

1)- Définition.

2)- Conclusion.

II- Exemples

1)- Chute libre sans vitesse initiale.

2)- Chute libre avec une vitesse initiale quelconque.

I- Mouvement de chute libre.

1)- Définition.

* On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids.

*  Expérience.

-    On prend une feuille de papier que l'on plie.

-    Lorsque la surface de la feuille devient petite, on s'aperçoit que celle-ci tombe suivant une ligne verticale.

-    On peut considérer que les objets de petites tailles se déplaçant sur une faible distance sont en chute libre.

-    Conséquence de l'application du théorème du centre d'inertie.

 

-    Étant donné un objet de masse m en chute libre, on peut appliquer le théorème du centre d'inertie :

-     

-    Comme :

-     

-    En conséquence :

-     

-    on considère que l'objet se déplace dans un champ de pesanteur uniforme .

2)- Conclusion.

*   Pour tout mouvement de chute libre :

*   L'accélération du centre d'inertie est égale au champ de pesanteur.

*   Elle ne dépend pas de la masse de l'objet, mais de la manière dont on lance l'objet.

II- Exemples

1)- Chute libre sans vitesse initiale.

*  Application 1 :

-    On laisse tomber, sans vitesse initiale, une pierre de masse m = 100 g dans un puits. La durée de la chute est Δt =  1,6 s.

-    Déterminer l'accélération du centre d'inertie de la pierre.

-    Donner les équations horaires du mouvement.

-    Exprimer la vitesse de la pierre en fonction de la hauteur h de chute.

-    Calculer la profondeur du puits. Calculer la vitesse de la pierre au fond du puits.

 

 Étude préliminaire :

 

-    Le système : la pierre de masse m et de centre d'inertie G.

-    Le référentiel : référentiel terrestre considéré comme galiléen car cette courte durée, on peut considérer que la terre n'a pas bougé.

-    Le repère d'espaces lié au référentiel d'étude . 

-    Oz axe vertical orienté vers le haut, Ox et Oy axes horizontaux perpendiculaires.

-    On choisit comme origine des espaces la position de la pierre à l'instant initial.

-    Origine des dates : instant ou l'on lâche la pierre.

-    Conditions initiales :

 

 

 

 Étude dynamique :

-    Bilan des forces :

-    Théorème du centre d'inertie :

-     

-    Comme :

-    En conséquence : (1)

 étude cinématique :

-    équations horaires du mouvement.

-    Coordonnées du vecteur accélération :

 

 

et

 

 

 

-    Coordonnées du vecteur vitesse.

-    On utilise la relation :

-   .

-    On cherche les primitives des équations précédentes.

-    Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

 

 

D’après les

conditions initiales

 

 

-    Coordonnées du vecteur position.

-    On opère de la même façon :

-   

 

D’après les conditions initiales

 

-    Remarque les équations horaires sont liées au repère d'étude.

 Équations horaires :

 

  

Si l'on choisit un axe vertical Ox orienté de  haut en bas

  

  

  

  

  

 

-    Vitesse de la pierre en fonction de la hauteur  h de chute. D'après le repère d'étude : h = -z.

-    On peut calculer la valeur de la vitesse : v = g . t.

-    Si on veut connaître les valeurs de la hauteur de chute, de la vitesse et de l'accélération, on obtient les équations suivantes :

 

 

a = g

 Relation entre la vitesse et la hauteur de chute :

 v = g . t

 

  

 

 

-    Profondeur du puits :

-     

-    Vitesse de la pierre au fond du puits :

-     

-     On peut utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour s'entraîner.

-    Conclusion.

-    

-    De plus

 

 az = - g

 a = g = cte

 vz = - g . t

 v = g . t

  

  

 

-       Le mouvement du centre d'inertie du solide en chute libre abandonné sans vitesse initiale est animé d'un mouvement rectiligne, vertical, uniformément accéléré.

-       La valeur de la vitesse croit linéairement avec la durée de chute.

 

2)- Chute libre avec une vitesse initiale quelconque.

* Application 2.

-    Une balle de tennis de masse m est lancée d'un point O avec une vitesse initiale  faisant un angle a avec l'horizontale.

-    On considère que la balle est en chute libre.

-    Données : v0 =12,0 m / s ; α = 60 ° ; m = 50,0 g et g = 9,81 m / s².

-    On choisit comme repère :

-    y'Oy axe vertical orienté vers le haut et x'Ox axe horizontal orienté de gauche à droite.

-    Le plan (x'x, y'y) contient le vecteur vitesse .

-    z'Oz est orthogonal au plan (x'x, y'y).

-    Les vecteurs  forment un trièdre direct.

-    On choisit comme origine des espaces le point O et l'origine des dates l'instant ou la balle occupe la position O.

-    Donner les équations horaires du mouvement. Que peut-on dire du mouvement de G suivant l'axe x'Ox, suivant l'axe y'Oy. Dans quel plan s'effectue le mouvement de G ?

-    Déterminer l'équation de la trajectoire du point G. Conclusion.

-    Déterminer la portée horizontale (distance OC : les points O et C sont situés sur la même horizontale). Donner l'expression littérale puis la valeur numérique.

-    Quelle doit être la valeur de l'angle a pour que la portée horizontale soit maximale ?

-    Déterminer la flèche c'est-à-dire l'altitude maximale atteinte par le projectile. Donner l'expression littérale puis la valeur numérique.

-    Déterminer la durée du tir.

-    Déterminer la valeur de la vitesse lorsque l'altitude est maximale.

-    Déterminer la valeur de la vitesse au point C situé sur la même horizontale que le point O.

 Étude préliminaire :

-    Le système : la balle de masse m et de centre d'inertie G.

-    Le référentiel : référentiel terrestre considéré comme galiléen car cette courte durée, on peut considérer que la terre n'a pas bougé.

-    Le repère d'espaces lié au référentiel d'étude :

-    Conditions initiales :

 

 

 

 

-    Étude dynamique :

-    Bilan des forces :

-     

-    Théorème du centre d'inertie :

-     

-    Comme :

-    En conséquence : (1)

   étude cinématique :

-    équations horaires du mouvement

-    Coordonnées du vecteur accélération :

 

et

 

Þ

 

 

-    Coordonnées du vecteur vitesse.

-    On utilise la relation :

-    .

-    On cherche les primitives des équations précédentes.

-    Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

 

 

D’après les

conditions initiales

 

-    Coordonnées du vecteur position.

-    On opère de la même façon :

-     

 

D’après les

conditions initiales

 

*   Le mouvement suivant l'axe x'Ox est rectiligne uniforme.

*   Le mouvement suivant l'axe y'Oy est rectiligne uniformément varié.

*   Le mouvement de G est contenu dans le plan (x'x, y'y) appelé plan de tir. Il contient le vecteur .

 Équation de la trajectoire.

-    On élimine le temps entre pour trouver la relation entre x et y : y = f(x).

 

On déduit

l’équation de

la trajectroire

 

*   La trajectoire de G est une portion de parabole contenue dans un plan vertical contenant le vecteur vitesse .

Flèche et portée horizontale et durée de tir.

-    On va utiliser le fait que la trajectoire est une portion de parabole. On utilise les propriétés des paraboles.

Pour simplifier l'exercice, on pose :

-     

-    l'équation à étudier, est plus simple.

   Portée horizontale : il faut calculer la longueur OC, en conséquence il faut trouver l'abscisse du point C tel que

-    (2)

-     Il faut résoudre l‘équation (2).

-      

-    On rejette la solution xC = 0

-    Pour trouver l'expression littérale générale, on remplace b et m par leurs valeurs respectives.

-     

-    Application numérique :

-   

-    Valeur de l'angle : 

-    Pour que la portée horizontale soit maximale :

-    sin 2 α = 1 => α = 45 °.

-     Dans ce cas : xC ≈ 14,7 m

   Flèche :

-    C'est l'altitude maximale en conséquence :  

-    On travaille avec l'expression simplifiée :

-     

-    altitude maximale :

-     

-     

-    Application numérique :

-     

   Durée de tir :

-    Durée Δt pour parcourir la distance OC :

-     

-    Application numérique :

-  

   Valeur des vitesses en O et C.

-    On utilise le théorème de l'énergie cinétique :

-     

-    

-       D'autre part vC = v0 car les deux points sont à la même altitude.

En conséquence, le travail est nul et la variation d'énergie cinétique est nulle.

Les vitesses sont les mêmes.

* Recommencer les calculs pour α = 30 ° et tirer les conclusions.

* Applications : mouvement sans frottement sur un plan incliné. (Voir TP physique N° 3 et N° 4)