Phys. N° 07 :
Mouvement des satellites et des planètes
Cours

 

   

 

I- Mouvement des Satellites de la Terre.

1)- Le référentiel Géocentrique.

2)- Le référentiel héliocentrique

ou de Copernic.

II- Satellite Artificiel à trajectoire circulaire.

1)- Application 1 :

On suppose que la Terre a une distribution

de masse à symétrie sphérique de centre O.

2)- Solution 1 :

3)- Application 2 :

4)- Solution 2 :

5)- Satellite Géostationnaire.

III- Mouvement des Planètes.

1)- Le système Solaire.

2)- Les lois de KEPLER.

3)- Mouvement de la planète Mars : exercice 11 page 119.

4)- Détermination de la masse d’une Planète : exercice 12 page 119.

   

I- Mouvement des Satellites de la Terre.

1)- Le référentiel Géocentrique.

-    Le référentiel terrestre ou référentiel du laboratoire.

-    On utilise, le plus souvent, comme repère lié au référentiel terrestre, deux axes horizontaux et un axe vertical.

-    Ce référentiel est bien commode pour l’étude du mouvement des objets dans une salle de classe, pour tous les mouvements qui s’effectuent au voisinage de la terre.

-    Si l’expérience est suffisamment courte, on peut considérer que ce référentiel est Galiléen avec une bonne approximation (Précision de l’ordre de 10 –2 à 10 –3).

-    Le référentiel géocentrique.

-    L’origine du repère lié au référentiel Géocentrique est située au centre de la Terre.

-    L’axe z’Oz  est orienté vers une étoile lointaine : on peut choisir l’étoile polaire.

-    Les axes x’Ox et y’Oy sont situés dans le plan équatorial et ils sont orientés vers des étoiles lointaines supposées fixes.

-    Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites de la Terre.

-    Ce référentiel n’est pas entraîné dans le mouvement de rotation de la Terre.

-    Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation uniforme de l’ouest vers l’est, autour de l’axe des pôles.

-     on peut considérer que ce référentiel est Galiléen avec une bonne approximation (Précision de l’ordre de 10 –3 à 10 –4).

-    Schéma :

 

2)- Le référentiel héliocentrique ou de Copernic.

-    L’origine du repère lié au référentiel Héliocentrique est située au centre du Soleil.

-    Les axes z’Oz, x’Ox et y’Oy sont orthogonaux et ils sont orientés vers des étoiles lointaines supposées fixes.

-    Ce référentiel est commode pour l’étude des satellites du Soleil.

-    Dans ce référentiel, la Terre décrit une orbite elliptique autour du Soleil en une année.

-    on peut considérer que ce référentiel est Galiléen avec une très bonne approximation (Précision de l’ordre de 10 –10).

-    Schéma :

 

II- Satellite Artificiel à trajectoire circulaire.

1)- Application 1 : On suppose que la Terre a une distribution de masse à symétrie sphérique de centre O.

a)-  Donner l’expression de l’intensité du champ de gravitation g créé

par la Terre à une altitude h en fonction de G, RT et h. Faire un schéma.

b)-  Donner l’expression vectorielle de la force  que subit le Satellite situé

à l’altitude h. Faire un schéma.

c)-  Donner l’expression littérale de MT en fonction de g0, G et RT et calculer sa valeur.

-    On donne :

G = 6,67 x 10 –11 S.I ; RT = 6400 km ; g0 = 9,80 m / s2  (au niveau du sol).

 CAVENDISH : (1798) Il mesure la constante G en utilisant un dispositif analogue

à la balance de torsion qui avait permis à COULOMB d’établir en 1785 la loi de l’électrostatique.

La connaissance de G permis la mesure de la masse des autres Astres. (Lois de KEPLER).

2)- Solution 1 :

a)-  expression de l’intensité du champ de gravitation :

  

-    expression vectorielle :

-     

-    En conséquence :

-     

b)-  Expression vectorielle de la force  que subit le Satellite

situé à l’altitude h.

  

-     

c)-  Expression littérale de MT en fonction de g0, G et RT et valeur.

-     

3)- Application 2 :

* On admet qu’un Satellite S de la Terre, assimilé à un point matériel

de masse m, est soumis uniquement à la gravitation exercée par la Terre.

Il décrit dans le référentiel géocentrique une trajectoire circulaire de centre O.

a)-  Donner les caractéristiques du vecteur accélération  du satellite.

b)-  Montrer que le mouvement du Satellite est uniforme.

c)-  Exprimer la valeur de la vitesse v du Satellite en fonction de MT, G, RT et h.

(Le mouvement étant circulaire, il faut travailler dans le repère de FRENET).

-    Dans quel repère cette vitesse est-elle mesurée  ?

-    Calculer v pour h = 300 km et h = 30000 km. Conclusion.

d)-  Exprimer la valeur de la période T du Satellite en fonction

de MT, G, RT et h puis en fonction de RT et h et g0.

-    Calculer T pour h = 300 km et h = 30000 km. Conclusion.

-    Donner l’expression littérale du rapport : .

Montrer que ce rapport est constant.

-    Le Satellite EXPLORER gravite à une altitude h = 180 km.

Calculer sa période T de révolution.

4)- Solution 2 :

a)- Caractéristiques du vecteur accélération.

-    Système : Satellite S (m, G)

-    Référentiel géocentrique : référentiel Galiléen

-    Schéma :

 

-    Bilan des forces :

-    force de gravitation exercée par la Terre sur le Satellite.

-    On néglige les forces de gravitation exercées par les autres

planètes et le Soleil.

-     Le théorème du centre d’inertie :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des vecteurs forces extérieures

appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par

le vecteur accélération de son centre d’inertie.

On écrit :     

 (1)

-    Le vecteur accélération a même direction, même sens et même valeur

que le vecteur champ de gravitation .

-    L’accélération du centre d’inertie du Satellite est égale au

champ gravitationnel.

-    Elle est dite centripète (orientée vers le centre de la Terre.

-    Le Satellite est soumis à une force centrale .

-    Le plan de la trajectoire du Satellite contient le centre O de la Terre.

b)- Le mouvement du Satellite est uniforme : 

-    Le mouvement étant circulaire, il faut travailler dans le repère de FRENET.

-     

-    schéma :

 

-    Coordonnées de chaque vecteur dans le repère de FRENET :

-     

 

     et                    

-    De l’équation (1), on tire :

 

 

-    Le mouvement du Satellite a lieu dans le plan xOy.

-    De plus comme : , le mouvement est uniforme.

-     Comme le mouvement du Satellite est circulaire, il est circulaire uniforme.

c)-  Expression de la vitesse du Satellite.

 

-    Cette vitesse est mesurée dans le référentiel Géocentrique,

elle est indépendante de la masse du Satellite.

-    Calcul de la valeur de la vitesse :

-     

-     

-    Quand l’altitude h augmente, la vitesse v  du Satellite diminue.

d)-  Période du Satellite :

-    La période du Satellite est la durée nécessaire pour effectuer un tour.

-     

-    expression de T en fonction de g0 et h.

-     

-    Valeur de T pour les deux altitudes :

-     

-     

-    Quand l’altitude h augmente, la période T augmente aussi.

-    Expression littérale du rapport :

-    On part de l’expression suivante que l’on élève au carré

-     

-    Le rapport est constant et indépendant de la masse du Satellite.

Ce résultat constitue la Troisième loi de Kepler.

e)-   Période T du Satellite EXPLORER.

-    

 

5)- Satellite Géostationnaire.

Un Satellite Géostationnaire est un Satellite qui reste toujours

à la verticale d’un même point P de la Terre.

Le plan de l’orbite dans le référentiel géocentrique est le plan équatorial.

-    Quelle est la période de révolution d’un tel Satellite  ?

-    En déduire l’altitude h d’un Satellite géostationnaire.

   Solution :

-    Période de révolution d’un Satellite Géostationnaire :

-    C’est la durée pour effectuer un tour dans le référentiel géocentrique :

-     c’est la durée d’un jour sidéral

-    1 j = 86164 s = 23 h 56 min 4 s

-    altitude de révolution d’un Satellite Géostationnaire :

 

  

III- Mouvement des Planètes.

1)- Le système Solaire.

-    Les neuf Planètes gravitent approximativement dans le même plan autour d’une étoile centrale : Le Soleil.

-    Ce plan qui contient le centre du Soleil est appelé : Plan de l’écliptique.

-    Le système Solaire comprend : le Soleil et les planètes : Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton.

-    Les trajectoires des planètes sont des ellipses très voisines de cercles (sauf pour Pluton qui joue un rôle un peu particulier).

-    Dans le référentiel Héliocentrique, le mouvement du centre d’une planète autour du Soleil est quasiment circulaire.

-    Le centre de chaque trajectoire circulaire coïncide presque avec le centre du Soleil.

2)- Les lois de KEPLER.

-    Première loi de Kepler : Dans le référentiel Héliocentrique, les planètes

décrivent des ellipses d’un le Soleil S est un des foyers.

-    Deuxième loi de KEPLER : En des temps égaux, le rayon-vecteur SP balaie

des aires égales (S désigne le centre du Soleil et P le centre de la planète

considérée).

-    Troisième loi de KEPLER : Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube

du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :

.

-    Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète. En considérant que la

trajectoire est circulaire, on peut écrire que :

3)- Mouvement de la planète Mars : exercice 11 page 119.

* Dans le référentiel Héliocentrique, la planète Mars décrit une orbite quasi

circulaire autour du centre d’inertie du Soleil de rayon r.

a)-  Définir le référentiel Héliocentrique.

b)-  Exprimer le champ de gravitation dû au Soleil au centre de Mars.

Préciser l’hypothèse envisagée pour exprimer le champ de gravitation.

c)-  Dans le référentiel Héliocentrique donner l’expression de l’accélération

du centre d’inertie de Mars en fonction de r, MS et G.

d)-  En déduire l’expression littérale la période T de révolution de Mars.

Calculer la valeur de cette période.

-    On donne : Rayon de la trajectoire de Mars r = 2,2794 x 108 km ;

masse du Soleil MS = 1,98 x 1030 kg et

la constante de gravitation Universelle G = 6,67 x 10 –11 S.I.

 

-    On considère le Soleil comme un corps à répartition sphérique de masse.

-     

-    Accélération du centre d’inertie de Mars dans le référentiel Héliocentrique :

-    Système : Satellite S (m, G)

-    Référentiel Héliocentrique : référentiel Galiléen

-    Schéma :

 

-    - Bilan des forces : force de gravitation exercée par le Soleil sur Mars.

-    - Le théorème du centre d’inertie :

-    Dans un référentiel Galiléen, la somme des vecteurs forces extérieures

appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par

le vecteur accélération de son centre d’inertie.

-    On écrit :      

-     (1)

-    Le vecteur accélération a même direction, même sens et même valeur

que le vecteur champ de gravitation .

-    L’accélération du centre d’inertie de Mars est égale au champ gravitationnel.

-    Elle est dite centripète (orientée vers le centre du Soleil).

-    Valeur de l’accélération :

-     

-    Période de révolution de Mars.

-    On peut déterminer l’expression de la vitesse de Mars dans

le référentiel Héliocentrique :

-     

-    Et en déduire l’expression de la période de révolution T :

-    

-    Valeur de la période T :

-     

 

4)- Détermination de la masse d’une Planète : exercice 12 page 119.

a)-  Lorsqu’un Satellite est animé d’un mouvement circulaire, autour d’une planète

de masse M, le rayon r de son orbite et la période T de son mouvement vérifient

la troisième loi de Kepler :

-     

-    Les Satellites géostationnaires de la Terre ont une orbite circulaire

de rayon rG = 42164 km et une période TG = 86164 s.

Calculer la masse MT de la Terre.

-    Mars a deux Satellites naturels, Phobos et Deimos.

-    Phobos gravite à  la distance rp = 9380 km du centre de Mars avec une

période Tp = 7 h 39 min. Deimos a une trajectoire quasi circulaire

de rayon  rD = 23460 km et une période de révolution TD = 30 h 18 min.

b)-  Calculer la masse MM de la planète Mars à partir des caractéristiques du

mouvement de Phobos et de Deimos.

-    Comparer les valeurs obtenues.

c)-  Au cours de la mission APOLLO XVII en 1972, le module de commande en

orbite autour de la Lune à une distance de 2040 km du centre de celle-ci,

avait une période de 8240 s dans le référentiel Sélénocentrique.

Calculer la masse de la Lune.

Solution :

d)-  Masse de la Terre :

-     

e)-  Masse de la planète Mars :

-    en utilisant les caractéristiques de Phobos.

-     

-    En utilisant les caractéristiques de Deimos.

-    

-    Comparaison des valeurs :

-    

-    Incertitude relative :

f)-   Masse de la Lune :

-