Phys. N° 08 :
Mouvement d'une particule chargée
dans un champ électrique uniforme.
Cours

 

   

 

 

I- Dispositif expérimental.

1)- Le canon à électrons.

2)- Les plaques de déviation.

II- Applications.

1)- Application 1 :

déviation des électrons (oscilloscope).

2)- Application 2 :

exercice 7 page 135.

Énoncé :

Solution :

1)- Voir schéma ci-dessous.

2)- Valeur du champ :

3)- Équations horaires.

4)- Nature du mouvement.

5)- Valeur de la vitesse au point O'.

6)- Durée du trajet OO'.

 

I- Dispositif expérimental.

1)- Le canon à électrons.

-    C'est un dispositif qui accélère les électrons.

-    Il comprend :

-    Une plaque C appelée cathode (elle émet des électrons en utilisant l'effet thermoélectronique :

-    le filament f chauffe la cathode pour émettre des électrons.

-    Une plaque A appelée anode qui attire et accélère les électrons.

-    Elle est percée d'un trou pour laisser passer les électrons.

 

-    La tension UAC peut atteindre quelques dizaines de kilovolts.

-    Le champ entre les deux plaques est uniforme et il est orienté de A vers C.

2)- Les plaques de déviation.

-    Les électrons pénètrent avec une vitesse horizontale  à l'intérieur d'un condensateur plan dans lequel règne le vide.

-    Entre les deux plaques horizontales A et B de ce condensateur, séparées par la distance d, est appliquée une tension UAB.

-    On admet que le champ électrique qui en résulte agit sur les électrons sur une distance L mesurée à partir de O.

-    Les électrons sont déviés vers le haut ou vers le bas suivant le signe de la tension UAB.

 

 

Animation CabriJava

II- Applications.

1)- Application 1 : déviation des électrons (oscilloscope).

a)-  Énoncé :

-    Les électrons pénètrent avec une vitesse horizontale  à l'intérieur d'un

condensateur plan dans lequel règne le vide.

-    Entre les deux plaques horizontales A et B de ce condensateur, séparées par la

distance d, est appliquée une tension UAB = VA VB ≈ 141 V.

-    On admet que le champ électrique   qui en résulte agit sur les électrons sur

une distance L mesurée à partir de O.

-    Données :

-    g = 9,81 m / s² ; v0 = 30000 km / s ; L = 15 cm ; d = 3,0 cm ;

-    D = 20 cm ; le point C est situé au centre du condensateur.

-    Choix du système :

-     Le système étudié est un électron de masse me = 9,1 x 10-31 kg

-     Et de charge q =  e =   1,6 x 10 –19 C.

-    Choix du repère :

-  

-    Axe x'Ox axe horizontal de même direction et de même sens que   .

-    L'axe y'Oy : axe vertical ascendant.

-    Le plan xOy contient le vecteur v0.

-    L'axe z'Oz est perpendiculaire au plan xOy.

Étude dynamique :

-    Faire le bilan des forces. Représenter le vecteur champ électrique  et

calculer sa valeur.

-    Représenter le vecteur force électrique et le vecteur poids.

-    Comparer les valeurs du poids de l'électron et de la force électrique qu'il subit.

-    Conclusion.

-    Appliquer le théorème du centre d'inertie d'un solide au système étudié.

-    En déduire l'expression du vecteur accélération .

Étude cinématique :

-    On choisit comme origine des dates l'instant ou les électrons pénètrent dans

le condensateur.

-    Donner les conditions initiales dans le repère d'étude.

-    Donner les coordonnées du vecteur accélération dans le repère d'étude.

-    En déduire les coordonnées du vecteur vitesse, puis du vecteur position.

-    Montrer que la trajectoire d'un des électrons à l'intérieur du condensateur

est plane et est contenue dans le plan xOy.

-    Établir l'équation de la trajectoire des électrons dans le système d'axe x'x, y'y.

-    De quelle distance verticale les électrons sont-ils déviés à la sortie du

condensateur ?

-    Donner les coordonnées du point S.

-    Que se passe-t-il à partir du point S ?

-    Quelle hypothèse peut-on faire ?

-    Quelle est la direction du mouvement des électrons à la sortie du condensateur ?

-    Les électrons forment un spot sur un écran fluorescent E placé à la distance D

du centre C du condensateur.

-    Calculer la distance IJ.

-    Déterminer la valeur de la vitesse des électrons au point S.

-    Conséquence.

-    En considérant que v = v0 = cte, calculer le temps Δt mis par les électrons

pour traverser le condensateur.

-    On applique une tension alternative de fréquence f et de valeur efficace

U = 100 V.

-    Qu'observe-t-on sur l'écran E ?

-    On prendra : f = 100 Hz puis f = 1000 MHz.

b)-  Solution :

-    Choix du système :

-     Le système étudié est un électron de masse me = 9,1 x 10-31 kg

-     Et de charge q =  e =   1,6 x 10 –19 C.

-    Choix du repère :

-  

-    Axe x'Ox axe horizontal de même direction et de même sens que   .

-    L'axe y'Oy : axe vertical ascendant.

-    Le plan xOy contient le vecteur v0.

-    L'axe z'Oz est perpendiculaire au plan xOy.

Étude dynamique :

-    Bilan des forces :  et .

-    Représentation du vecteur champ électrique  sur le schéma et valeur :

-     

-    Le champ électrique est orienté dans le sens des potentiels décroissants en

conséquence de A vers B car UAB = VA  VB > 0.

-    Représentation de  et  : même direction mais sens opposés.

-    Comparaison des valeurs :

-    

-    En conséquence, P << F on peut négliger les effets du poids devant

celui de la force électrique.

-    Théorème du centre d'inertie :

-    Dans un référentiel Galiléen, la somme des vecteurs forces extérieures

appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur

accélération de son centre d’inertie.

-    On écrit :      

-     

-    En conséquence :

-    On tire de cette relation : .

 Étude cinématique :

-    Conditions initiales :

-    Coordonnées du vecteur accélération :

-    Coordonnées du vecteur vitesse : on utilise

-     

 

-    Coordonnées du vecteur position : on utilise

-     :

-    Comme vz =0 et z = 0, ceci , le mouvement des électrons a lieu dans le

plan xOy.

-    Équation de la trajectoire : on élimine le temps t entre x et y pour

exprimer y = f(x).

-     

-    À l'intérieur du condensateur, les électrons décrivent un arc de parabole

d'axe vertical Oy.

-    Distance verticale de déviation des électrons à la sortie du condensateur.

-    Le point S a pour coordonnées :

-    xS = L et yS =  ?

-    En conséquence :

-    En remplaçant a par sa valeur :  

-    Application numérique :

-    .

-    Que se passe-t-il à partir du point S ?

-    à la sortie du condensateur, on peut considérer que la force électrique est

pratiquement nulle.

-    La vitesse des électrons étant très grande, on peut considérer que l'effet du

poids sur le mouvement des électrons est négligeable.

-    Le mouvement des électrons est pratiquement rectiligne "uniforme" sur la

courte distance qui sépare le point S de l'écran.

-    La direction des électrons à la sortie du condensateur est celle de la

tangente à la parabole au point S.

-    L'équation de cette tangente est du type y = k.x + p avec :  

-     

-    propriété de la parabole liée au points xC et xS.

-     

-    Car la parabole est du type y = k . x2

-    D'autre part :

-    

-    De plus :

-     

-    En remplaçant yS par son expression littérale

-     

-    Application numérique :

-     

-    Valeur de la vitesse au point S :

-    On utilise le théorème de l'énergie cinétique :

 

-    

-    Il faut donc calculer la tension USO.

-    On peut faire une résolution rapide :

 

UAB = 141 V

USO = 47 V

d = 3,0 cm

d’ = 1,0 cm

 

-    

-    Application numérique :

-    .

-    En conséquence, la valeur de la vitesse varie peu sur le trajet OS.

-    On peut utiliser la méthode suivante :

-    Comme le travail de la force électrique ne dépend pas du chemin suivi,

on peut travailler avec l'expression suivante :

-    

-    dans un premier temps, on s'intéresse au produit scalaire et aux

coordonnées des vecteurs dans le repère d'étude.

-     

-    Durée du parcours : on considère que :

-    .

-    Si on applique une tension alternative de fréquence f = 100 Hz,

alors la période T = 0, 020 s.

-    On peut considérer que pendant le temps Δt la tension est

pratiquement constante.

-    On observe donc un trait vertical car la tension varie entre Um et + Um.

-    Si f = 1000 MHz, la période T = 1,0 x 10 –9 s en conséquence :

-    T et Δt sont du même ordre de grandeur.

-    Aucun phénomène n'est observable, l'oscilloscope n'est pas adapté

à la tension.

-    Il ne peut pas la visualiser.

2)- Application 2 : exercice 7 page 135.

B- Énoncé :

 

 

Solution :

1)- Voir schéma ci-dessous.

 

2)- Valeur du champ :

-     

-    Relation entre et :

-     

-    le vecteur accélération a même direction même sens que le vecteur champ

électrique de plus, il est constant.

3)- Équations horaires.

-    Conditions initiales :

 

         

 

4)- Nature du mouvement.

-    Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré car

-    .

-    Les vecteurs ont même direction, même sens à chaque instant en conséquence,

le mouvement est rectiligne.

-    De plus, le vecteur accélération est un vecteur constant, le mouvement est

rectiligne uniformément accéléré.

5)- Valeur de la vitesse au point O'.

-    On utilise le théorème de l'énergie cinétique

-     

-     

-     

-    A.N :

-     

6)- Durée du trajet OO'.

-   avec   et x = d = 10 cm

-    En conséquence :

-     

-    Il faut résoudre l'équation de deuxième degré :

-    

-    Autre méthode (plus courte) : on passe par la valeur de la vitesse en O'

-     

-    A.N :

-