Phys N° 09 :
Mouvement d'une particule chargée
dans un champ magnétique uniforme
Cours

 

   

 

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I- Le produit vectoriel.

1)- Définition.

2)- Le trièdre direct.

3)- Propriétés du produit vectoriel.

II- Étude expérimentale.

1)- Dispositif expérimental.

2)- Étude préliminaire.

III- La force magnétique :

force de Lorentz .

IV- Aspect énergétique.

V- Application :

1)- Étude de la trajectoire d'une particule chargée

dans un champ magnétique uniforme.

2)- Étude dynamique :

3)- Étude cinématique :

4)- La déflexion magnétique.

5)- Le spectrographe de masse.

 Exercice  

 

I- Le produit vectoriel.

1)- Définition.

-    Le produit vectoriel de deux vecteurs  et  faisant entre eux un angle  , est un vecteur:

-    Dont la direction est perpendiculaire au plan défini par  et ,

-    Le sens est tel que le trièdre ,  et  est direct,

-    La norme .

-    Le produit vectoriel est noté : .

 

2)- Le trièdre direct.

-    Règle : Tire-bouchon, main gauche, main droite. Représentation conventionnelle

-    Main gauche :

 

3)- Propriétés du produit vectoriel.

-    Le produit vectoriel n'est pas commutatif et .

 

 

II- Étude expérimentale.

1)- Dispositif expérimental.

-  Il comprend :

-  Une ampoule sphérique contenant un gaz raréfié (H2) qui permet de

visualiser la trajectoire des électrons (luminescence).

-  Un canon à électrons qui donne un faisceau d'électrons

 monocinétique.

-  Cette ampoule est située entre deux bobines de Helmholtz.

-   Ces bobines sont parcourues par un courant d'intensité I.

-   Le champ magnétique  entre les deux bobines est pratiquement

uniforme.

-  La valeur du champ magnétique est proportionnelle à l'intensité du

courant qui circule dans les bobines.

-  L'ampoule peut tourner autour d'un axe vertical.

- On peut ainsi changer la direction de la vitesse initiale  d'émission

des électrons par rapport à celle du champ magnétique .

2)- Étude préliminaire.

*À l'aide d'une aiguille aimantée, on repère la direction et le sens du

vecteur champ magnétique .

*Quelles sont les caractéristiques du vecteur champ magnétique  ?

-  Le champ magnétique est uniforme,

-  Orientation : règle de la main droite : doigt dans le sens du courant et

le pouce écarté donne la direction et le sens de .

-  Direction : axe commun des deux bobines.

-  Indiquer sur les figures 1 et 2 le sens du courant dans les bobines, les

faces des bobines et représenter le vecteur champ magnétique

 

Figure 1 :    Vue de face                     Vue de profil

 

 

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b)-  Expérience 1.

* On oriente le canon à électrons perpendiculairement à l'axe des bobines.

-  Que peut-on dire des vecteurs  et   ?

-   

-  Premier cas, on fixe l'intensité du courant I = 0 :

-  Quelle est dans ce cas la valeur de champ magnétique B ?

-  Quelle est la trajectoire décrite par le faisceau d'électrons ?

-  Conclusion.

-  1ier cas : I = 0  =>  B = 0,

La trajectoire des électrons est rectiligne,

les électrons ne subissent aucune action.

-  Deuxième  cas, on augmente la valeur de l'intensité du courant I > 0 :

-  Comment varie B quand I augmente ?

-  Quelle est la trajectoire décrite par le faisceau d'électrons ?

-  Conclusion.

-    et I > 0  =>  B > 0,   

-  La trajectoire s'incurve puis devient circulaire.

-  L'électron subit une action mécanique.

 

c)-  Expérience 2.

* On oriente le canon à électrons parallèlement à l'axe des bobines.

-  Que peut-on dire des vecteurs   et   ?

-   

-  Premier cas, on fixe l'intensité du courant I = 0 :

-  Quelle est dans ce cas la valeur de champ magnétique B ?

-  Quelle est la trajectoire décrite par le faisceau d'électrons ?

-  1ier cas : I = 0  =>  B = 0, trajectoire rectiligne, aucune action

-  Deuxième  cas, on augmente la valeur de l'intensité du courant I > 0 :

-  Comment varie B quand I augmente ?

-  Quelle est la trajectoire décrite par le faisceau d'électrons ?

-  Conclusion.

-  2ième  cas : :  I > 0  =>  B > 0, trajectoire rectiligne, aucune action

*Interprétation.

-  Si , les électrons sont soumis à une force d'origine magnétique

qui a pour effet de dévier le faisceau d'électrons.

-  Si , les électrons ne sont pas soumis à une force d’origine  magnétique.

III- La force magnétique : force de Lorentz .

-    La force exercée par un champ magnétique sur une charge q animée d'une vitesse  a pour expression :

 

 

Caractéristiques de  :

 

 

 

 

-  Direction à  et  

-  sens,  et  forment un trièdre direct

-  valeur : F = |q| . v . B . sin α

 (Au niveau de la terminale, )

-    remarque :

 

IV- Aspect énergétique.

-    Que peut-on dire du travail reçu par un électron se déplaçant dans un champ magnétique uniforme ?

-    Le travail de la force de Lorentz est nul car la direction de la force est perpendiculaire au déplacement.

-    L'énergie cinétique d'un électron varie-t-elle ?

-    L'énergie cinétique ne varie pas puisque la force ne travaille pas.

-    Quels sont les effets de la force de Lorentz sur le vecteur vitesse d'un électron ?

-    Les électrons se déplacent à la même vitesse, mais la direction change à chaque instant.

V- Application :

1)- Étude de la trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme.

- Dans une ampoule sphérique en verre contenant un gaz sous faible pression,

on étudie la trajectoire suivie par un pinceau d'électrons homocinétiques soumis à

l'action d'un champ magnétique uniforme, de vecteur champ .

- L'ampoule est placée entre deux bobines d'Helmholtz (bobines coaxiales) où

règne le champ magnétique , dirigé selon l'axe des bobines

(c'est-à-dire perpendiculairement au plan de la figure 1).

- Le pinceau d'électrons est crée par un canon C dans lequel les électrons, émis à

une vitesse négligeable sont accélérés par une tension U.

- Les électrons sortent du canon avec une vitesse représentée par le vecteur ,

vertical, orienté de gauche à droite (voir figure 1 : vue de face).

- on observe une trajectoire circulaire de rayon R.

- On néglige le poids des électrons devant la valeur de la force de Lorentz.

- Dans le cas présent, et sont orthogonaux.

2)- Étude dynamique :

a)- Donner l'expression de la force électromagnétique qui s'exerce sur un

électron à l'instant t. En déduire les caractéristiques du vecteur force.

Faire un schéma.

- Force de Lorentz : en considérant un électron :

 

 

Caractéristiques de :

 

-  Direction à  et

-  sens,  et  forment un trièdre direct

-  valeur : F = e . v . B car

  

b)- Après avoir précisé le référentiel d'étude et choisi le repère d'Espace,

appliquer le théorème du centre d'inertie.

- Dans l'exercice, on néglige l'effet du poids devant la force magnétique.

- Le théorème du centre d'inertie dans le référentiel galiléen permet d'écrire que :

-  (1) avec  (2)

c)- Donner l'expression du vecteur accélération d'un électron.

- De (1) et (2), on tire que : (3)

- On peut remarquer que est un vecteur constant mais que le vecteur vitesse

change de direction à chaque instant puisque le mouvement est circulaire.

3)- Étude cinématique :

a)- Montrer alors que le mouvement des électrons se fait dans un plan.

- Conditions initiales :

-      et      

- De l'expression (3), on déduit qu'à chaque instant, le vecteur accélération est

perpendiculaire au vecteur champ magnétique (propriété du produit vectoriel.

- En conséquence, le vecteur accélération est contenu dans le plan xOy.

- On en déduit les coordonnées du vecteur accélération dans le repère choisi.

                                               

- Du fait des conditions initiales, le mouvement s'effectue dans le plan xOy.

- Il n'y a pas de composante suivant l'axe z'z.

b)-  Monter que le mouvement des électrons est circulaire uniforme.

*Conseil :

Il faut utiliser le repère de Frenet et donner l'expression

du vecteur dans ce repère.

- Comme il faut montrer que le mouvement est circulaire,

on utilise le repère de Frenet.

On donne l'expression de  dans ce repère : en conséquence :

- .

- On peut en déduire l'expression du vecteur accélération dans

e repère de Frenet :

-  

-   

-  On en déduit les coordonnées du vecteur accélération dans

le repère de Frenet :

 

La composante tangentielle de l'accélération est nulle

En conséquence : v = cte = v0 le mouvement de la

 particule est uniforme

D'autre part : le mouvement est circulaire.

c)-  Établir l'expression de R (rayon du cercle) en fonction

de m, v0, B et e (e représente la charge élémentaire et

m la masse de l'électron).

-      (4)

-    A.N :

-     

d)-  Indiquer sur la figure 1, la direction et le sens de la force à la sortie du canon à électron, ainsi que le sens de . Indiquer le sens du courant dans les bobines.

-    Voir figure 1 :

 

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-    On utilise ce dispositif pour déterminer expérimentalement le rapport appelé

charge massique de l'électron.

e)-  Comment peut-on mesurer pratiquement la valeur de B ?

On trouve B = 1,25 x 10 –3 T.

-    Mesure à l'aide d'un Teslamètre.

f)-  Comment peut-on mesurer pratiquement le diamètre D de la trajectoire

circulaire suivie par les électrons ? On trouve D = 6,0 cm.

-    Mesure à l'aide d'une règle graduée.

g)- Montrer que v0, vitesse initiale des électrons à la sortie du canon, s'exprime en

fonction de la charge massique de l'électron et de la tension accélératrice U. En

déduire que la charge massique peut s'exprimer en fonction de U, B et R.

-    Calculer numériquement sachant que U = 124 V.

-    Données : m = 9,10 x 10–31 kg ; B = 1,25 x 10 –3 T ;

-    e = 1,60 x 10 –19 C ; v0  = 6,59 x 10 6 m / s

-    En utilisant le théorème de l'énergie cinétique : 

-    Attention : l’électron porte une charge négative

-    Schéma :

 

-    (5)

-     (4)

-    En utilisant (4) et (5), on trouve :

-     

-    A.N :

-     

-    Vérification :

-     

4)- La déflexion magnétique.

a)-  Énoncé :

 

-    Un électron arrive dans le vide avec une vitesse initiale v0,

 de direction (OA) et orienté de O vers A ( v0 = 6,00 x 106 m / s),

au point d'origine O d'un référentiel Galiléen.

-    Il est alors soumis à l'action d'un champ magnétique uniforme crée dans une

région de l'espace délimitée par le rectangle.

-    On suppose que la distance d est très petite devant la distance L.

b)-  Quelle est la nature du mouvement d'un électron entre O et M ?

Justifier la réponse.

Calculer la valeur du rayon de l'arc de cercle décrit par l'électron.

 

-    Solution :

 

Système :

On choisit un électron e

Référentiel et repère :

On choisit comme référentiel : le dispositif.

Le référentiel est un référentiel Terrestre,

il est considéré comme Galiléen.

Le repère d’étude est lié au référentiel.

Bilan des forces :

L’électron est soumis à la force magnétique  

et à son poids .

Remarque :

on peut négliger l’effet du poids devant

celui de la force magnétique.

 

Étude dynamique :

Dans le référentiel galiléen,

on applique le théorème

du centre d’inertie :

 

En conséquence, le vecteur accélération est

perpendiculaire au vecteur vitesse ceci à

chaque instant

(propriété du produit vectoriel).

Coordonnées

du vecteur

accélération :

On travaille dans le repère de Frénet :

 

Comme 

et comme :

Conclusion :

Le mouvement de l’électron est

circulaire uniforme.

 (2)

 

-    Ils décrivent un arc de cercle de rayon  : .

-    Application numérique :

-     

c)-  Quelle est la nature du mouvement d'un électron entre M et B ?

(On néglige l'effet du poids sur ce parcours)

-    Comme on néglige l'effet du poids sur le trajet MB, on peut considérer que

le mouvement des électrons sur ce trajet très court est  rectiligne uniforme.

-    MB a pour direction la tangente à l'arc de cercle au point M : CM MB.

-    On utilise l'approximation suivante :

-    On considère que l'angle a est petit en radian, en conséquence :

-    sin α ≈ tan αα  et .

-    Exprimer AB =Dm (déflexion magnétique en fonction de R, d et L.

-    Vérifier que Dm est fonction linéaire du champ magnétique appliqué.

-    Calculer Dm.

-    Données : (d = 1,00 cm ; L = 40,0 cm ; B = 1,25 x 10 –3 T)

-    Solution :

 

-    Dm = AK + KB (1)

-    D'autre part : et en utilisant l'approximation : sin α ≈ tan αα  

-    On en déduit : KBα . L (2)

-    Part construction, on remarque que :

-    AK = OJ = OC CJ = R R . cos α (3)

-    En utilisant l'approximation, il vient :

-   (3')

-    Mais (4). En utilisant (1), (2), (3') et (4), on peut écrire :

-    

-    

-    Application numérique :

-     

-    Dans la région de l'espace où règne le champ magnétique, les électrons sont déviés.

5)- Le spectrographe de masse.

*Dans tout le problème, les dispositifs sont dans le vide ;

les vitesses sont faibles devant la célérité de la lumière.

On ne tiendra pas compte de la pesanteur.

a)-  On considère deux plaques P et N, conductrices, parallèles, verticales et

distantes de d = 10,0 cm.

La tension entre les plaques est U = VP – VN = 6,00 x 104 V.

Une source émet des ions argent Ag+, avec une vitesse nulle, au travers d’une

fente S placée dans la plaque P.

-    Quelle est la nature du mouvement des ions Ag+ entre les deux plaques  ?

-    nature du mouvement des ions argent entre les plaques P et N.

Système :

On choisit un électron e-

Référentiel et repère :

On choisit comme référentiel : le dispositif.

Le référentiel est un référentiel Terrestre, il est considéré comme Galiléen.

Le repère d’étude est lié au référentiel.

       

Bilan des forces :

L’électron est soumis à la force électrique  et à son poids .

On  néglige l’effet du poids devant celui de la force magnétique.

 

Étude dynamique :

Dans le référentiel galiléen, on applique le théorème du centre d’inertie :

 

 

En conséquence : 

Coordonnées des différents vecteurs :

 

Le mouvement d'un ion argent est rectiligne uniformément accéléré, entre les plaques P et N, car le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération ont même direction et même sens et le vecteur accélération est constant.

 

-    Quelle est l’expression littérale de la vitesse des ions à leur arrivée en O, sur la

plaque ?

-    Expression littérale de la vitesse.

-    Il faut utiliser le théorème de l'énergie cinétique.

-    Dans le référentiel d'étude supposé Galiléen, la variation d'énergie cinétique

est égale à la somme des travaux des forces.

-     

-    expression de la vitesse :

-     (1)

-    L’argent est un mélange de 2 isotopes 107Ag et 109 Ag.

-    Calculer numériquement la valeur de la vitesse de chacun des isotopes à son

arrivée en O. (mp ≈ mn ≈ 1,66 x 10 – 27 kg).

-    Valeur numérique de la valeur de la vitesse pour chaque isotope.

-     

b)-  Les ions Ag+ traversent en O la plaque N par une fente et sont alors soumis à

un champ magnétique uniforme, de vecteur  normal à leur trajectoire.

-    Montrer qu’ils sont animés d’un mouvement circulaire uniforme.

Solution :

Système :

On choisit l’ion  Ag+

Référentiel et repère :

On choisit comme référentiel : le dispositif.

 Le référentiel est un référentiel Terrestre, il est considéré comme Galiléen.

Le repère d’étude est lié au référentiel.

Bilan des forces :

 

 

 

L’électron est soumis à la force magnétique  et à son poids .

Remarque : on peut négliger l’effet du poids devant celui de la force magnétique.

Étude dynamique :

Dans le référentiel galiléen, on applique le théorème du centre d’inertie :

 

En conséquence, le vecteur accélération est perpendiculaire au vecteur vitesse ceci à chaque instant (propriété du produit vectoriel).

Coordonnées

du vecteur accélération :

On travaille dans le repère de Frénet :

 

 

Comme 

et comme :

Conclusion :

Le mouvement de l’électron est circulaire uniforme.

  (2)

 

-    Établir l’expression du rayon de courbure R en fonction de e, U, B et de la

masse m d’un ion.

-    À  l’aide des relations (1) et (2),

-    On tire :

-    Calculer numériquement R pour chaque isotope si B = 1,0 T.

-     

c)-  À leur sortie du champ magnétique, les ions passent au travers d’une large

fente et sont captés par un fil métallique f relié à la terre à travers un galvanomètre

sensible G.

-    À quelles distances x de O faut-il placer le fil f pour recevoir respectivement

les ions 107Ag+ et 109 Ag ?

-    Position du fil F pour chaque isotope :

-    x107 = 2 R107  =>  x107 ≈ 0,730 m

-     x109 = 2 R109  =>  x107 ≈ 0,737 m

 

-    Pour les distances x précédentes, le galvanomètre indique les courants

respectifs de 61,61 mA et 58,38 mA.

Quelle est la composition isotopique de l’argent  ?

-    (Charge élémentaire : e = 1,60 x 10 –19 C)