Phys N° 11 :
Les oscillateurs Mécaniques

Cours

   

 

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I- Oscillateur élastique libre peu amorti.

1)- Caractéristiques des oscillations.

2)- Raideur et tension d’un ressort.

3)- Expression de la période de la période propre

 de l’oscillateur élastique.

4)- Période et raideur du ressort.

5)- étude énergétique.

II- Le pendule simple peu amorti.

1)- Présentation.

2)- Tension du fil.

3)- Période propre et paramètres spécifiques.

4)- étude énergétique.

III- Oscillations libres amorties.

1)- Amortissement fluide.

2)- Amortissement solide.

 

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I- Oscillateur élastique libre peu amorti.

1)- Caractéristiques des oscillations.

-    Écarté de sa position d’équilibre et abandonné à lui-même, le solide S, en translation effectue des oscillations libres.

-    Le mobile S se déplace sur coussin d’air et on peut considérer que les frottements sont négligeables.

 

-    Le système  {support - ressort - solide } constitue un oscillateur libre.

-    L’étude de la variation de l’élongation x en fonction du temps t, x = f (t), montre que les oscillations sont sinusoïdales :

-    x = xm cos (ω0 . t + φ)

-    xm                 : amplitude des oscillations ( mètre m)

-    φ                    : phase à l’origine des dates ( radian rad)

-    ω0 . t + φ       : phase à l’instant t ( radian rad)

-    ω0                  : pulsation propre.

-    Remarque      :   la période propre est indépendante de l’amplitude xm.

-    L’amplitude xm et la phase φ à l’origine des dates sont liées aux conditions initiales.

2)- Raideur et tension d’un ressort.

-    Un ressort à spires non jointives exerce une force proportionnelle à la longueur du déplacement de l’extrémité libre du ressort.

-    O représente la position de l’extrémité du ressort à l’équilibre et M représente la position de l’extrémité du ressort lorsqu’il est excité.

-    Tension exercée par le ressort sur le solide S :

-    Expression vectorielle :

-   

-    Valeur de la tension : T = k . x

-    k représente la raideur du ressort à spires non jointives en N / m,

-    x représente l’allongement du ressort par rapport à sa position d’équilibre, en m,

-    T représente la valeur de la tension en N.

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3)- Expression de la période de la période propre de l’oscillateur élastique.

a)-  Période de l’oscillateur et masse du solide S.

-    On conserve le même ressort et on fait varier la masse m du solide.

-    On peut prendre m = 50 g et m = 100 g.

-    On remarque que la période T0 augmente lorsque la valeur de la masse augmente.

-    L’étude de la courbe T02 = f (m) montre que le carré de la période propre est proportionnel T0 à la valeur de la masse m.

-    .

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4)- Période et raideur du ressort.

-    On conserve la même masse m mais on change le ressort.

-    On prend des ressorts de différentes raideurs.

-    La période T0 diminue lorsque la valeur de la raideur du ressort augmente.

-    L’étude de la courbe : montre que le carré de la période propre T0 est inversement proportionnel à la raideur k du ressort .

-     

b)-  Analyse dimensionnelle.

-    Conclusion :

-     

-    Montrer que cette relation a bien la dimension d’un temps.

-     

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5)- étude énergétique.

a)-  L’énergie mécanique du système S = { Terre – objet – ressort – support} :

-    EM = EP + EC

b)-  L’énergie potentielle :

-    Elle comporte deux termes,

-    L’énergie potentielle de pesanteur : EPP = m . g . h + cte.

-    Comme le pendule élastique effectue des oscillations horizontales, l’altitude du solide ne varie pas.

-    En conséquence : EPP =  cte.

-    En prenant cette horizontale comme référence, on peut adopter : EPP =  cte = 0.

-    L’énergie potentielle élastique liée à la déformation du ressort.

-    L’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur k est proportionnelle au carré de son allongement x.

-     

c)-  L’énergie cinétique.

-    Dans le référentiel Terrestre, le système possède l’énergie cinétique suivante (on néglige la masse du ressort devant celle du solide) :

-    .

d)-  Conservation de l’énergie.

-    On néglige les frottements solides et les frottements fluides (résistance de l’air).

-    L’énergie mécanique d’un oscillateur non amorti se conserve :

-     

-    Cette constante dépend des conditions initiales de lancement (vitesse et amplitude).

-    Au cours des oscillations, il y a transformation mutuelle d’énergie cinétique en énergie potentielle (et inversement).

-    Remarque le système étudié : S = { Terre – objet – ressort – support} est isolé (énergétiquement).

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II- Le pendule simple peu amorti.

1)- Présentation.

-    Un pendule simple est constitué d’un objet sphérique de masse m suspendu à un fil inextensible de longueur .

-    Remarque : la masse du fil est négligeable devant celle de l’objet.

-    La longueur est grande devant celle de l’objet.

-    Dans le cas contraire, on dit que le pendule est pesant.

 

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2)- Tension du fil.

a)-  Étude à l’équilibre : exprimer la valeur de la tension T exercée par le fil sur l’objet de masse m.

-    A l’équilibre, le solide de masse m est soumis à des forces dont les effets se compensent.

-    Le centre d’inertie du solide est immobile, la réciproque du principe de l’inertie permet d’écrire que :

-     

b)-  étude lorsque le solide est en mouvement.

-    On écarte le solide de sa position d’équilibre d’un angle θ0 < 10°.

-    On laisse le pendule osciller librement et on fait une représentation à un temps t quelconque.

  

-    Expression de la valeur de la tension T en fonction de θ, v, m et g à l’instant t.

-    On travail dans le repère de Frenet :

-     

-    On donne les coordonnées de chaque vecteur force dans ce repère :

-     

-    Le théorème du centre d’inertie permet d’écrire :

-   

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3)- Période propre et paramètres spécifiques.

-    La période propre des oscillations de faibles amplitudes dépend :

-    De la longueur du pendule simple

-    De la valeur g du champ de gravitation.

-    Les grandeurs et g sont des paramètres spécifiques.

-    Remarque : la période propre T0 ne dépend pas de la masse m du solide.

-     

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4)- étude énergétique.

-    Considérons le système : S = { Terre – objet – fil – support} .

-    Si l’on néglige la résistance de l’air, ce système est isolé du point de vu énergétique (il n’échange pas de travail, ni de chaleur avec le milieu extérieur).

-    Son énergie mécanique se conserve, elle reste constante.

-    EM = EP + EC = cte

-    énergie cinétique : dans le référentiel terrestre le mobile se déplace à la vitesse :

-     

-    Energie potentielle : l’altitude du centre d’inertie de l’objet varie au cours du temps.

-    L’énergie potentielle du système S varie au cours du temps : EP = m . g . h + cte.

-    En adoptant comme niveau de référence, le plan horizontal contenant la position d’équilibre du point G de l’objet.

-     

-    Durant les oscillations, il y a transformation mutuelle d’énergie cinétique en énergie potentielle.

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III- Oscillations libres amorties.

1)- Amortissement fluide.

-    Les oscillations d’un pendule élastique ou d’un pendule simple s’amortissent et finissent toujours par disparaître.

-    Il y a toujours des frottements.

-    Les frottements dus à l’air (à un gaz ou à un fluide) sont des frottements fluides qui produisent un amortissement fluide.

-    Lorsque l’amortissement n’est pas trop important, le mouvement est dit pseudo-périodique :≈ T0 mais T > T0.

 

oscillations libres non amorties.

Régime périodique

oscillations libres peu amorties : R < RC

Régime pseudo-périodique :

ω < ωet  ω ≈ ω0

  

oscillations libres amorties :  R < RC.

Régime ‘’pseudo-périodique’’,

mais :  ω < ω

 

 

Régime critique : R = RC

 

Régime apériodique : R > RC

 

Régime apériodique : R >> RC

 

Simulation avec le tableur Excel

-    La durée au bout de laquelle les oscillations ont pratiquement disparus est donnée par la relation : Δt = Q . T0.

-    Q représente le coefficient de qualité caractéristique de l’oscillateur.

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2)- Amortissement solide.

-    L’amplitude des oscillations décroît linéairement au cours du temps.

-    Si l’amortissement est trop grand, on n’observe plus d’oscillations.

-    Le mouvement n’est plus oscillatoire.

 

 

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