Phys. N° 18 :
Modélisation des

systèmes oscillants.
Exercices.

 

   

 

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I- Exercice 3 page 301

II- Exercice 5 page 301

III- Exercice 7 page 302

IV- Exercice 11 page 303

  

I- Exercice 3 page 301

 Énoncé :

 À l’instant t = 0, le centre d’inertie d’un oscillateur élastique non

amorti de masse m = 0,20 kg et de constante de raideur k = 50 N / m, a

pour abscisse x0 = 0 et est propulsé avec une vitesse initiale

v0x = 2,0 m / s.

 Il est ensuite animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal d’équation

horaire :

 x = xm cos (ω0 t + φ)

1)- Calculer numériquement la pulsation et la période.

2)- Donner :

a)-  L’expression de la vitesse en fonction du temps,

b)-  L’amplitude et la phase à l’origine des dates.

3)-  calculer l’énergie mécanique de l’oscillateur.

-    Comparer l’énergie cinétique maximale à l’énergie potentielle maximale.

Solution :

4)- pulsation et la période.

-    L’équation horaire est du type : x = xm cos (ω0 t + φ) solution de

l’équation différentielle :

-     

5)- Donner :

a)-  expression de la vitesse en fonction du temps

-     

b)-  amplitude et la phase à l’origine des dates.

-     

-     

6)-  énergie mécanique de l’oscillateur.

-     

-    Comparer l’énergie cinétique maximale à l’énergie potentielle maximale.

-     

 

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II- Exercice 5 page 301

 Énoncé :

 Les armatures d’un condensateur chargé sont reliées à une bobine

d’inductance L dont l’on néglige la résistance. À l’instant pris comme

origine des dates, on ferme l’interrupteur K. L’intensité i(t) du courant

dans le circuit est comptée positivement dans le sens indiqué sur le

schéma. On note q (t) la charge de l’armature reliée au point A :

à l’instant  t = 0, cette armature est chargée positivement sous

la tension U.

1)-  

a)-  en utilisant la loi des tensions, établir l’équation différentielle

donnant les oscillations de la charge du condensateur.

b)-  pour U = 20 V, C = 2,5 μF et L = 25 mH, montrer que la solution  

q = 5,0 x 10 – 5 cos (4000 t) convient.

2)- Retrouver l’équation différentielle précédente à partir du principe de

conservation de l’énergie.

 

Solution :

3)-  

a)-  équation différentielle donnant les oscillations de la charge du

condensateur.

-   

b)-  la solution q = 5,0 x 10 – 5 cos (4000 t) convient.

-     

4)- équation différentielle précédente à partir du principe de

conservation de l’énergie.

-     

 

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III- Exercice 7 page 302

 

Énoncé :

1)- expression littérale de la pulsation ω0.

-     

2)- équation différentielle avec frottements

-     

-     

-    Nous sommes en présence d’un oscillateur libre amorti.

-    Suivant la valeur du terme 2. λ, le régime peut être

pseudo-périodique, critique ou apériodique.

3)-   Étude énergétique :

a)-  expression de l’énergie mécanique :

-     

b)-  Relation entre la dérivée de l’énergie et la puissance :

-     

-    Le travail des forces de frottements est transféré

vers le milieu extérieur sous forme de chaleur,

le système perd de l’énergie.

 

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IV- Exercice 11 page 303

Énoncé :

 

1)- Conditions initiales : Détermination graphique :

-    Schéma :

 

-    x0 = 1,0 cm,

-    v0 = 0,0 m/s (le solide est lâché sans vitesse initiale)

-    période du mouvement : T ≈ 0,80 s et ω ≈ 7,85 rad / s

2)- Étude du mouvement :

a)-  Schéma à l’instant t.

 

b)-  Équation différentielle :

-    L’amplitude des oscillations étant constante,

les frottements sont négligeables.

-     

c)-  Équation du mouvement :

-    L’équation du mouvement est du type :

-     

-     

-     

 

 

 

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