Phys. N° 18 :
Modélisation des

systèmes oscillants
Cours

   

 

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I- Oscillations libres sinusoïdales.

1)- L’oscillateur mécanique linéaire.

2)- L’oscillateur électrique linéaire.

3)- Solutions des équations différentielles.

II- Les oscillateurs libres amortis.

1)- Oscillateur mécanique amorti.

2)- Oscillateur électrique amorti.

3)- Conclusions.

4)- Application : exercice 7 page 303.

III- Entretien et naissance des oscillations.

1)- Oscillateur électrique à résistance négative.

2)- Entretien des oscillations.

3)- Amorçage des oscillations.

4)- Modèle de Van Der Pol.

5)- L’effet Larsen.

IV- Application :  Correction

1)- Exercice 3 page 301.

2)- Exercice 5 page 301.

3)- Exercice 7 page 303

4)- Exercice 11 page 303.

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I- Oscillations libres sinusoïdales.

1)- L’oscillateur mécanique linéaire.

a)-  Dispositif expérimental.

 

-    Écarté de sa position d’équilibre et abandonné à lui-même, le solide S, en translation effectue des oscillations libres.

-    Le mobile S se déplace sur coussin d’air et on peut considérer que les frottements sont négligeables.

-    Le système  {support - ressort - solide} constitue un oscillateur libre.

-    L’étude de la variation de l’élongation x en fonction du temps t, x = f (t), montre que les oscillations sont sinusoïdales.

-    Étude à l’équilibre :

-    Quelles sont les actions mécaniques que subit le mobile S ?

 

-    Le ressort a sa longueur naturelle, il n’est ni comprimé, ni tendu :

-     

 Étude lors des oscillations.

-    On écarte le mobile de sa position d’équilibre et on le laisse osciller librement.

-    Quelles sont les oscillations mécaniques que subit le mobile S ?

-    Pour ce faire, on représente le mobile à un instant t quelconque.

 

-    Bilan des forces :

-    Le mobile est soumis à son poids :

-    À la réaction du support : (qui est perpendiculaire au support car les frottements sont négligeables)

-    Et à la tension du ressort qui est une force de rappel :

  

-    Le repère choisi : O représente la projection de G à l’équilibre sur l’axe x’Ox et M représente la projection de G à l’instant t.

-    Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on peut appliquer le théorème du centre d’inertie :

-     

b)-  équation différentielle.

-    Projetons la relations sur l’axe x’Ox :

-     

-    Le mouvement de l’oscillateur élastique libre non amorti vérifie cette équation différentielle.

-    On parle d’oscillateur harmonique.

-    Remarque : l’équation différentielle se présente comme une relation du premier degré entre la fonction de x (t) et certaines de ses dérivées.

-    Cette équation différentielle est qualifiée de linéaire car elle présente cette propriété (oscillateur linéaire).

-    Exemple :

-   

c)-  Étude énergétique.

-    Le système { Solide ; ressort } est un système isolé conservatif dont l’énergie mécanique est constante.

-    

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2)- L’oscillateur électrique linéaire.

a)-  Dispositif expérimental.

-    Considérons un oscillateur électrique idéal constitué : d’un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L.

 

b)-  Équation différentielle.

-    On oriente le circuit.

-    On suppose qu’au temps t le courant circule de A vers B et on applique la loi des tensions.

-    

c)-  étude énergétique.

-    En l’absence de résistance, l’énergie électromagnétique du système condensateur, bobine se conserve :

-     

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3)- Solutions des équations différentielles.

a)-  Analogies entre oscillateurs mécaniques et électriques.

-     

-    Formule générale : , ω0 dépend des paramètres propres de l’oscillateur.

b)-  Solution.

-    Cette équation différentielle admet pour solution générale une fonction de la forme :

-    z = zm cos (ω . t + φ)

-    Pulsation propre ω0,

-    Période propre :

-    ,

-    Fréquence propre :

-    ,

-    Amplitude zm,

-    Phase à l’origine des dates φ.

-    La détermination des constantes d’intégration zm et φ nécessite la connaissance des conditions initiales.

-    Vérification :

-     

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II- Les oscillateurs libres amortis.

1)- Oscillateur mécanique amorti.

a)-  Dispositif.

 

-    On considère le cas particulier des frottements visqueux (frottements fluides).

-    Ces frottements peuvent être modélisés par une force  de frottement qui a deux propriétés :

-    Elle a même direction que le vecteur vitesse mais son sens est opposé.

-    Sa valeur est proportionnelle à la valeur de la vitesse

-    Formule :

-    h est une constante qui dépend des caractéristiques du fluide et de la forme du mobile.

b)-  Équation différentielle.

    

-    Le repère choisi : O représente la projection de G à l’équilibre sur l’axe x’Ox et M représente la projection de G à l’instant t.

-    Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on peut appliquer le théorème du centre d’inertie :

-      Bilan des forces :

-    Le mobile est soumis à son poids :

-    À la réaction du support : (qui est perpendiculaire au support car les frottements sont négligeables)

-    À la tension du ressort qui est une force de rappel :

-    Et à la force de frottements :

 Le repère choisi : O représente la projection de G à l’équilibre sur l’axe x’Ox et M représente la projection de G à l’instant t.

-    Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on peut appliquer le théorème du centre d’inertie :

-     

-    Projetons la relations sur l’axe x’Ox :

-     

-    Par rapport à l’oscillateur non amorti, il apparaît le terme  traduisant l’amortissement.

-    Ce terme met en jeu la dérivée première de la fonction x (t).

c)-  Étude énergétique.

-    

-    Car le vecteur vitesse et le vecteur force ont des sens opposés.

-    L’oscillateur cède de l’énergie au milieu extérieur.

-    Cette puissance dissipée est égale à celle des forces de frottement dissipée sous forme de chaleur.

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2)- Oscillateur électrique amorti.

a)-  Dispositif.

 

b)-  Équation différentielle.

-    On oriente le circuit.

-    On suppose qu’au temps t le courant circule de A vers B et on applique la loi des tensions.

-    

-    Remarque : le terme supplémentaire  est lié à l’amortissement.

c)-  Étude énergétique.

-    

-    Le circuit cède de l’énergie au milieu extérieur.

-    Cette expression représente la puissance dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique de résistance R.

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3)- Conclusions.

-    Les oscillateurs amortis sont caractérisés par une équation différentielle de la forme : .

-    terme responsable de l’amortissement.

-    Les coefficients λ et ω0 sont des constantes caractéristiques.

-    Nous sommes en présence d’une équation différentielle linéaire.

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4)- Application : exercice 7 page 303.

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III- Entretien et naissance des oscillations.

1)- Oscillateur électrique à résistance négative.

-    Montage :

 

Montage équivalent :

 

 

-    Équation différentielle :

-    On oriente le circuit. On suppose qu’au temps t le courant circule de P vers B et on applique la loi des tensions.

 

 

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2)- Entretien des oscillations.

-    Si on ajuste la valeur de R0 de telle sorte que R0 = R résistance du circuit, cela revient à annuler le terme responsable de l’amortissement.

-   On obtient des oscillations non amorties de pulsation :

-     

-    Il est très difficile et pratiquement impossible de régler R0 de telle façon que : R0 = R .

-    Soit R0 est légèrement supérieur à R, soit, R0 est légèrement inférieur à R.

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3)- Amorçage des oscillations.

-    Équation différentielle :

-     

-    Pour amorcer les oscillations, il faut que R0 > R.

-    En conséquence :

-     

-    Le système oscillant reçoit de l’énergie et l’amplitude des oscillations croît de façon exponentielle.

-    L’amplitude des oscillations est limitée par le comportement non linéaire de l’amplificateur opérationnel.

-    Courbe caractéristique du dipôle à résistance négative : visualisation à l’oscilloscope.

-    Montage :

 

 

 

-    À la voie YA, on visualise uAN = R . i et à la voie YB, on visualise uPN.

-    L’oscilloscope est utilisé en mode X Y.

 

-    Il découle de la caractéristique que lorsque A.O fonctionne en régime linéaire :

-     

-    Avec l’orientation choisie, l’oscilloscope permet de visualiser les variations de la tension uPN en fonction de i, ceci à une constante près.

 

-     

-    L’amplificateur opérationnel ne fonctionne pas en régime linéaire, mais en régime de saturation.

-     L’amplitude de la tension uPN est limitée par le comportement non linéaire de A.O.

-    Il découle de ceci que l’amplitude des oscillations est limitée par le comportement non linéaire de A.O.

-    En conséquence, pour stabiliser les amplitudes des oscillations, il faut utiliser un dispositif non linéaire.

-    Le coefficient   doit prendre des valeurs périodiquement positives ou négatives.

-    Le régime est non linéaire et les oscillations ne sont pas sinusoïdales.

-    Remarque : si R0 >> R, on obtient des oscillations qui se rapprochent de plus en plus des oscillations de relaxation.

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4)- Modèle de Van Der Pol.

-    Van Der Pol a proposé une équation différentielle non linéaire qui permet d’expliquer la stabilisation des oscillations.

-     

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5)- L’effet Larsen.

-    Schéma :

 

-    Première étape : le microphone capte un son parasite, il fournit une tension e à l’entrée de l’amplificateur.

-    L’amplificateur transmet la tension e x A au H.P (A  facteur d’amplification de l’amplificateur).

-    Deuxième étape : le microphone capte le son émis par le H.P et fournit une tension proportionnelle à  e x A. Il fournit la tension : β x ( e x A ).

-    L’amplificateur transmet la tension  A.{β x (e x A)}. au H.P.

-    Et ainsi de suite. À chaque boucle, la tension parasite e  est multipliée par A x β.

-    Il suffit que le produit A x β soit légèrement supérieur à 1 pour que le parasite initial se transforme en un bruit très désagréable et très fort c’est l’effet Larsen.

-    Ce phénomène est limité par la saturation de l’amplificateur.

-    L’effet Larsen est dû à la mise en auto-oscillation par réinjection par le microphone, à l’entrée de la chaîne, d’une partie du signal de sortie du H.P. Il s’agit de réaction positive.

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IV- Application :     Correction

1)- Exercice 3 page 301.

2)- Exercice 5 page 301.

3)- Exercice 7 page 303

4)- Exercice 11 page 303.

 

 

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