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Pondichéry 2003

 Mise en orbite

d'un satellite artificiel

par la fusée Ariane ( 6 points )

 

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Mise en orbite d'un satellite artificiel par la fusée Ariane (6 points)

D’après Encyclopædia Universalis (1998).

(Certains renseignements et données sont nécessaires à la résolution du sujet).

Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de 47,4 m et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.

 Le premier étage, qui fonctionne pendant 145 s est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés par du peroxyde d'azote N2O4 (masse de peroxyde emportée :  147 tonnes).

L'intensité de la force de poussée totale  de ces 4 moteurs est constante pendant leur fonctionnement : elle vaut F = 2445 kN.

Le lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite de 4850 kg ; 

Il peut également placer en orbite géostationnaire un satellite de 965 kg ; 

Il peut être aussi utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des satellites très utiles pour les applications météorologiques.

1)- L'ascension de la fusée Ariane :

Le champ de pesanteur est supposé uniforme : g0 = 9,8 m/s².

On choisit un axe Oz vertical vers le haut.

On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

a)-  Représenter sur un schéma en les nommant les deux forces qui agissent sur la fusée Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement.

On néglige les frottements et la poussée d'Archimède.

-    Schéma :

 

b)-  A un instant quelconque, la masse de la fusée est m. Déterminer en fonction de m et des intensités des deux forces précédentes la valeur de l'accélération a.

-    Intensité des deux forces :

-    Le poids de la fusée :

-     

-    Le théorème du centre d’inertie appliquée à la fusée par rapport à un référentiel galiléen (deuxième loi de Newton) :

-    Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie.

-    On écrit :

-     

-    (2)

-    On travaille dans le repère lié au référentiel d’étude.

-    On projette la relation (2) sur l’axe Oz :

-     

c)-  On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m1.

Calculer la valeur numérique de l'accélération a à cet instant.

On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne soit consommé.

La masse de la fusée vaut alors m2.

Calculer la valeur numérique de m2  puis celle de l'accélération a2  à cet instant.

Le mouvement de la fusée est-il uniformément accéléré ?

-    Accélération au décollage :

-     

-    Masse de la fusée lorsque tout le peroxyde d’azote est consommé :

-     

-    Accélération de la fusée :

-     

-    Au cours du temps, l’accélération varie, elle augmente.

-    Elle n’est pas constante.

-    Le mouvement de la fusée n’est pas uniformément accéléré.

d)-  La vitesse d'éjection des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par la relation :

 

est la variation de la masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation des moteurs.

Vérifier l'unité de Ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de Ve.

Quel est le signe de ? En déduire le sens de . Qu'en pensez-vous ?

A l'aide d'une loi connue que l'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée vers le haut.

-    Analyse dimensionnelle :

-     

-    Valeur numérique de Ve. : la masse de la fusée diminue de 147,5 tonnes en 145 s.

-     

-    signe de  : Au cours du mouvement de la fusée, la masse de celle-ci diminue et le temps s’écoule :

-    En conséquence :

-    Le sens de  : Les vecteurs et   ont même direction et des sens opposés.

-    C’est grâce à l’éjection des gaz que la fusée peut d’élever.

-    Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques.

-    Soient deux corps A (la fusée) et B (gaz éjectés). A est situé au point O et B est situé au point P.

-    Lorsqu’un corps A exerce sur un corps B une action mécanique représentée par le vecteur force localisée en P.

-    Le corps B exerce sur un corps A une action mécanique représentée par le vecteur force localisée en O.

-    Les forces  et ont même support et .

-    Remarque : cette propriété est toujours vraie, que les corps soient au repos ou en mouvement.

 

2)- Étude du satellite situé à basse altitude (h = 200 km)

on s'intéresse au mouvement d'un satellite S, de masse m1, en orbite circulaire ( rayon r) autour de la terre de masse MT, de rayon RT et de centre O.

On suppose que la terre est une sphère et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie sphérique et que le satellite est assimilé à un point.

a)-  Préciser les caractéristiques du vecteur accélération  d'un point animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.

-    caractéristiques du vecteur accélération  :

-    Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-     

-    L’accélération est radiale et centripète.

-    Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.

-    Schéma :

 

b)-  Énoncer la loi de gravitation universelle. On appelle G la constante de gravitation universelle.

Faire un schéma sur lequel les vecteurs forces sont représentés.

Loi de Gravitation Universelle :

-    Deux corps ponctuels A et B de masses respectives mA et mB exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction,  directement opposées, dirigées suivant la droite (AB), de valeur proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance r.

-    Schéma :

-    Expression vectorielle :

-     

c)-  Le satellite est à l'altitude h tel que r = RT + h.

On appelle la force qu'exerce la terre sur le satellite.

Cette force dépend de la position du satellite et on pose .

On note g (h) l'intensité de la pesanteur à l'endroit où se trouve le satellite : 

 

Exprimer g (h) en fonction de MT, R T, G et h puis en fonction de RT, h et g 0.

-    Expression de g(h) en fonction de M T, R T, G et h :

 

-     

-     

-    Et enfin :

-     

d)-  Appliquer la deuxième loi de Newton au satellite en orbite circulaire.

En déduire l'expression de la vitesse vS du satellite en fonction de g0, RT et h puis celle de sa période TS.

-    Deuxième loi de Newton appliquée au satellite :

-    Dans le référentiel géocentrique, on applique la deuxième loi de Newton :

-     

-    Pour simplifier l’étude, on travaille dans le repère de Frenet :

 

-    On remarque que .

-    L’expression de l’accélération dans ce repère :

-    Expression de la vitesse v S du satellite :

-     

-     

-    Période de révolution : Durée pour effectuer un tour.

-     

e)-  Application numérique : g0 = 9,8 m / s² ; h = 200 km et RT = 6400 km. Calculer vS et TS.

-    Valeur de vS :

-     

-    Valeur de TS :

-