Antilles 2011 :

Bac Sciences Physiques

Exercice 2 : Pile au Lithium

et supercondensateur (5,5 pts)

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Exercice N° 02 : Pile au lithium et supercondensateur (5,5 pts)

1. PARTIE 1 : Accumulateur au Lithium

2. PARTIE 2 : Le Supercondensateur

Exercice N° 02 : Pile au lithium et supercondensateur (5,5 pts)

Un sondage réalisé en ligne auprès de 1873 personnes du 22 au 27

septembre 2010, révèle que 65% des français seraient prêts à acheter

une voiture électrique et ce pourcentage atteint même 72% si l’on

considère la tranche des 25-34 ans.

Ce sondage s'intéresse également à l'échéance d'achat. Il souligne une

donnée importante : 64% des personnes interrogées sont prêtes à

acheter un véhicule électrique d'ici 5 à 10 ans !

Cependant, la première raison qui bloque les Français à opter pour la

voiture électrique est le nombre encore insuffisant de bornes de

recharge (92% des personnes interrogées).

Dans ce contexte, les constructeurs doivent donc en priorité gérer le

délicat problème du stockage de l'énergie électrique de leurs véhicules.

Aujourd'hui deux grandes tendances semblent se dessiner : l'utilisation

de batteries au lithium et celle de supercondensateurs.

 

Nous nous proposons d'étudier ces 2 technologies.

 Les deux parties sont indépendantes

1.  PARTIE 1 : Accumulateur au Lithium

Un accumulateur est un système chimique qui fonctionne comme une

pile (générateur), lorsqu'il se décharge et qui a la possibilité d'être

rechargé comme une batterie de voiture classique (d'où le nom impropre

de « pile rechargeable ») ; il se comporte alors comme un récepteur.

Les recherches actuelles pour les véhicules électriques tendent à utiliser

des accumulateurs « Li-ion » dans lesquels l'élément lithium est apporté

sous forme ionique par le composé LiFePO4. La tension de

fonctionnement de ces accumulateurs est de l'ordre de UPN = 3,3 V.

Leur temps de recharge a été considérablement diminué mais reste

malgré tout encore environ de trois heures.

 

1.1. On s'intéresse d'abord à la «recharge» de l'accumulateur sur lequel

le fabriquant a indiqué une quantité d'électricité Q = 4,32 kC.

1.1.1. Après avoir donné les expressions littérales, déterminer la valeur

de l'intensité du courant nécessaire à cette recharge, si elle s'effectuait

pendant une durée Δt = 20 s.

-  Valeur de l'intensité du courant nécessaire à cette recharge

-  En considérant que cette intensité est constante par rapport

au temps au cours de la recharge :

-   

1.1.2. Les valeurs d'intensité de courant usuellement utilisées au

laboratoire permettraient-elles une durée de recharge aussi courte ?

-  Les valeurs d'intensité de courant usuellement utilisées

au laboratoire ne permettent pas une durée de charge

aussi courte.

-  Il faut une installation électrique adaptée qui peut débiter

plus de 200 A.

-  Les habitations courantes peuvent débiter jusqu’à 60 A

suivant le contrat EDF.

 

-  Pour un abonnement pouvant débiter plus de 250 A,

il faut une fourniture d’électricité en haute tension et

un abonnement entreprise.

1.2. On s'intéresse maintenant à la «décharge» de l'accumulateur.

1.2.1. L'ion lithium appartient au couple Li + (aq) / Li (aq) et constitue

la borne positive de l'accumulateur.

Écrire l'équation de la réaction qui se produit à cette électrode, et

donner le nom de cette électrode.

-  Équation de la réaction qui se produit à cette électrode

-  On est en présence d’un accumulateur qui débite du courant :

-  À la borne plus de l’accumulateur, les électrons arrivent et

ils sont consommés au cours d’une réaction chimique :

Li+ (aq)  +  e  =   Li (aq)

-  C’est une réduction :

-  Nom de l’électrode : Cathode.

1.2.2. La transformation qui se produit dans la pile est-elle spontanée

ou forcée ?

(La nature de cette transformation n'est pas demandée).

Au cours du fonctionnement de la pile le quotient de réaction est-il

supérieur ou inférieur à la constante d'équilibre de la réaction qui a lieu

au sein de l'accumulateur ?

-  La transformation qui se produit dans la pile est spontanée.

-  Le quotient de réaction initial Q r, i est inférieur à la

constante d’équilibre K, soit Q r, i < K, le système chimique

évolue spontanément vers un état d’équilibre.

-  Il évolue dans le sens direct de l’écriture de l’équation

de la réaction et le quotient de réaction augmente au cours

de la réaction

-  Au cours du fonctionnement de la pile le quotient de

réaction est inférieur à la constante d'équilibre de la réaction

qui a lieu au sein de l'accumulateur.

 

1.2.3. En considérant la décharge totale de l'accumulateur, calculer la

quantité d'ions Li + consommée.

 

 -  Quantité d'ions Li+ consommée :

Équation

Li+ (aq)

 +

e

 =

Li (aq)

État

Avancement

x (mol)

Consommé

Échangé

Obtenu

Au bout

de la

durée Δt

x

x

x

x

 -  Relation entre la quantité de matière d’électrons échangés et

 l’avancement x de la réaction au bout de la durée Δt :

 n (e) = x = n (Li+)

 -  D’autre part : Q = n (e) . F

 -  

 -  Masse de lithium formé :

 (pour utiliser la donnée de la masse molaire du lithium)

 -  m (Li) = n (Li) . M (Li)

 -  m (Li) ≈ 4,48 x 10 – 2 x 7,0

 -  m (Li) ≈ 0,31 g

Données : 1 F = 96500 C : M (Li) = 7,0 g . mol –1

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2. PARTIE 2 : Le Supercondensateur

Le supercondensateur implanté dans un véhicule électrique se

différencie d'un condensateur électrochimique classique par sa capacité

à accumuler une grande quantité d'énergie (par exemple pendant les

phases de freinage et d'accélération).

Ils sont donc capables d'envoyer à un appareil électrique une puissance

élevée pendant un temps court, ce que ne permet pas une batterie.

 Ces supercondensateurs stockent une quantité d'énergie plus faible

qu'une batterie mais ils la restituent plus rapidement.

Ils ont une durée de vie plus longue, peuvent fonctionner dans des

conditions de températures plus extrêmes et sont plus légers, plus

faciles à entreposer et à entretenir.

Ils peuvent se recharger en Δt = 6,0 min.

 

Pour étudier un tel condensateur de capacité C, on le monte dans un

circuit en série avec un conducteur ohmique de résistance R = 1,0 Ω.

On considérera qu'à l'instant t = 0, date de basculement de l'interrupteur

de la position 1 à la position 2, le condensateur est totalement chargé

sous une tension E = 2,5 V.

 

2.1. Rappeler l’expression de la constante de temps τ d'un circuit RC et

montrer, par une analyse dimensionnelle, que τ est homogène à un temps.

-  La constante de temps τ d'un circuit RC

-  Analyse dimensionnelle : τ = RC

-  

-  Le produit R.C = τ est bien homogène à un temps.

2.2. On considère que le condensateur a été totalement chargé après une

durée Δt = 5 t.

En déduire la valeur de t puis celle de la capacité C de ce condensateur.

 Cette valeur de capacité est-elle fréquemment rencontrée au laboratoire ?

Le circuit est orienté dans le sens du courant précisé dans le schéma ci-dessus :

le condensateur et le conducteur ohmique sont alors en convention récepteur.

-  Valeur de t :

-  Donnée : Δt = 6,0 min.

-   

-  Valeur de la capacité C du condensateur :

-   

-  Voila un beau condensateur !!!

 

2.3.  Rappeler la relation qui lie l'intensité i (t) à la dérivée de la charge q (t) par

rapport au temps.

-  Relation qui lie l'intensité i (t) à la dérivée

de la charge q (t) par rapport au temps

-  On considère la partie du circuit qui nous intéresse :

 

-  

 

2.4.  En appliquant la loi des tensions à ce circuit, établir l'équation différentielle

vérifiée par la tension uC (t).

-  Additivité des tensions :

-  uC (t) + uR (t) = 0

-  En convention récepteur la loi d’ohm aux bornes

du conducteur ohmique avec l’orientation choisie

peut s’écrire :

-  uR (t) = R . i

-  Or :

-   

-  Et

-   

-  On tire l’expression suivante :

-   

-  Équation différentielle linéaire du premier ordre

en uC (t), sans deuxième membre.

 

2.5.  La solution de cette équation est de la forme uC (t) = A.e t . β. Déterminer :

2.5.1. L'expression de β ;

-  Expression de β :

-   

-  En remplaçant dans l’expression (1) :

-  uC (t) – R .C . β . uC (t) = 0

-  uC (t) [1 – R .C . β] = 0

-  A.e t . β . [1 – R .C . β] = 0    (2)

-  La relation (2) est vérifiée à chaque instant.

-  β = cte, t et e t . β varient au cours du temps

-  Il faut nécessairement que : [1 – R .C . β] = 0

-  La solution A = 0 n’a pas de signification physique.

-   

2.5.2. L'expression de A ;

-  Au temps t = 0 s, le condensateur est totalement chargé

sous une tension E = 2,5 V.

-  uC (0) = E = 2,5 V

-        En utilisant l’expression donnée :

-  uC (0) = A.e – 0 x β = A = E = 2,5 V

2.5.3. L'expression finale de uC (t).

-  Expression finale de uC (t) :

- 

2.6.  Donner l'expression littérale de i (t) en fonction de E, R et C.

Quel est le sens réel du courant pendant la décharge du condensateur ?

-  Expression littérale de i (t) en fonction de E, R et C :

-   

-  En conséquence, quel que soit t, l’intensité

du courant est négative avec l’orientation arbitraire

choisie au départ sur le circuit.

-  Le courant circule effectivement dans le sens inverse

du sens arbitraire choisi sur le schéma du circuit.

 

 

 

 

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