Métropole 2011 : Bac Sciences Physiques

Exercice 2 : CHUTE VERTICALE

D'UN BOULET (5,5 points)

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Exercice 2 : CHUTE VERTICALE D’UN BOULET (5,5 points)

1. Modélisation par une chute libre.

2. Chute réelle.

Documents de l’exercice 2

 

 Exercice 2 : CHUTE VERTICALE D’UN BOULET (5,5 points)

Selon la légende, Galilée (1564-1642) aurait étudié la chute des corps en lâchant divers objets du sommet de la tour de Pise (Italie). Il y fait référence dans deux ouvrages : Dialogue sur les deux grands systèmes du monde et Discours concernant deux sciences nouvelles dans lesquels il remet notamment en question les idées d'Aristote.

Dans cet exercice, on présente trois courts extraits de ces deux livres.

Il s’agit de retrouver certains résultats avancés par Galilée concernant la chute verticale dans l’air d’un boulet sphérique en fer, lâché sans vitesse initiale.

Pour cette étude, on choisit le référentiel terrestre, supposé galiléen, auquel on adjoint un repère d’espace (Ox) vertical orienté vers le bas (Photo 1).

 

Photo 1

La Tour de Pise

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Donnée :

*  Intensité du champ de pesanteur, supposé uniforme : g = 9,8 m . s –2

1. Modélisation par une chute libre.

1.1. Étude des hauteurs de chute.

Extrait n° 1 :

« Avant tout, il faut considérer que le mouvement des corps lourds n’est pas uniforme : partant du repos, ils accélèrent continuellement (…). Si on définit des temps égaux quelconques, aussi nombreux qu’on veut, et si on suppose que, dans le premier temps, le mobile, partant du repos, a parcouru tel espace, par exemple une aune*, pendant le second temps, il en parcourra trois, puis cinq pendant le troisième (…) et ainsi de suite, selon la suite des nombres impairs ».

* une aune = 1,14 m

 

Le boulet est lâché au point O, d’abscisse x0 = 0 à la date t0 = 0. On suppose l’action de l’air négligeable ; dans ce cas, l’équation horaire du mouvement du centre d’inertie G du boulet est : .

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1.1.1. Soient x1 la distance parcourue au bout de la durée τ, x2 la

distance parcourue au bout de la durée 2 τ et ainsi de suite,

exprimer x1, x2, x3 en fonction de g et de τ.

-  Les différentes expressions de x :

-   

-  

-  

1.1.2. Exprimer la différence h= x1x0 en fonction de g et de τ puis

les différences h= x2x1 et
h= x3x2 en fonction de h1.

-  Les différentes expressions :

-  h= x1x0

-   

-   

-   

1.1.3. Retrouve-t-on la suite des hauteurs de chute annoncée par Galilée

dans l’extrait n°1 ? Justifier.

 

-  On retrouve cette suite dans l’extrait N° 1

-  « …le mobile, partant du repos, a parcouru tel espace,

par exemple une aune*, pendant le second temps,

il en parcourra trois, puis cinq pendant le troisième (…)

et ainsi de suite, selon la suite des nombres impairs ».

-  1, 3, 5, 7, …

1.2.  Étude de la durée de la chute

Les points de vue d’Aristote et de Galilée, au sujet de l’influence de la

masse m du boulet sur la durée totale Δt de sa chute, diffèrent.

Extrait n° 2 :

« Cherchons à savoir combien de temps un boulet, de fer par exemple, met pour arriver sur la Terre d’une hauteur de cent coudées*.

Aristote dit qu’une « boule de fer de cent livres**, tombant de cent coudées, touche terre avant qu’une boule d’une livre ait parcouru une seule coudée », et je vous dis, moi, qu’elles arrivent en même temps.

Des expériences répétées montrent qu’un boulet de cent livres met cinq secondes pour descendre de cent coudées ».   

* une coudée correspond à une distance de 57 cm ;     ** une livre est une unité de masse

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1.2.1. Parmi les propositions ci-dessous, attribuer celle qui correspond à

la théorie d’Aristote et celle qui correspond à la théorie de Galilée :  

a) La durée de chute augmente quand la masse du boulet augmente ;

b) La durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente ;

c) La durée de chute est indépendante de la masse.

-  Théorie d’Aristote :

-  a) La durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente. 

-  Théorie de Galilée :

-  c) La durée de chute est indépendante de la masse.

1.2.2. En utilisant l'expression , calculer la durée Δt de la chute

d’un boulet qui tombe d’une hauteur totale H = 57 m (100 coudées).

 Ce résultat est différent de la valeur annoncée dans l’extrait n° 2.

Proposer une explication à l’écart constaté.

-  Durée Δt de la chute d’un boulet qui tombe d’une hauteur totale H = 57 m

(100 coudées) :

-   

-  Explication :

-  « …qu’un boulet de cent livres met cinq secondes pour descendre de cent

coudées ».

-  Première raison : les forces de frottement.

-  La différence peut provenir du fait que l’on ne tient pas compte des forces de

frottement.

-  On utilise la loi de la chute libre.

-  La chute réelle est plus lente que la chute libre ceci est visible sur la figure 4

(ZOOM).

-  Mais la différence est négligeable de l’ordre de quelques centièmes de seconde.

-  Ce n’est pas cette raison qui peut expliquer la différence de l’ordre de plus

d’une seconde.

 

Cliquer sur l'image pour l'agrandir

-  Deuxième raison : le chronomètre pour la mesure des données.

-  Cette différence provient surtout de la technique de l’époque pour mesurer les

durées (Galilée :1564 – 1642 et Aristote : -384 - 322 av. JC).

-  Le « chronomètre de l’époque de Galilée » n’est pas suffisamment précis pour

étudier la chute des objets. (Pendule simple ou système d'écoulement d'eau à

débit constant en guise de chronomètre)

-  C’est pour cette raison que Galilée préfère étudier le mouvement d’une bille

sur un plan incliné afin de diminuer la vitesse de chute.

-  Expérience du plan incliné en 1604 : l'inclinaison d'un plan sur lequel roule

une bille permet expérimentalement d'augmenter la durée d'une chute, et donc

d'augmenter la précision des mesures au « chronomètre »

-  Pour voir la vidéo de l’expérience :

 https://education.francetv.fr/matiere/physiquechimie/terminale/video/galilee-

l-experience-des-plans-inclines

http://culturesciencesphysique.enslyon.fr/XML/db/csphysique/metadata

/LOM_CSP_VLum.xml#id2812237

-  https://www.bipm.org/fr/about-us/fr/publications/si-brochure/second.html

 

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2. Chute réelle.

Galilée admet plus loin que les deux boules, de masses respectives une

et cent livres, arrivent au sol avec un léger écart.

 

Extrait n° 3 :

« Vous constatez, en faisant l’expérience, que la plus grande précède la plus petite de deux doigts, c’est à dire que quand celle-là frappe le sol, celle-ci s’en trouve encore à deux doigts. Or, derrière ces deux doigts, vous ne retrouverez pas les quatre-vingt-dix-neuf coudées d’Aristote. »

 

On considère que trois forces s’exercent sur un boulet pendant sa chute verticale :

Son poids , la poussée d’Archimède  et la force de frottement .

La norme de la force de frottement a pour expression :

v est la vitesse du centre d’inertie du boulet, R est le rayon du boulet et C est

une constante sans unité.

Données : 

*  Masse volumique de l’air : ρair = 1,29 kg . m – 3 ;

*  Masse volumique du fer : ρfer = 7,87 x 10 3 kg . m – 3 ;

*  Volume d’une sphère :  .

2.1. Lors de la chute, représenter ces trois forces sur un schéma sans souci

d’échelle.

-  Représentation des différentes forces au temps t :

 

 

ρfer: masse volumique du solide

 

ρair : masse volumique du fluide

 

2.2. Le poids et la poussée d’Archimède sont constants pendant la chute

d’un boulet.

Établir le rapport de leurs expressions et en déduire que la poussée

d’Archimède est négligeable.

-  Le poids et la poussée d’Archimède :

-  

-  La poussée d’Archimède est négligeable

devant le poids de l’objet.

2.3. Étude dynamique

2.3.1. Appliquer la deuxième loi de Newton. Projeter les forces sur

l’axe (Ox) vertical orienté vers le bas (Photo 1).

Déterminer l’expression de la dérivée par rapport au temps de la vitesse .

 

-  Expression de la dérivée par rapport au temps de la vitesse :

-  Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne,

on choisit le repère  avec le vecteur  vertical et orienté

 du haut vers le bas.

-  Bilan des forces : et la force de frottement .

-  On néglige la poussée d’Archimède devant les autres

forces.

-  Deuxième loi de Newton :

-  Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des

forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit

de la masse du

solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie.

On écrit :

-  (2)

-  si on pose : alors :

-  Le théorème du centre d’inertie permet de déterminer le

mouvement du centre d’inertie du solide, à partir de la

connaissance des forces qui agissent.

-  Dans le cas qui nous intéresse :

-  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le

référentiel terrestre l’équation suivante :

-  

-  En négligeant la poussée d’Archimède devant les autres forces :

-  

-  

-  

2.3.2. En déduire que l’expression de la vitesse limite v est : .

-  Expression de la vitesse limite v :

-  Lorsque la vitesse limite est atteinte,

-    

2.3.3. Vérifier, en effectuant une analyse dimensionnelle, que

l'expression de v est bien homogène à une vitesse.

-  Expression homogène à une vitesse :

-  [v] = (m / s) (Traduction de cette écriture :

l’unité de vitesse est le mètre par seconde)

-  [R] = (m)

-  [g] = (m . s –2)

-   

-  L’unité de l’expression est bien homogène à une vitesse.

2.4. On considère deux boulets sphériques B1 et B2 en fer de masses

respectives m= 1 livre et m2 = 100 livres et de rayons respectifs

R1 = 2,2 cm et R2 = 10,1 cm.

On note v 1ℓ et v 2ℓ les vitesses limites respectives des boulets B1

et B2.

Exprimer le rapport en fonction des seuls rayons R1 et R2 et en

déduire le boulet qui a la vitesse limite la plus élevée.

-  Expression le rapport  :

-   

-   

-   

-  Boulet qui a la vitesse la plus élevée :

-  Le boulet B2 a une vitesse limite plus

élevée que le boulet B1.

2.5. Un logiciel permet de simuler les évolutions de la vitesse v (t)

(figure 2) et de la position x (t) du boulet pendant sa chute (figure 3 et

zoom de la figure 3 sur la figure 4).

Ces courbes sont obtenues pour les trois situations suivantes :

-  La chute du boulet B1 dans l’air (courbes c et c’),

-  La chute du boulet B2 dans l’air (courbes b et b’),

-  La chute libre (courbes a et a’).

2.5.1. Expliquer l’attribution des courbes b et c aux boulets B1 et B2.

-  Étude des différentes courbes :

-  Analyse de la figure 2 :

-  La courbe (a) est une portion de droite passant par l’origine.

Elle Traduit une chute libre.

-  Les courbes (b) et (c) représentent la chute de boulets dans l’air.

On dénote la présence de forces de frottement.

-  Dans un premier temps, la vitesse augmente puis atteint une

valeur limite v.

-  La courbe (b) correspond au boulet B2

car sa vitesse limite (v ≈ 200 m / s) est supérieure à celle du boulet B1.

-  La courbe (c) correspond au boulet B1

car sa vitesse limite (v ≈ 100 m / s) est inférieure à celle du boulet B2.

2.5.2. La hauteur de chute est de 57 m. Déterminer graphiquement la

date tsol à laquelle le premier boulet touche le sol. S’agit-il de B1 ou de B?

 

-  Date tsol à laquelle le premier boulet touche le sol :


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Δt s

Distances

sur la

figure cm

 

0,10

8,42

Δt1

6,37

t ≈ 3,35 + 0,076

t ≈ 3,43 s

-  Il s’agit du boulet B2, le boulet B1 touche le sol plus tard

au temps t’ > t.

2.5.3. À quelle distance du sol se trouve l’autre boulet à cette date ? Ce résultat

est-il en accord avec l’extrait n° 3 ?

-  Distance d du sol du boulet B1 à la date :

-  Le boulet B1 à la date se trouve à d = 1,0 m du sol.

-  Quand le boulet B2 a parcouru 57,0 m (lorsqu’il touche le sol),

-  Le B1 lui a parcouru 56,0 m.


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-  L’extrait n° 3 :

« … la plus grande précède la plus petite de deux doigts,… »

-  Le résultat trouvé n’est pas en accord avec l’extrait n° 3 :

-  La distance de deux doigts est plus petite que 1,0 m.

 

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 Documents de l’exercice 2

  

 

 

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