Bac Blanc

Avril 2003

Énoncé :

Exercice I :

Chute dans un fluide.

Correction

 

TP Chute d'une bille dans l'huile
TP Chute verticale dans un fluide

Bille 50 Vidéo

TP Chute dans un fluide

Equation différentielle

 

Énoncé

Pour des billes de faible rayon, on peut admettre que dans un fluide la force de frottement créée  

est opposée au vecteur vitesse .

Si la vitesse de la bille par rapport au fluide est faible, le fluide s’écoule de façon régulière et

continue autour du corps. 

La force  est due au frottement qui apparaît lors de l’écoulement des couches de fluide

l’une sur l’autre. 

Dans ces conditions, la force de frottement de valeur f s’exerçant  sur une sphère de rayon R

est proportionnelle à la vitesse :

 (formule de Stockes),

m étant le coefficient de viscosité cinématique caractéristique du fluide.

 

1)- Faire le bilan des forces qui s’exercent sur une sphère en chute verticale dans un fluide de masse volumique ρf

( la bille a un rayon R et sa masse volumique est ρS ). Faire un schéma de la bille à l’instant t et représenter les actions mécaniques qu’elle subit.

2)- Appliquer la deuxième loi de Newton à la bille pour trouver une équation différentielle liant v(t) à sa dérivée par rapport au temps.

3)- Montrer que la bille peut, avec ce modèle, atteindre une vitesse limite vlim.

En déduire que :  .

4)- Toujours avec ce modèle, on a simulé la chute dans de l’eau (ρeau = 1,0 x 10 3  kg . m – 3 ) d’une bille

de rayon R = 0,54 mm et

de masse volumique  ρ S = 7,8 x 10 3  kg . m – 3

La courbe suivante représente la vitesse de cette chute en fonction du temps.

Courbe :

 

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a)- Que peut-on dire du mouvement de la bille dans l’eau ?

b)-  Déterminer la valeur  de la vitesse limite vlim de la bille dans l’eau.

c)-  Évaluer la valeur  m eau du coefficient de viscosité de l’eau.

5)- Dans l’huile (ρ huile = 8,0 x 10 2  kg . m – 3 ), en pratique, on observe très rapidement une vitesse uniforme de chute de valeur vlim ≈ 2,0 cm / s. 

Calculer la valeur µ  huile du coefficient de viscosité de l’huile.

6)- On définit pour une sphère de rayon R un nombre caractéristique, le nombre de REYNOLDS :

,

 m étant le coefficient de viscosité cinématique caractéristique du fluide.

Si RN < 1 , ce modèle est acceptable. Est-ce le cas dans l’huile et dans l’eau ? Justifier.

Correction

Pour des billes de faible rayon, on peut admettre que dans un fluide la force de frottement créée  

est opposée au vecteur vitesse .

Si la vitesse de la bille par rapport au fluide est faible, le fluide s’écoule de façon régulière et

continue autour du corps. 

La force  est due au frottement qui apparaît lors de l’écoulement des couches de fluide

l’une sur l’autre. 

Dans ces conditions, la force de frottement de valeur f s’exerçant  sur une sphère de rayon R

est proportionnelle à la vitesse :

 (formule de Stockes),

m étant le coefficient de viscosité cinématique caractéristique du fluide.

 

1)- Faire le bilan des forces qui s’exercent sur une sphère en chute verticale dans un fluide de masse volumique ρf

( la bille a un rayon R et sa masse volumique est ρS ). Faire un schéma de la bille à l’instant t et représenter les actions mécaniques qu’elle subit.

-   La bille est soumise

2)- Appliquer la deuxième loi de Newton à la bille pour trouver une équation différentielle liant v(t) à sa dérivée par rapport au temps.

-  On étudie le mouvement de la bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  On choisit le repère  pour étudier le mouvement de la bille.

-  L’axe x’Ox est vertical est orienté de haut en bas.

-  La deuxième loi de Newton appliquée au mouvement de la bille donne la relation vectorielle (1).

-  

En travaillant dans le repère  :

Or :

On tire :

-  On pose vx = v :

-  

3)- Montrer que la bille peut, avec ce modèle, atteindre une vitesse limite vlim.

En déduire que :  .

-  Lorsque la vitesse limite est atteinte,

-  On remplace m par :

-  

4)- Toujours avec ce modèle, on a simulé la chute dans de l’eau (ρeau = 1,0 x 10 3  kg . m – 3 ) d’une bille

de rayon R = 0,54 mm et

de masse volumique  ρ S = 7,8 x 10 3  kg . m – 3

La courbe suivante représente la vitesse de cette chute en fonction du temps.

Courbe :

 

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a)- Que peut-on dire du mouvement de la bille dans l’eau ?

-  Le mouvement de la bille dans l’eau comprend deux phases :

un régime transitoire  au cours de laquelle la vitesse augmente et

-  un régime permanent  où la bille a atteint sa vitesse limite.

b)-  Déterminer la valeur  de la vitesse limite vlim de la bille dans l’eau.

-  Pour connaître la vitesse limite, on utilise le graphique et on trace l’asymptote horizontale :

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-  vlim ≈ 4,3 m / s.

c)-  Évaluer la valeur  m eau du coefficient de viscosité de l’eau.

-  Valeur du coefficient de viscosité de l’eau :

- 

5)- Dans l’huile (ρ huile = 8,0 x 10 2  kg . m – 3 ), en pratique, on observe très rapidement une vitesse uniforme de chute de valeur vlim ≈ 2,0 cm / s. 

Calculer la valeur µ  huile du coefficient de viscosité de l’huile.

-  Coefficient de viscosité de l’huile :

-  

6)- On définit pour une sphère de rayon R un nombre caractéristique, le nombre de REYNOLDS :

,

 m étant le coefficient de viscosité cinématique caractéristique du fluide.

Si RN < 1 , ce modèle est acceptable. Est-ce le cas dans l’huile et dans l’eau ? Justifier.

-  Calcul du nombre de REYNOLDS  pour l’eau :

-  

-  Calcul du nombre de REYNOLDS  pour l’huile :

- 

-  Le modèle est bon pour l’huile mais ne convient pas pour l’eau.