Exercice N° 2

Bac Blanc

décembre 2004

Énoncé

Correction

 

 

Énoncé

Exercice 2 : à la recherche de la Loi de décroissance.

Le phosphore  est radioactif.

Il se désintègre en émettant un électron.

Sa durée de demi-vie est égale à t ½ = 14,3 jours.

1.  La désintégration forme du soufre S.

1.1. établir l’équation de désintégration. Justifier votre réponse.

1.2. Indiquer le type de radioactivité correspondant à cette réaction de désintégration.

2.  On veut étudier l’évolution du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon au cours du temps. 

2.1. Calculer la valeur de la constante radioactive λ en utilisant les unités du Système International.

2.2.   Calculer le nombre N1 de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours

en utilisant l’expression (1).

2.3. Calculer le nombre N (4) de noyaux radioactifs qui restent dans l’échantillon après 4 jours.

3. On renouvelle le calcul précédent au cours du temps en gardant toujours comme intervalle de

temps Δ= 4 jours. On obtient le tableau suivant :

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) x 10 21

10,0

 

 

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,93

 

N(0)

N(4)

N(8)

N(12)

N(16)

N(20)

N(24)

N(28)

N(32)

N(36)

N(40)

N(44)

3.1. Compléter les cases vides du tableau en justifiant les calculs.

3.2. Sur un graphique, représenter l’évolution du nombre N de noyaux radioactifs en fonction du temps t.

3.3. Déterminer à l’aide du graphique la valeur de la constante de temps τ. Justifier votre réponse.

4. Il faut garder un peu d’énergie pour la fin.  On donne :

-  La masse atomique du phosphore 32 : mP = 5,35631 x 10 – 26  kg

-  La masse atomique du soufre formé : mS = 5,35608 x 10 – 26  kg

-  La masse d’un électron  : me = 9,10939 x 10 – 31  kg

-  La célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 x 10 8  m / s.

4.1. Exprimer la variation de masse Δm  pour une désintégration.

4.2. Déterminer la valeur de la perte de masse m de l’échantillon étudié au bout de 44 jours.

4.3. En déduire la valeur de l’énergie libérée Elib en 44 jours.

Exercice 2 : à la recherche de la Loi de décroissance. Correction

Le phosphore  est radioactif.

Il se désintègre en émettant un électron.

Sa durée de demi-vie est égale à t ½ = 14,3 jours.

1.  La désintégration forme du soufre S.

1.1. établir l’équation de désintégration. Justifier votre réponse.

-  Au cours de la désintégration, il y a conservation :

-  Du nombre de nucléons et conservation de la charge globale  

32

P

 

32

S

 

 

0

e

 

 

 

+

 

   15

 

16

 

 

–1

1.2. Indiquer le type de radioactivité correspondant à cette réaction de désintégration.

-  Il s’agit d’une émission β  . Le phosphore 32 possède trop de neutrons. 

-  Un neutron du noyau se transforme en proton et il y a émission  d’un électron.

2.  On veut étudier l’évolution du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon au cours du temps. 

-  On fait l’hypothèse suivante :

-  on considère que la variation  ΔN (t) du nombre de noyaux radioactifs, pendant l’intervalle de temps Δt,

a pour expression :

  ΔN (t) = λ . N (t) . Δt

-  N (t) représente le nombre de noyaux radioactifs au début de l’intervalle de temps considéré.

-  Le nombre de noyaux radioactifs initial de l’échantillon est ;  N (0) = 1,00 x 10 22  (1)

-  Rappel : Relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie t ½  :     

2.1. Calculer la valeur de la constante radioactive λ en utilisant les unités du Système International.

-  Valeur de la constante radioactive :

- 

 

2.2.   Calculer le nombre N1 de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours en utilisant l’expression (1).

-  On utilise l’expression donnée dans l’énoncé : ΔN (t) = - λ . N (t) . Δt  

-  Qui devient :   ΔN (4) = - λ . N (4) . Δt

-  On considère que pendant la durée Δt qui est courte devant la durée de demi-vie, le nombre de noyaux

radioactifs n'a pratiquement pas varié :

-  En conséquence : N (t) = N (4) N (0) 

-  Nombre N1 de noyaux qui se désintègrent pendant les quatre premiers jours

 -  N1 = | ΔN (t) | = | λ . N (t) . Δt |

-  N1 = | ΔN (4) | = | λ . N (4) . Δt |

-  N 1 | λ . N (0) . Δt |

-  

2.3. Calculer le nombre N (4) de noyaux radioactifs qui restent dans l’échantillon après 4 jours.

-  Nombre N (4) de noyaux radioactifs restant dans l’échantillon après 4 jours.  

-  N (4) =N (0) – N 1 

-  N (4) 1,00 x 10 22 1,94 x 10 21

-  N (4) 8,06 x 10 21

3. On renouvelle le calcul précédent au cours du temps en gardant toujours comme intervalle de

temps Δ= 4 jours. On obtient le tableau suivant :

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) x 10 21

10,0

 

 

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,93

 

N(0)

N(4)

N(8)

N(12)

N(16)

N(20)

N(24)

N(28)

N(32)

N(36)

N(40)

N(44)

 

3.1. Compléter les cases vides du tableau en justifiant les calculs.

-  Pour la première case, le calcul a été effectué :  

N (4) 8,06 x 10 21

-  Pour compléter la case suivante, on répète le calcul effectué précédemment :

-  

t (jours)

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

N (t) x 10 21

10,0

8,06

6,50

5,24

4,22

3,40

2,74

2,21

1,78

1,44

1,16

0,934

 

N(0)

N(4)

N(8)

N(12)

N(16)

N(20)

N(24)

N(28)

N(32)

N(36)

N(40)

N(44)

 

3.2. Sur un graphique, représenter l’évolution du nombre N de noyaux radioactifs en fonction du temps t.

-  Graphique :

Complément :

3.3. Déterminer à l’aide du graphique la valeur de la constante de temps τ. Justifier votre réponse.

-  La constante de temps, notée τ est l’inverse de la constante radioactive.

-  On peut obtenir la valeur de la constante de temps τ à partir de la loi de décroissance.

-  Si l’on se place au temps t = 0 :

-  

-  En conséquence, la tangente à la courbe N = f (t)  à l’instant initial rencontre l’axe des abscisses à la date τ.

-  La lecture graphique donne :  τ 20,6 jours

4. Il faut garder un peu d’énergie pour la fin.  On donne :

-  La masse atomique du phosphore 32 : mP = 5,35631 x 10 – 26  kg

-  La masse atomique du soufre formé : mS = 5,35608 x 10 – 26  kg

-  La masse d’un électron  : me = 9,10939 x 10 – 31  kg

-  La célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 x 10 8  m / s.

4.1. Exprimer la variation de masse Δm  pour une désintégration.

-  Variation de masse pour une désintégration :

32

P

 

32

S

 

 

0

e

 

 

 

+

 

   15

 

16

 

 

–1

-  État initial : l’atome de phosphore immobile mP

-  État final :  atome de soufre et électron : mS et me

-  Variation de masse : Δm = (m S + m e) m P

4.2. Déterminer la valeur de la perte de masse m de l’échantillon étudié au bout de 44 jours.

-  Nombre de désintégrations :

-  N = N (0) N (44)

-  Valeur de la perte de masse :

-  m = N . Δm

-  m = [ N (0) N (44) ] . [ (m S + m e) m P ]

-  m = [ 1,00 x 10 22 0,93 x 10 21 ] x [5,35631 x 10 – 26 5,35608 x 10 – 26 9,10939 x 10 – 31]

-  m   1,26 x 10 – 8 kg

4.3. En déduire la valeur de l’énergie libérée Elib en 44 jours.

-  Énergie libérée en 44 jours

-  E lib = | m | c2 

-  Elib 1,26 x 10 – 8 x ( 3,00 x 10 8)2 

-  Elib 1,13 x 10 9 J