Bac Blanc : Exercice 1

Une équation au service

des sciences physiques

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Exercice 1 : Une équation au service des Sciences Physiques (6 points)


L'équation différentielle  (1), (α et β étant des grandeurs constantes), permet de décrire un grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse.

On rappelle que mathématiquement cette équation admet en particulier 2 solutions :

si β ¹ 0 (2) et  si β = 0 avec X0 grandeur constante

 

PARTIE A: DANS LE DOMAINE DES SYSTÈMES ÉLECTRIQUES

 

Cette première partie tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 Ω ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance R = 12 Ω, alimenté par un générateur délivrant une tension continue E = 6,1 V. On réalise expérimentalement le circuit électrique ci-contre. L'évolution des grandeurs variables, tension u (t) et intensité i (t), est obtenue par voie informatique.

 

I- Étude expérimentale

La courbe expérimentale donnant l'évolution de l'intensité i (t), obtenue

par traitement informatique est donnée en ANNEXE, graphique 1.

1)- Quelle tension visualise-t-on à la voie EA0 ?

2)- Quelle tension visualise-t-on à la voie EAl ? Pourquoi peut-on en déduire les variations de l'intensité i (t).

3)- Évaluer graphiquement la durée du régime transitoire. Aucune justification n'est demandée.

4)- La grandeur t étant la constante de temps associée au dipôle {bobine-conducteur ohmique} :

5)- Déterminer la valeur de t  à l’aide du graphique avec la méthode de votre choix.

6)- Donner l'expression littérale de τ en fonction des paramètres du circuit.

7)- En déduire l'expression de l'inductance de la bobine et calculer sa valeur.

II- Modèle théorique

1)- En utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i (t).

2)- Par identification avec l'équation (1) vérifier que  et donner l'expression de β.

3)- En déduire l'équation horaire littérale i (t) en fonction de {r, R, L et E}. Montrer que cette solution valide bien l'équation établie en 2.1.

4)- Montrer que cette équation horaire peut s'écrire :.

III- Confrontation des résultats expérimentaux avec le modèle théorique.

On rappelle que   et  e 0 = 1.

1)- On appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). Donner l'expression littérale de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec la valeur expérimentale obtenue ?

2)- Donner l'expression littérale de i (t) à la date t = τ en fonction de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec l'expérience ?

 PARTIE B : DANS LE DOMAINE MÉCANIQUE.

 

L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique ρ  fluide a été exploitée grâce à un logiciel. Les capacités du logiciel permettent ensuite de faire tracer l'évolution de la vitesse du centre d'inertie en fonction du temps, v (t). La courbe expérimentale et modélisée est proposée en ANNEXE, graphique 2.

I- Exploitation de l'équation v (t) modélisée.

L'équation mathématique associée à la courbe modélisée, vérifie  (3),  avec v (t) en m.s -1 et t en s.

Cette équation est identifiable à l'équation (2).

1)- Déterminer la valeur de α et du rapport  . Donner, sans justification, l'unité du rapport  .

2)- Montrer que l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture numérique

3)- Déterminer la valeur de la vitesse limite à l’aide de cette équation numérique. Justifier. Le résultat est-il en accord avec la valeur expérimentale ?

II- Étude du phénomène physique.

1)- Faire l'inventaire des forces appliquées à la bille. Les représenter sur un schéma, en sens et direction appliquée au centre d'inertie G de la bille.

2)- Appliquer au système bille la seconde loi de Newton.

III- Exploitation de la modélisation

La bille ayant servi à réaliser l'étude est une bille d'acier de masse m = 32 g et de volume V. L'accélération de la pesanteur est g = 9,81 m.s-2.

Les forces de frottement qui s'appliquent à la bille ont pour expression  .

1)- En utilisant un axe vertical (Ox) orienté vers le bas, montrer que l'équation différentielle relative à la grandeur variable v (t) vérifie  .

2)- En déduire l'expression littérale des coefficients α et β de l'équation (1).

3)- Quelle serait la valeur du coefficient β si la poussée d'Archimède était nulle ? En utilisant l'équation établie en 1.2., justifier que cette force doit être prise en compte.

Graphique 1 :

 

Graphique 2 :