Exeercice 1

Saut à skis idéal

Correction

Énoncé

 

 

 

I- Exercice 1 :     Saut à skis idéal (4 pts)

À la date t = 0 s, un skieur émerge d’un tremplin à la vitesse vecteur vitesse initiale de valeur 92 km / h, inclinée d’un angle  α = 5 ° sur l’horizontale.

On considère le mouvement du centre d’inertie G du skieur en ne prenant pas en compte les actions de l’air sur le système.

1)- Le skieur est-il en chute libre lorsqu’il a franchi le tremplin ? Pourquoi ?

-  Le système : le skieur ; le référentiel d’étude est le tremplin (référentiel terrestre supposé Galiléen) ;

-  Bilan des forces : le poids du skieur  ; la poussée d’Archimède  ; les forces de frottement .

-  Comme on ne prend pas en compte les actions de l’air sur le système, le skieur est soumis à la seule action de son poids.

-  Par définition, il est en chute libre.

2)- établir les expressions littérales des équations horaires du mouvement de G dans le repère .

-  On applique la deuxième loi de Newton :

-  Énoncé :

Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit :

-   (1)

-  Coordonnées du vecteur accélération :

et

De l’équation (1),

on tire

-  Conditions initiales :

-  Coordonnées du vecteur vitesse. On utilise la relation :

-  

-  On cherche les primitives des équations précédentes.

-  Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

D’après les

conditions

initiales

 

-  Coordonnées du vecteur position. On opère de la même façon :

- 

D’après les

conditions

initiales

3)- En déduire l’équation de la trajectoire.

-  On élimine le temps t entre pour trouver la relation entre x et y : y = f(x).

On déduit

l’équation

 de la

trajectoire

-  La trajectoire de G est une portion de parabole contenue dans un plan vertical contenant le vecteur vitesse vecteur vitesse initiale.

 

4)- Soit K la position de G au moment où le skieur retombe sur la piste. La dénivellation entre O et K est de 40 m.

a)- Calculer la durée tK du saut.

-  durée tK du saut.

-  On connaît la côte z K = 40 m. Il faut résoudre l’équation :

-  

-  On remplace g, v0 et sin α par leurs valeurs respectives et en simplifiant, on obtient l’équation du second degré  :

  4,9 tK2  + 2,23 tK  + 40 = 0.

-  Cette équation admet deux solutions : t 3,09 s et t’’ 2,64 s.

-  Avec l’origine des dates choisie, la bonne solution est : tK 3,09 s.

 

b)-   En déduire la valeur de la coordonnée x K du point K.

-  On utilise le fait que

-  xK = v 0. tK . sin α  =>  xK 25,45 x 3.09  =>  xK 78,6 m 

c)-   Calculer la valeur de la vitesse de G à l’instant où il arrive en K et l’angle de ce vecteur avec l’horizontale.

-      Valeur de la vitesse au point K :

-     

-     

-      Valeur de l’angle αK :

-     

-  La bonne solution est : αK  48 °

5)- En compétition, les valeurs de x K sont supérieurs à 100 m Pourquoi ?

-  En compétition, il se peut que v0 soit plus grand et ou α plus grand aussi ;

-  xK = v0. tK . sin α .

-  D’autre part, il faut tenir compte des actions de l’air sur le skieur : le skieur ‘’plane’’, il s’appuie sur l’air.

Données : valeur du champ de pesanteur : g = 9,8 m / s².