TP MPI  N° 09

Mesure de la valeur

d'une résistance.

Dispersion des valeurs.

Correction.

 

   

 

Énoncé

I -But.

II - Etude préliminaire.

III - Mesures des valeurs d'un échantillon de résistances à l'ohmmètre.

IV - Utilisation du code des couleurs.

V - Mesure d’une résistance avec un seul ohmmètre.

Incertitude due à l’appareil.

VI - Conclusions.

VII - Notions de statistiques descriptives pour une variable

(Se qu'il faut connaître)

 

 

  Matériel :

═►Multimètre (nouveau),

═►fils de connexions pour mesurer les résistances,

═►100 résistances de 1 kΩ , ordinateur (Excel).
═► Fichiers Excel :

TP MPI N° 09 eleves.xlsm

TPMPI09.xlsm à exploiter   ;   TPMPI09cor.xlsm corrigé.

 

I- But :

-  Prendre conscience que l’écart à la moyenne est insuffisant pour décrire la dispersion des valeurs.

-  Introduire la notion d’écart type et de variance.

-  Remarque : La dispersion des valeurs rend compte de la répartition des valeurs par rapport à la valeur moyenne.

II- Étude préliminaire :

1)- Choix de l ‘échantillon.

-  Pour l’étude préliminaire et pour introduire des notions de statistiques, on travaille sur un échantillon d’âges dans un groupe de personnes.

âge ( en années)

39

35

31

72

48

42

18

35

59

39

2)- Terminologie.

-  L’âge est désigné par x. Un âge particulier par xi L’indice i représente le numéro de l’âge dans la liste.

-  Exemple : x1 = 39 ; x5 = 48 ……

-  Le nombre total de valeurs de la liste est n. Ici n  = 10.

3)- Effectif d’une valeur.

-  on appelle effectif  ni le nombre de fois où une valeur x i apparaît dans la liste.

-  Exemple : quelle est l’effectif de la valeur 39 ?

-  La valeur 39 apparaît deux fois ; son effectif est n1 =  2.

4)- Moyenne arithmétique .

-  La moyenne arithmétique est le quotient de la somme des valeurs xi par le nombre n.

-  On écrit :

-  Explication : En mathématique, une somme est représentée par la lettre grecque ( lettre sigma en majuscule).

5)- Écart à la moyenne de chacune des valeurs.

-  Notation : l’écart à la moyenne de chacune des valeurs est notée :

-  Reproduire et compléter le tableau suivant :

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qu’y a-t-il de particulier ?

 

Était-ce prévisible ? Pourquoi ?

 

Les écarts à la moyenne sont des nombres relatifs. On pourrait utiliser les valeurs absolues.

On préfère calculer les carrés des écarts à la moyenne.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

39

35

31

72

48

42

18

35

59

39

41,8

- 2,80

- 6,80

-10,8

30,2

6,20

0,200

- 23,8

- 6,80

17,2

- 2,80

 =SUM(b3:k3) 0,0

Qu’y a-t-il de particulier ?

L’écart à la moyenne est un nombre relatif.

Cette grandeur est positive, négative ou nulle.

Était-ce prévisible ? Pourquoi ?

 La somme des écarts à la moyenne est égale à zéro :  

Les écarts à la moyenne sont des nombres relatifs. On pourrait utiliser les valeurs absolues.

On préfère calculer les carrés des écarts à la moyenne.

7,84

46,2

117

912

38,4

0,040

566

46,2

296

7,84

6)- La variance : var.

-  La variance var est le quotient de la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre n de l’effectif total.

- 

-  Calculer la variance de l’échantillon :  var  ≈  204

7)- L’écart type.

-  L’écart type σ est égal à la racine carrée de la variance.

-  L’écart type caractérise la dispersion des valeurs.

-  Affirmation : En mathématique, on constate que l’intervalle contient plus de la moitié des valeurs de la liste.

Calculer la valeur de l’écart type σ

Calculer les bornes de l’intervalle .

Compter le nombre de valeurs comprises dans cet intervalle. L’affirmation est-elle vérifiée ?

-  Réponses : Valeur de l’écart type  :

-  Intervalle : ] 27,5 ; 56,1 [

-  Nombre de valeurs appartenant à l’intervalle : 39, 35, 31, 48, 42, 35, 39.

-  L’intervalle contient 7 valeurs de la liste qui en comporte 10.

L’affirmation est vérifiée 7 > 5

8)- Représentation par un diagramme en barres ou histogramme.

-  En abscisse, on fait figurer les valeurs de la liste et en ordonnée l’effectif de chaque valeur.

-  On trace un ensemble de segments (ou rectangles) verticaux.

-  Faire apparaître sur le graphique l’abscisse de la moyenne arithmétique et les bornes de l’intervalle .

III- Mesure des valeurs d’un échantillon de résistances avec un ohmmètre.

1)- Matériel et principe.

-  On utilise des ‘’résistances’’ vendues par un fabricant comme des résistances de valeur 1 kΩ  connue à 1 % près. 

-  Elles sont ‘’livrées’’ en bandes de 7, 8 ou 10 que l’on évite de défaire pour réaliser les mesures

-  Les binômes échangent les différentes bandes et  travaillent sur un échantillon de 100 résistances.

-  Par la suite, on va faire une étude statistique des valeurs de la résistance de cet échantillon.

-  Pour effectuer la mesure de la valeur de chaque résistance, on utilise un multimètre transformé en ohmmètre.

2)- Préparation du multimètre.

Configurer le multimètre pour mesurer une résistance dont la valeur est voisine de 1 kΩ

-  Indiquer les étapes suivies : (on utilise les sondes spéciales)

-  Étape 1 :……………………………………………………………………………………………………………

-  Étape 2 :……………………………………………………………………………………………………………

-  Étape 3 :……………………………………………………………………………………………………………

3)- Mesures et saisie des valeurs.

-  Ouvrir le dossier MPI et sur le fichier Excel : TP MPI n° 09 élèves.xls.

-  Le fichier  possède trois feuilles de calcul  et  s’ouvre à la feuille de calcul :  mesures.

Tableau de valeurs : 

Valeurs mesurées :

Remarque : il faut entrer les valeurs en ohms entières pour simplifier.

998

1002

1003

1000

1001

1002

1002

1000

997

998

998

999

1003

1006

1005

1002

1003

1001

999

1001

1003

1005

1005

1006

1000

1001

1001

1002

1004

1001

1002

1002

1004

1006

1004

1000

1001

1003

1005

1002

1003

1003

1002

1002

1002

1003

1001

1004

1004

1004

1005

1004

998

999

999

1000

1001

1000

1003

1002

1000

999

998

999

998

1000

1008

1007

1000

999

1000

996

1000

996

997

998

999

999

1000

1003

1000

1001

1001

1000

1001

1002

1003

1004

1006

1007

1002

1000

1000

1000

1001

1001

998

999

999

997

 

-  Il faut entrer les valeurs mesurées les unes à la suite des autres dans le tableau bleuté (plage A5 : T9). Il faut entrer des valeurs entières.

-  Lorsque le tableau est rempli, il faut déterminer la valeur maximale et la valeur minimale de la résistance de l’échantillon. 

-  On utilise des formules spécifiques qui permettent de simplifier et accélérer le travail.

 

4)- Effectifs des valeurs des résistances de l’échantillon.

-  On travaille dans la feuille de calcul :  ‘’mesures’’

-  Le but de cette étape est de déterminer l’effectif, noté ni de chaque valeur, notée xi de la résistance de l’échantillon.

-  Dans la cellule E11 (jaune) taper la formule : =MAX(A5:T9) puis

-  Dans la cellule E13 (bleue) taper la formule : =MIN(A5:T9) puis

-  À partir de la cellule D17 (verte), faire varier la valeur de R de sa valeur minimale à sa valeur maximale en augmentant d’une unité.

-  Pour déterminer la valeur de l’effectif n i pour chaque valeur x i de R,

-  taper la formule suivante dans la cellule D18 (orange) : =NB.SI($A$5:$T$9;D17) puis 

-  Remarque : pour faire le point, utiliser la combinaison des touches ‘’MAJ + . ‘’ du clavier.

-  Recopier la formule vers la droite pour compléter le tableau : sélectionner la cellule D18 (orange). 

-  Déplacer la souris vers le coin droit en bas de la cellule jusqu’à ce qu’un plus (+) noir apparaisse. 

-  Tout en maintenant le clic gauche, déplacer la souris vers la droite tant que cela est nécessaire.

-  Reproduire le tableau des effectifs des valeurs de l’échantillon.

-  Quelles sont les observations que l’on peut faire ?

 

5)- Moyenne arithmétique des valeurs des résistances de l’échantillon.

-  Calculer la moyenne arithmétique en utilisant l’ensemble des valeurs du tableau bleuté. 

-  Taper la formule suivante dans la cellule F26 (jaune) :  =MOYENNE(A5:T9) puis 

-  Calculer la moyenne arithmétique en utilisant les effectifs.

-  Taper la formule permettant de la calculer dans la cellule F29 (verte)  : =D20/H22 puis 

-  Justifier ce calcul et donner la formule permettant de calculer la moyenne arithmétique

-  à partir des effectifs  des valeurs des résistances de l’échantillon.

 

6)- Variance de l’échantillon des valeurs.

-  On travaille dans la feuille de calcul :  ‘’var’’

-  Relation :

-  Calculer la variance de l'échantillon de valeurs :

-  Première étape : Calculer .

-  Dans la cellule D5 (jaune) , taper la formule : =SOMME(D4:T4) puis 

-  Deuxième étape : Diviser le résultat de la cellule D5 par l'effectif total.

-  Dans la cellule H11 (verte), taper la formule : =D5/H7 puis 

-  Remarque 1 : on peut faire le calcul en une seule étape. Proposer une solution.

-  Remarque 2 : La cellule K11 (blanche) affiche la valeur de la variance de l'échantillon de mesure grâce à une formule interne d'Excel.

-  Comparer les valeurs trouvées dans les cellules K11(blanche) et H11(verte).

7)- Écart type.

-  Calculer l'écart type de l'échantillon de valeurs :

-  Dans la cellule H21 (bleue), taper la formule : =RACINE(H11) puis 

-  Remarque : dans la cellule K21 (blanche), On affiche l'écart type grâce à une formule interne d'Excel,

-  Comparer les valeurs trouvées dans les cellules K21 (blanche) et H21 (bleue).

-  Donner l'encadrement des valeurs de R sachant que  x - σ  < R  < x + σ.

-  Il faut utiliser la feuille de calcul et travailler avec les cellules H28 (rose)  et L28 (orange).

-  Dans la cellule H28 (rose), taper la formule : =H9-H21 puis 

-  Dans la cellule L28 (orange), taper la formule : =H9+H21 puis 

-  Quel est le nombre n, de valeurs de résistance, qui appartient à l’intervalle x - σ  < R  < x + σ ?

-  Quelle conclusion peut-on tirer quant à la dispersion des valeurs de la résistances de l’échantillon ?

8)- Histogramme.

-  On travaille dans la feuille de calcul :  ‘’hist’’

-  Tracer l’histogramme des effectifs en fonction des valeurs de R à l’aide du Tableur.

-  Commenter l'allure de l'histogramme obtenu.

-  Que peut-on dire de la répartition des valeurs de R de l'échantillon ?

fichier complet

IV- Utilisation du code des couleurs.

1)- Les contraintes du fabricant.

-  Le fabricant est tenu de respecter le cahier des charges. 

-  Les conducteurs ohmiques possèdent un anneau de tolérance. 

-  La couleur de cet anneau indique la tolérance sur la valeur de la résistance donnée par les autres anneaux de couleur.

-  Donner l’encadrement des valeurs de R prévu par le fabricant.

2)- Comparaison et conclusion.

-  Comparer cet encadrement avec celui trouvé à la question III- 7) -.

-  Que peut-on dire des deux encadrements ? Le fabricant a-t-il respecté le cahier des charges ?

 

V- Mesure d’une résistance avec un seul ohmmètre. Incertitude due à l’appareil.

1)- Utilisation de la documentation technique du multimètre.

-  Le fabricant d’appareils de mesure est tenu de tester son matériel. 

-  Il donne des indications à l’utilisateur dans une notice technique le plus souvent en termes d’incertitude relative exprimée en %.

-  Chercher dans la documentation technique du multimètre utilisé de quoi compléter le tableau suivant :

Calibre utilisé (ohm)

 

% annoncé de la valeur affichée

 

Nombre de digits ou UR

 

-  Remarque : 

-  Dans ces documentations techniques, on voit des données telles que ± 0,3 % de la valeur lue ± un digit ou Unité de Représentation (UR).

-  Ce ‘’digit’’ ou ‘’UR’’ est une unité qui correspond au dernier chiffre affiché.

-  Exemple : Si la fiche technique annonce 2 UR sur le calibre utilisé et que l’affichage donne : 0.123

-  Cela correspond à une incertitude sur la mesure de ± 0,002.

-  Exemple : sur le calibre utilisé, la fiche technique annonce ± 0,3 % de la valeur lue ± 2 UR.

-  L’affichage donne 0,996. La valeur lue est R lue = 0,996 kΩ.

-  L’incertitude absolue :

-  L’encadrement de la valeur de R : 0,991 Ω  <  R  < 1,001 Ω. 

2)- Mesure de la valeur de la résistance.

-  Utiliser une résistance de 1 kΩ utilisée précédemment (sans l’extraire de la bande).

-  Calculer l’incertitude absolue notée ΔR d’après les renseignements fournis par la documentation.

-  À partir de la mesure effectuée de cette résistance, donner l’encadrement de la valeur R lue autorisé par la notice de l’appareil.

-  Cet encadrement est-il inclus dans celui trouvé préalablement ? Dans celui prévu par le fabricant ?

VI- Conclusions.

Classer les propositions suivantes en facteur positif (P), négatif (N) ou sans influence (O) sur la qualité d’une mesure :

  Une seule mesure est suffisante.

  On n’utilise qu’un seul appareil de mesure.

  On recommence un grand nombre de fois la même mesure avec le même appareil.

  On recommence un grand nombre de fois la même mesure avec des appareils différents.

  On refait la même mesure en changeant de manipulateur.

  On prend l’appareil le plus cher.

  On se fie à la notice du constructeur de l’appareil.

 

-  Conclure sur les conditions d’une « bonne mesure ».

-  Toutes les mesures sont entachées d’erreurs pour diverses raisons examinées dans les 3 cas précédents.

-  Le résultat d’une mesure est généralement plus ou moins sûr.

-  La valeur exacte ou vraie nous demeure inconnue.

-  Afin de préciser numériquement cette incertitude, on écrit, pour la grandeur mesurée A :

- 

Complément : 

VII- Notions de statistique descriptive pour une variable.

1)- Population : c’est l’ensemble étudié. Les éléments de l’ensemble sont appelés unités statistiques.

2)- Échantillon : c’est un sous-ensemble quelconque de la population. Si l’échantillon est prélevé au hasard, c’est un échantillon aléatoire.

3)- Caractère : c’est l’aspect de l’unité statistique auquel on s’intéresse.

Il peut être qualitatif (couleur d’une voiture) ou quantitatif (valeur de la résistance d’un conducteur ohmique) : il se traduit alors par un nombre.

4)- Valeur statistique ou valeur du caractère : la valeur du caractère est sa mesure lorsque l’on a choisi une unité.

On obtient des valeurs de la variable statistique.

5)- Variable discrète : elle ne peut prendre que des valeurs isolées.

On convient d’ordonner ces valeurs dans l’ordre croissant.

6)- Variable continue : elle peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle.

7)- Effectif : l’effectif de xi est le nombre d’observations ni associé à la valeur xi de l’intervalle statistique.

8)- L’effectif total :

9)- Série statistique : c’est l’ensemble des couples ( xi ; ni ). On donne souvent cette série sous forme d’un tableau statistique.

xi

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

 

 

 

 

10)- Fréquence : .

11)- La dominante ou mode : c’est la valeur du caractère la plus fréquente.

12)- La moyenne : c’est le quotient de la somme des mesures par l’effectif total.

-      

13)- La médiane : c’est une valeur de xi  telle que l’effectif des valeurs inférieures à cette valeur est égale à la moitié de l’effectif total.

14)- L’étendue : c’est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs observées.

15)- La variance : elle est égale à la moyenne des carrés diminuée du carré de la moyenne.

- 

-  Formule de Kœnig :

-  Il s’agit d’évaluer les écarts de chaque valeur de xi  à la valeur moyenne .

16)- L’écart-type : C’est la racine carrée de la variance :

-  Si représente la moyenne, σ  l‘écart-type et x une valeur incluse dans l'ensemble de données, alors

-  environ 68 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle :

-  environ 95 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle :
-  Environ 99 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle :