Phys. N° 03

Modèle ondulatoire

de la lumière :

Exercices. Correction.

 

   

 

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Programme 2012 :

Transferts quantiques d'énergie et dualité onde-corpuscule.

Programme 2012 : Physique et Chimie

I - Exercice 15 page 85.

II - Exercice 22 page 86 .

III - Exercice 26 page 87.

IV -Devoir : étude d'une figure de diffraction .

Pour aller plus loin : 

Mots clés : longueur d'onde, période, fréquence, célérité, dispersion, diffraction, lumière, modèle ondulatoire, laser, prisme ...

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I- Exercice 15 page 89.

Une  fente de largeur a = 0,10 mm est éclairée par un rayon laser de longueur d’onde λ = 632,8 nm.

Un écran perpendiculaire à la direction initiale du faisceau, est situé à la distance D = 2,0 m de la fente.

1)- Rappeler la définition de l’écart angulaire θC et calculer sa valeur. Faire un schéma.

2)- Exprimer tan θC en fonction de D et de la demi-largeur   de la tache centrale de diffraction.

3)- Vérifier que l’approximation des petits angles est valable pour l’écart angulaire θC

En déduire l’expression de la largeur L de la tache centrale et calculer sa valeur.

 

Une  fente de largeur a = 0,10 mm est éclairée par un rayon laser de longueur d’onde λ = 632,8 nm.

Un écran perpendiculaire à la direction initiale du faisceau, est situé à la distance D = 2,0 m de la fente.

1)- Rappeler la définition de l’écart angulaire θC et calculer sa valeur.

-   Définition : On appelle écart angulaire θC, l ‘angle sous lequel on voit la moitié de la tache centrale de diffraction.

-   Relation :  

-    Unités : θC en rad, λ  en m et a en m.

-    Schéma :

2)- Exprimer tan θC en fonction de D et de la demi-largeur   de la tache centrale de diffraction.

-          Relation :

3)- Vérifier que l’approximation des petits angles est valable pour l’écart angulaire θC

En déduire l’expression de la largeur L de la tache centrale et calculer sa valeur.

-    Vérification de l’approximation :

-    Pour les petits angles, on peut utiliser l’approximation suivante tan θC θC (rad)

-    La relation (1) permet de déterminer la valeur de θC :

-   

-    valeur de tan θC :  

-    tan θC tan (6,33 x 10 3)

tan θC 6,33 x 10 3 rad

-    On peut faire l’approximation dans le cas présent :

-  

-   Largeur de la tache centrale :

-    

 

 

 

II- Exercice 22 page 86.

Un pinceau de lumière arrive sous incidence i, sur la face AB d’un prisme d’angle au sommet A égal à 50 °. 

Le trajet suivi par la lumière est représenté ci-dessous.

1)- Calculer la déviation D subie par le pinceau incident à sa sortie du prisme en fonction de i, i et A.

2)- L’indice du prisme vaut n r = 1,61 pour la lumière rouge (λ r = 750 nm) et nb = 1,67 pour la lumière bleue (λ b = 450 nm).

-    Calculer les déviations subies respectivement par la lumière rouge et par la lumière bleue sachant que i = 40 °.

3)- On observe un spectre continu émis par un arc électrique sur un écran à la distance D = 3,0 m du sommet du prisme et perpendiculaire à la direction  des rayons émergents moyens.

Calculer la largeur du spectre observé sur l’écran lorsque le pinceau lumineux est envoyé sur le sommet du prisme sous l’incidence i = 40 °.

 

Un pinceau de lumière arrive sous incidence i, sur la face AB d’un prisme d’angle au sommet A égal à 50 °. 

Le trajet suivi par la lumière est représenté ci-dessous.

1)- Calculer la déviation D subie par le pinceau incident à sa sortie du prisme en fonction de i, i et A.

-   Déviation subie par le pinceau incident :

-   D = i + i’ A

2)- L’indice du prisme vaut n r = 1,61 pour la lumière rouge (λ r = 750 nm) et nb = 1,67 pour la lumière bleue (λ b = 450 nm).

-    Calculer les déviations subies respectivement par la lumière rouge et par la lumière bleue sachant que i = 40 °.

-    Déviation subit par la lumière rouge :

-   Loi de la réfraction au point I  :

-    

-    Valeur de l’angle r 

-  r  +  r'  = A  =>    r'  = r

-  r'  50    23,5 

-  r'  50    23,5 

-  r'  26,5 °

-     Loi de la réfraction au point J :  

-     n r . sin r'= sin i'    =>    i'  = sin 1(n r . sin r')

-    i'  = sin 1(1,61 x sin 26,5)

-    i'  45,9 °

-    Déviation pour la lumière rouge :  

-    Dr = i + i’ A

-    Dr = 40 + 45,9 50

-    Dr  36 °

-    Schéma :

-    Déviation subie par la lumière bleue :

-    Loi de la réfraction au point I  :

-    

-    Valeur de l’angle r : 

-    r + r’ = A   =>   r’ = – 

-    r 50 – 22,6

-    r   27,4 °

-    Loi de la réfraction au point J :  

-    n b . sin r'= sin i'    =>    i'  = sin 1(n b . sin r')

-          i'  = sin 1(1,61 x sin 27,4)

-          i'  50,2 °

-          Déviation pour la lumière bleue :  

-          D r = i + i’ A

-          D r = 40 + 50,2 50

-          D r  40 °

-          Schéma :

3)- On observe un spectre continu émis par un arc électrique sur un écran à la distance D = 3,0 m du sommet du prisme et perpendiculaire à la direction  des rayons émergents moyens.

Calculer la largeur du spectre observé sur l’écran lorsque le pinceau lumineux est envoyé sur le sommet du prisme sous l’incidence i = 40 °.

-    Écart angulaire entre le rouge et le bleu.  

-  θ D h    D r 

-  θ 40    36

-  θ 4,0 ° 

-    Schéma :

-    L’angle θ étant petit, on peut faire l’approximation suivante :

-    

 

 

 

III- Exercice 26 page 87. Pointeur optique laser.

-  Le faisceau lumineux émis par un pointeur optique laser, dirigé en direction d’un écran, forme un point rouge très lumineux et de petites dimensions.

-  Il permet ainsi à un conférencier de montrer à distance un point précis sur un document projeté.

-  On se propose de retrouver expérimentalement l’ordre de grandeur de la longueur d’onde λ de la lumière émise par le pointeur dont la fiche technique est donnée ci-dessous. :

-    Diode émissive 5 mW – Rouge (compris entre 660 nm et 680 nm) – alimentation  par piles R3 – 3 heures d’autonomie –

-    Portée supérieure à 100 m dans l’obscurité – Diamètre du spot à la sortie 2 mm ; diamètre du spot à 6 m : 12 mm.

-  Pour cette étude, on place une fente verticale, de largeur a très petite, sur le trajet du faisceau lumineux produit par un laser et on positionne un écran à la distance D de la fente.

2)- Compléter la phrase : « Le phénomène observé sur l’écran s’appelle ………. ; son importance est liée au rapport de la largeur a de la fente sur la ……….. »

 

3)- On propose quatre expressions possibles pour la largeur L de la tache centrale observée sur l’écran :

-    

-    On réalise en outre trois expériences dont les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

 

Source

Distance fente-écran

Fente

Tache centrale

Expérience 1

λ1 = 543 nm (vert)

D

a1

L1 = 3,2 cm

Expérience 2

Pointeur de longueur d’onde λ0

D

a1

L2 = 4,0 cm

Expérience 3

λ1 = 543 nm (vert)

D

a3 < a1

L3  > L1

a)- Montrer, par analyse dimensionnelle, qu’une des expressions proposées est manifestement fausse.

-    La relation (3) est manifestement fausse.

b)- Déterminer, à partir des résultats expérimentaux, quelles autres expressions il faut éliminer (justifier). En déduire l’expression de la largeur L de la tache centrale.

4)- Établir la relation liant, L1, L2, λ1 et λ2. Calculer, avec un nombre de chiffres significatifs correct, la valeur numérique de λ 0.

Ce résultat est-il en accord avec la notice technique donnée pour le pointeur optique à laser ?

 

-  Le faisceau lumineux émis par un pointeur optique laser, dirigé en direction d’un écran, forme un point rouge très lumineux et de petites dimensions.

-  Il permet ainsi à un conférencier de montrer à distance un point précis sur un document projeté.

-  On se propose de retrouver expérimentalement l’ordre de grandeur de la longueur d’onde λ de la lumière émise par le pointeur dont la fiche technique est donnée ci-dessous. :

-    Diode émissive 5 mW – Rouge (compris entre 660 nm et 680 nm) – alimentation  par piles R3 – 3 heures d’autonomie –

-    Portée supérieure à 100 m dans l’obscurité – Diamètre du spot à la sortie 2 mm ; diamètre du spot à 6 m : 12 mm.

-  Pour cette étude, on place une fente verticale, de largeur a très petite, sur le trajet du faisceau lumineux produit par un laser et on positionne un écran à la distance D de la fente.

2)- Compléter la phrase : « Le phénomène observé sur l’écran s’appelle ………. ; son importance est liée au rapport de la largeur a de la fente sur la ……….. »

-    « Le phénomène observé sur l’écran s’appelle la diffraction ; son importance est liée au rapport de la largeur a de la fente sur la longueur d’onde λ »

3)- On propose quatre expressions possibles pour la largeur L de la tache centrale observée sur l’écran :

-    

-    On réalise en outre trois expériences dont les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

 

Source

Distance fente-écran

Fente

Tache centrale

Expérience 1

λ1 = 543 nm (vert)

D

a1

L1 = 3,2 cm

Expérience 2

Pointeur de longueur d’onde λ0

D

a1

L2 = 4,0 cm

Expérience 3

λ1 = 543 nm (vert)

D

a3 < a1

L3  > L1

a)- Montrer, par analyse dimensionnelle, qu’une des expressions proposées est manifestement fausse.

-   Les différentes unités :

-    

-    La relation (3) est manifestement fausse.

b)- Déterminer, à partir des résultats expérimentaux, quelles autres expressions il faut éliminer (justifier). En déduire l’expression de la largeur L de la tache centrale.

-    On remarque  que : a3 < a1    =>    L3  > L1.

La largeur L de la tache centrale augmente quand la largeur a de la fente diminue.

-   Il faut éliminer les relations (4) et (2) :

-   

-    Car L est inversement proportionnel à a.

-   La largeur L de la tache centrale est donnée par la relation (1) :

-   .

4)- Établir la relation liant, L1, L2, λ1 et λ2. Calculer, avec un nombre de chiffres significatifs correct, la valeur numérique de λ 0.

Ce résultat est-il en accord avec la notice technique donnée pour le pointeur optique à laser ?

-    Relation :

-    

-    Valeur de la longueur d’onde λ0.

-   

-    Ce résultat est en accord avec l’indication donnée par le constructeur :

Rouge (compris entre 660 nm et 680 nm).

 

 

IV- Devoir : étude d’une figure de diffraction : retour TP Physique N° 03 (correction)

 

Le document ci-contre est une reproduction de la figure de diffraction obtenue sur un écran situé à 2,00 m d’une fente de largeur 100 mm éclairée par une lumière émise par une diode laser.

1)- Quelle relation existe-t-il  entre le demi-diamètre angulaire θ de la tache centrale de diffraction, la longueur d’onde λ et la largeur a de la fente ?

2)-  

a)-  établir la relation entre la largeur a de la fente, tan θ, la largeur X1 de la tache centrale de diffraction et la distance D séparant l’écran de la fente.

b)-  Simplifier cette relation si l’angle θ est petit.

3)- Déterminer la longueur d’onde λ dans le vide de la lumière émise par cette diode laser.

4)- Quelle particularité de la figure de diffraction les mesures réalisées mettent-elles en évidence ?

5)- En utilisant le même dispositif :

a)-  Dire quelles seraient les dimensions de la tache centrale de diffraction obtenue avec une lumière monochromatique bleue de longueur d’onde 450 nm.

b)-  Décrire l’aspect de la tache centrale de diffraction obtenue avec une lumière blanche.

 

Correction :

1)- Le demi-angle θ ( écart angulaire) est donné par la relation :

-    Relation :  

-    Unités : θ en rad, λ  en m et a en m.

-    Schéma :

2)- relation entre la largeur a de la fente, tan θ, la largeur X1 de la tache centrale.

a)-  Sur le schéma, on remarque que :

-    Relation :

b)-     

-   Remarque connaissant X 1 et D, on peut en déduire la valeur de la tangente :

-   

-   On peut faire l’approximation des petits angles car D >> X 1.

-   alors :  avec θ en rad.

-   On obtient la relation simplifiée :

 

3)- Longueur d’onde λ dans le vide de la lumière émise par cette diode laser.

 

-    Relation :

-    Valeur :

4)- particularité de la figure de diffraction.

-    On remarque que : X2  2 X1 et que X3 ≈ 3 X1

-    On peut remarquer aussi ;

-    que les taches secondaires ont la même largeur.

-    que la largeur de la tache centrale  est le double de la largeur des taches secondaires.

-    La figure de diffraction possède un axe de symétrie : axe perpendiculaire à la tache centrale et passant par le milieu de cette tache.

5)-  

a)- lumière monochromatique λb λ.

-   On peut calculer les valeurs des largeurs  X1, X2 et X3.

-   

-   

-   La figure de diffraction est plus petite en lumière bleue qu'en lumière rouge.

b)- En lumière blanche, on observe des irisations.

La tache centrale blanche est bordée de rouge.