Phys. N° 04

La Radioactivité. Cours.

 

 

I- Stabilité et instabilité des noyaux.

 II- La radioactivité.

 III- Loi de décroissance radioactive.

 IV- Applications à la radioactivité.

 V- Applications : exercice 12 page 116, 14 page 117, 21 page 117, 29 page119.

1)-  Exercice 12 page 116.

2)- Exercice 14 page 117.

3)- Exercice 21 page 117.

4)- Exercice 29 page119.

 

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

Instabilité des noyaux ; la radioactivité ; la loi de décroissance radioactive ; les applications de la radioactivité ; radioactivité alpha et beta ; ...

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I- Stabilité et instabilité des noyaux.

1)- Composition du noyau d’un atome.

-     En 1911, Ernest Rutherford (physicien anglais) a découvert que l’atome (dont l’ordre de grandeur du rayon est de l’ordre de 100 pm) possède un noyau (dont l’ordre de grandeur du rayon est de quelques femtomètres  1 fm =  10 15 m).

-     En conséquence le noyau de l’atome est 100 000 fois plus petit que l’atome. De plus, il rassemble pratiquement toute la masse de l’atome.

-     Le noyau est constitué de particules appelées nucléons. Les nucléons sont de deux types : les protons et les neutrons.

-     Caractéristiques du proton :

-     Masse :                                        m p = 1,67265 x 10 27  kg

-     Charge  :                                     + e = 1,602189 x 10 19  C

-     C est le symbole du Coulomb unité de charge électrique.

-     Caractéristiques du neutron :        

-     Masse :                                       m n = 1,67 496 x 10 27  kg

 

-     Remarque : e  représente la charge élémentaire. 

-     Toute charge électrique s’exprime en un nombre entier de charges élémentaires : q = ± n e 

-     La masse du neutron est voisine de celle du proton : m p » m n  

-     Le nombre de nucléons est noté A, on l’appelle aussi le nombre de masse.

-     Le nombre de protons que contient le noyau est noté Z. On l’appelle le numéro atomique ou le nombre de charge.

-     Les deux nombres A et Z suffisent pour caractériser un noyau. Le nombre de neutrons : A Z.

2)- Isotopes. (Même place dans la classification périodique).

-     A chaque couple de valeurs (Z, A), correspond un type de noyau que l’on note : 

A

Z

X

  , où X est le symbole de l’élément chimique.

-     En conséquence, la notation représente le noyau d’un atome.

-     Des noyaux possédant le même nombre de protons mais des nombres différents de neutrons sont appelés isotopes.

-     Il existe environ 350 noyaux naturels et plus de 2500 noyaux artificiels obtenus en laboratoire.

-     Exemples :

Atomes isotopes

12

6

C

 

13

6

C

 

14

6

C

98,9 %   1,1 %   Traces
Composition d'un morceau de graphite

3)- Masse d’un noyau.

-     On utilise une unité adaptée à la physique nucléaire : l’unité de masse atomique.

-     L’unité de masse atomique u est le douzième de la masse du carbone 12.

-       1 u = 1,6605402 x 10 27  kg.

-     Exemple : la masse d’un noyau d’Hélium  est m H » 4,001 51 u

-     En conséquence, la masse d’un noyau est voisine de A en unité atomique.

-     Un nucléon étant environ 1850 fois plus lourd qu’un électron, la masse d’un noyau est voisine de celle de l’atome correspondant.

4)- Stabilité des noyaux.

La stabilité des noyaux résulte de la compétition entre l’interaction forte, responsable de l’attraction des nucléons et de l’interaction électromagnétique responsable de la répulsion entre les protons.

L’interaction forte est intense mais de très courte portée (de l’ordre du femtomètre : 10 – 15 m, soit un milliardième de micromètre.) 

La stabilité des noyaux obéit aussi aux lois de la mécanique quantique : un noyau possédant trop de particules de même type est instable.

Dans les petits noyaux, il y a une tendance à la symétrie : le nombre de protons est égal au nombre de neutrons pour les noyaux stables.

 

Un noyau est instable s’il possède trop de protons par rapport au nombre de neutrons.

Un noyau est instable s’il possède trop de neutrons par rapport au nombre de protons.

Un noyau est instable s’il possède trop de protons et trop de neutrons.

 

Un noyau instable est un noyau qui possède :

-     Trop de protons

-     Trop de neutrons

-     Trop de nucléons.

-     Exemples : le carbone 14 est instable, l’oxygène 14 est instable, de même l’uranium 238 est instable.

 

La cohésion du noyau est due à l’existence d’une interaction forte, attractive qui unit l’ensemble des nucléons et qui prédomine devant l’interaction électrique (répulsion entre les protons).

Il y a antagonisme entre l’interaction forte et la répulsion des protons.

Dans certains cas la cohésion n’est pas suffisante, on dit que les noyaux sont instables.

Ils se désintègrent spontanément, on dit qu’ils sont radioactifs. Ce sont des radionucléides.

 

II- La radioactivité.

1)- Historique.

La radioactivité a été découverte par Henri Becquerel en 1896 (1852 – 1908). 

Il découvre la radioactivité de l’uranium au cours de travaux sur la phosphorescence.

Les travaux sont poursuivis par Pierre et Marie Curie

En 1898, ils découvrent la radioactivité du polonium Po 210 et du radium Ra 226.

En 1903 : prix Nobel de physique (Henri Becquerel avec Pierre et Marie Curie).

La radioactivité artificielle fut mise en évidence en 1934 par Irène et Frédéric Joliot – Curie

Ils ont crée par réaction nucléaire un isotope radioactif du phosphore.

On connaît actuellement, une cinquantaine de nucléides naturels radioactifs et environ 1200 nucléides artificiels radioactifs.

 

2)- Les Émissions Radioactives.

-     Une source radioactive peut émettre :

-     Des particules

-     Un rayonnement γ.

-     Les particules émises sont de trois types : les particules α , β + et β - .

 

a)-     Les particules a  (alpha).

Ce sont des particules , des noyaux d’hélium dont l’écriture symbolique : , ion   He 2 +.

Ces particules sont éjectées à grande vitesse v » 2 x 10 7  m / s .

Ce ne sont pas des particules relativistes.

Les particules sont directement ionisantes mais peu pénétrantes.

Elles sont arrêtées par une feuille de papier et par une épaisseur de quelques centimètres d’air.

elles pénètrent la peau sur une épaisseur de l’ordre de quelques micromètres.

Elles ne sont pas dangereuses pour la peau.

Par contre, elles sont dangereuses par absorption interne : inhalation, ingestion.  

 

 

b)-     Les particules β (bêta).

On distingue :

-     Les particules β - qui sont des électrons :

-     Masse : m e = 9,1 x 10 31 kg

-     Charge : - e = 1,602189 x 10 19  C

 

-     Les particules β +   qui sont des positons (antiparticule de l’électron).

-     Masse : m e = 9,1 x 10 31 kg

-     Charge : + e = 1,602189 x 10 19  C .

 

Les particules sont émises à grande vitesse v » 2,8 x 10 8  m / s. Ce sont des particules relativistes.

Elles sont plus pénétrantes mais moins ionisantes que les particules α.

Elles sont arrêtées par un écran de Plexiglas ou par une plaque d’aluminium de quelques centimètres.

Elles pénètrent la peau sur une épaisseur de quelques millimètres. Elles sont dangereuses pour la peau.  

 

c)-     Le rayonnement g (gamma).

Il accompagne l’émission de rayonnements α , β + et β - .

Il est constitué d’une onde électromagnétique de très courte longueur d’onde ((λ » 10 – 12  m et υ » 10 20 Hz ).

Le rayonnement est constitué de photons qui se déplacent à la vitesse de la lumière et dont la masse est nulle.

Ils ne sont pas directement ionisants, mais ils sont très pénétrants. Ils peuvent traverser jusqu’à 20 cm de plomb.

Par interaction avec les atomes des substances traversées, ils peuvent donner naissance à des électrons qui eux sont ionisants.

Rappels de seconde :   λ = v . T et pour les ondes électromagnétiques : λ = c . T et .

3)- Définition.

Lorsqu’un noyau  est instable, il subit une transformation spontanée conduisant à la formation d’un nouveau noyau .

Ce phénomène porte le nom de radioactivité.

-        est appelé le noyau père et  est appelé le noyau fils.

-     Cette transformation radioactive s’accompagne de l’émission de particules et de rayonnements électromagnétiques.

4)- Les Lois de conservation : Loi de Soddy.

-     Toutes les réactions nucléaires vérifient les lois de conservation suivantes :

-     Conservation de la charge électrique.

-     Conservation du nombre total de nucléons.

-     Conservation de la quantité de mouvement.

-     Conservation de l’énergie.

A

Z

X

     ¾®  

A'

Z'

Y

  +   

a

z

p

Noyau-père   Noyau-fils   Particule

 

-     Lois de Soddy :

   -     Conservation du nombre de nucléons :

A = A' + a

-     Conservation de la charge globale : 

Z = Z' + z 

 

5)- Les équations de la radioactivité.

a)-     Radioactivité α.

  -     Un noyau lourd instable éjecte une particule α et donne un noyau fils plus léger, généralement dans un état excité

A

Z

X

     ¾®  

A'

Z'

Y

  +   

4

2

He

Noyau-père   Noyau-fils   Particule α  

 

-     Lois de Soddy :

   -     Conservation du nombre de nucléons :

A' = A - 4

-     Conservation de la charge globale : 

Z' = Z - 2

 

A

Z

X

     ¾®  

A - 4

Z - 2

Y

  +   

4

2

He

Noyau-père   Noyau-fils   Particule α  

 

-     Exercice : L’uranium 238 est émetteur α. Écrire l’équation de la réaction.

238

92

U

     ¾®  

234

90

Th

  +   

4

2

He

Uranium   Thorium   Particule α   

 

-     Exercice : Le radium 226 est émetteur α. Écrire l’équation de la réaction.

226

88

Ra

     ¾® 

222

86

Rn

    +   

4

2

He

Radium   Radon   Particule α   

 

 

b)-     Radioactivité β -.

Cette radioactivité se manifeste lorsque le noyau présente un excès de neutrons. Au cours de la désintégration, il y a émission :

-     D’un électron noté .

A

Z

X

     ¾®   

A

Z + 1

Y

  +   

0

- 1

e

Noyau-père   Noyau-fils   Particule β -

 

-     Les lois de Soddy : 

   -     Conservation du nombre de nucléons :

A' = A

-     Conservation de la charge globale : 

Z' = Z + 1

-     Exercice : le carbone 14 est émetteur β - . Écrire l’équation de la réaction.

14

6

C

     ¾®   

14

7

N

  +   

0

- 1

e

Carbone   Azote   Particule β -

-     Le noyau père possède trop d’électrons : 

1

0

n

     ¾®  

1

1

H

  +   

0

- 1

e

Neutron   Proton   Particule β -

-     Exercice : le césium 137 est émetteur β - . Écrire l’équation de la réaction.

137

55

Cs

     ¾®   

137

56

Ba

   +   

0

- 1

e

Césium   Baryum   Particule β -

 

c)-     La radioactivité β + .

Cette radioactivité se manifeste lorsque le noyau d’un atome possède trop de protons. Au cours de la désintégration, il y a émission :

-     D’un positon noté .

A

Z

X

     ¾®   

A

Z - 1

Y

   +    

0

+ 1

e

Noyau-père   Noyau-fils   Particule β +

 

-     Les lois de Soddy :

   -     Conservation du nombre de nucléons :

A' = A

-     Conservation de la charge globale : 

Z' = Z - 1

 

-     Exercice : l’oxygène 14 est émetteur β + . Écrire l’équation de la réaction.

14

8

O

     ¾®   

14

7

N

   +    

0

+ 1

e

Oxygène   Azote   Particule β +

 

-     Le noyau père possède trop d’électrons : 

1

1

H

     ¾®   

1

0

n

    +   

0

+ 1

e

Proton   Neutron   Particule β +

 

d)-     La désexcitation γ.

Le noyau-fils est le plus souvent dans un état instable, il libère son excédant d’énergie sous forme de rayonnement γ. Il se désexcite.

A

Z

Y

     ¾®   

A'

Z'

Y*

   +   

0

0

γ

Noyau-fils

Etat excité

  Noyau-fils

Etat stable

  Rayonnement

 

-     La transformation qui permet de passer du noyau père au noyau fils non excité s’effectue en deux étapes.

 (1) 

A

Z

X

     ¾®  

A'

Z'

Y

   +    

a

z

p

Noyau-père   Noyau-fils   Particule 

 

 (2) 

A

Z

Y*

     ¾®   

A'

Z'

Y

    +   

 

γ

Noyau-fils

Excité

  Noyau-fil

Stable

  Rayonnement 

 

6)- Les détecteurs utilisés.

-     Les rayonnements issus de la radioactivité ne sont pas directement perceptibles.

-     La radioactivité est invisible, inaudible, inodore. Elle ne peut être mise en évidence que par des outils d’observation indirecte :

-     Les plaques photographiques.

-     Des chambres d’ionisation.

-     Les détecteurs les plus couramment utilisés :

-     Les compteurs à ionisation de gaz, les scintillateurs et les semi-conducteurs.

-     Le principe est le même pour les différents détecteurs. Un signal électrique est produit lorsque des électrons ou des rayons g émis par le corps radioactif traversent le détecteur.

 

7)- Le diagramme de stabilité.

Table des Nucléides

-     L’ensemble des noyaux stables (en rouge) forme sur la représentation graphique la vallée de stabilité.

-     Les noyaux légers stables se répartissent au voisinage de la première bissectrice (N = Z autant de protons que de neutrons).

-     Les noyaux lourds stables  s’écartent de la bissectrice. Ils ont plus de neutrons que de protons.

-     Pour les noyaux instables :

-     En bout de la vallée de stabilité, ils se désintègrent en émettant des particules alpha : ils sont radioactifs alpha.

-     Au-dessus de la vallée de stabilité, ils sont émetteur β -.  Au-dessous du domaine de stabilité, ils sont émetteurs β +

 

 

N = A – Z : Nombre de neutrons

11

 

 

 

 

 

 

 

 

19O

10

 

 

 

 

 

 

 

17N

18O

9

 

 

 

 

 

 

 

16N

17O

8

 

 

 

 

 

 

14C

15N

16O

7

 

 

 

 

 

12B

13C

14N

15O

6

 

 

 

 

10Be

11B

12C

13N

 

5

 

 

 

8Li

9Be

10B

11C

 

 

4

 

 

6He

7Li

 

 

10C

 

 

3

 

 

 

6Li

7Be

 

 

 

 

2

 

3H

4He

 

 

 

 

 

 

1

n

2H

3He

 

AX

 

Nucléide stable

0

 

1H

 

AX

AX

AX

Nucléide instable

 

0

1

2

3

4

5

6

7

 

Z : Nombre de protons

 

III- Loi de décroissance radioactive.

1)- Caractère aléatoire d’une désintégration radioactive.

-     Un noyau instable est susceptible de revenir à l’état stable à tout moment. 

-    Le phénomène de désintégration est imprévisible. Pour un noyau instable donné, on ne peut prévoir la date de sa désintégration. 

-    En revanche, on connaît la probabilité de désintégration de ce noyau par unité de temps.

-     Le phénomène de désintégration est aléatoire. 

-    La probabilité qu’a un noyau radioactif de se désintégrer pendant une durée donnée est indépendante de son âge. 

-     Elle ne dépend que du type de noyaux considéré.

-     Un noyau de carbone 14 apparu, il y a mille ans et un autre formé, il y a 5 min ont exactement la même probabilité de se désintégrer dans l’heure qui vient. 

-    Un noyau ne vieillit pas.

-     Ce caractère aléatoire fait que pour un ensemble de noyaux instables identiques, on ne peut prévoir lesquels seront désintégrés à une date donnée, mais on peut prévoir combien de noyaux seront désintégrés. 

-    On peut prévoir avec précision l’évolution statistique d’un grand nombre de noyaux radioactifs.

-    C’est un phénomène sur lequel il est impossible d’agir. Il n’existe aucun facteur permettant de modifier les caractéristiques de la désintégration d’un noyau radioactif.

 

2)- La constante radioactive.

-    Chaque nucléide radioactif est caractérisé par une constante radioactive λ, qui est la probabilité de désintégration d’un noyau par unité de temps. 

-    Elle s’exprime en s –1.

-    La constante λ ne dépend que du nucléide. Elle est indépendante du temps, des conditions physiques et chimiques.

-    Pendant la durée Δt, la probabilité pour qu’un noyau se désintègre est λ.Δt

3)- Loi de décroissance radioactive.

-     Considérons un échantillon contenant :

-     N(t) noyaux radioactifs à la date t.

-     A la date t + Δt très proche de t, le nombre de noyaux radioactifs a diminué.

-     Pendant l’intervalle de temps Δt  très court, on peut considérer que le nombre de noyaux ayant subi une désintégration est :  λ.Δt.N.

-      La variation ΔN du nombre N de noyaux pendant la durée Δt est donnée par la relation :

-     ΔN = - λ.Δt.N   soit : ΔN + λ.Δt.N = 0 (1)

-     Divisons l’expression (1) par Δt, il vient :

-    

-     Lorsque Δt  ® 0, l’expression (2) s’écrit :  

-    

-     La solution de cette équation différentielle du premier ordre donne la loi de décroissance radioactive :

-     N (t) = N 0 e - λ t

-     N 0 représente le nombre de noyaux présent à la date t 0 = 0

-     N(t) représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t

-     λ est la constante radioactive s –1.

-          Énoncé : Loi de décroissance radioactive.

-          Le nombre de noyaux radioactifs N (t) présents à la date t dans un échantillon est donné par la loi de décroissance radioactive

-      N (t) = N 0 e - λ t

-          N 0 représente le nombre de noyaux radioactifs initialement présents.

 

4)- Demi-vie.

Définition :

-     Pour un type de noyaux radioactifs, la demi-vie t½ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présent dans l’échantillon se sont désintégrés.

-     Relation entre t½ et λ :

-     Au temps t :  

-    N (t) = N 0 e - λ t

-     Au temps t + t1/2 :  

-    N (t + t 1/2) = N 0 e - λ (t + t ½)

-     En conséquence : 

-     

La demi-vie n’a qu’une valeur statistique. Elle indique qu’un noyau radioactif a une chance sur deux de disparaître au bout d’une demi-vie.

5)- Courbe de décroissance et Constante de temps τ.

-     La constante de temps, notée τ est l’inverse de la constante radioactive. Elle s’exprime en seconde s.

-     Expression :   La constante de temps est l’inverse de la constante radioactive

-     On peut obtenir la valeur de la constante de temps τ à partir de la loi de décroissance.

-     

-     Si l’on se place au temps t  = 0 :  

-    

-     En conséquence, la tangente à la courbe N (t) = N 0 e - λ t à l’instant initial rencontre l’axe des abscisses à la date τ.

-     Exemples :

 

 

6)- Activité d’un échantillon radioactif.

-     L’activité A(t) d’un échantillon radioactif à la date t est le nombre de désintégrations par seconde de cet échantillon.

-     L’unité d’activité est le Becquerel Bq en hommage à Henri Becquerel. 1 Bq = 1 désintégration par seconde.

-     Si l’on considère qu’entre t et t + Δt, le nombre de noyaux radioactif a diminué de ΔN

-    l’activité est donnée par la relation :  ceci représente l’activité moyenne. 

-    Pour avoir l’activité à un instant donné, il faut faire tendre Δt  ® 0.

-     En conséquence :

-     Si l’on pose  A 0 = λ . N 0  Þ  A (t) = A 0 e - λ t

-     La décroissance de l’activité suit la même loi que la décroissance du nombre de noyau radioactif d’un échantillon.

-     Ordre de grandeur des activités : l’eau de mer a une activité de l’ordre de 10 Bq par litre. 

-    Le Radon, présent dans l’air, à l’état de trace, a une activité de quelques centaines de Bq.

-     Le corps humain A » 104 Bq,

-     Les sources radioactives, utilisées au laboratoire, ont une activité comprise entre 4 x 10 4 Bq et 4 x 10 7 Bq.

-     L’activité d’un gramme de radium est supérieure à 10 10 Bq.

-     On utilise aussi le curie comme unité de radioactivité : 

-     1 Ci = 3,7 x 10 10  Bq

IV- Applications à la radioactivité.

1)- La radioactivité naturelle.

-     Les noyaux radioactifs présents depuis la formation de l’Univers : 

-     L’uranium 238 (t 1/2   =  4,5 x 109 ans), 

-     Le potassium 40 (t 1/2   = 1,35 x 109 ans), 

-     L'uranium 235 (t 1/2  =  7,04 x 108 ans),

-     Leur durée de demi-vie est très longue par rapport à l’âge de la Terre (4,5 milliards d’années). On les trouve encore de nos jours.

-     Les radionucléides de durée de demi-vie courte. Ce sont les noyaux fils des noyaux précédents :

-     Le radium 226 : t 1/2  =1  622 ans ,

 -   Le radon 222 : t 1/2  =  3,82 j  

-   Le  plomb 214 : t 1/2  =  3,05 min.

-     Les radionucléides formés par impact :  impact d’un noyau stable avec une particule cosmique ou issue de la désintégration

14

7

N

     +     

1

0

n

     ¾®  

14

6

C

    +    

1

1

H

-     Le carbone 14 est radioactif, sa durée de demi-vie  :  t 1/2 = 5568 ± 30 ans

2)- La radioactivité artificielle.

-     En 1934, Irène et Frédéric Joliot – Curie découvre la radioactivité artificielle. 

-    Une feuille d’aluminium est bombardée avec des particules alpha produites par du polonium 210.

-     Première étape :

4

2

He

     +     

27

13

Al

    ¾® 

30

15

P*

    +    

1

0

n

 

-     C’est une transmutation (α, n) produisant du phosphore 30 radioactif. Le phosphore 30 est émetteur β +.

-     Deuxième étape :

30

15

P*

      ¾®   

30

14

Si

    +    

0

1

e

    +    

0

0

υ

      +     

γ

 

-     Pour obtenir des radionucléides artificiels, on peut utiliser différents projectiles : des particules chargées comme les protons, les particules alpha ou les deutons (noyaux de deutériums notés d ) ou des particules neutres comme les neutrons n.

3)- La datation au carbone 14.

-     Elle est fondée sur l’utilisation de la loi de décroissance radioactive de l’isotope , radioactif β -

-     La demi-vie du carbone 14 est fixée de façon conventionnelle à 

-    t 1/2 = 5568 ± 30 ans (valeur admise en 1950). 

-     Le carbone 14 est présent dans l’atmosphère. 

-     Il est régénéré par une réaction nucléaire faisant intervenir des neutrons cosmiques et des noyaux d’azote 14 :

14

7

N

     +     

1

0

n

     ¾®  

14

6

C

    +    

1

1

H

-     La proportion de carbone 14 par rapport au carbone 12 est de l’ordre de 10 –12

-     Il en est de même dans le dioxyde de carbone atmosphérique. 

-     On fait l’hypothèse que cette proportion est à peu près constante à l’échelle de quelques dizaines milliers d’années.

-     Tous les organismes vivants échangent du dioxyde de carbone avec l’atmosphère, soit directement, via la photosynthèse, soit indirectement via l’alimentation. Les tissus fixent l’élément carbone.

-     La proportion de carbone 14 par rapport au carbone 12 est la même que la proportion atmosphérique. 

-     A leur mort, les organismes cessent de fixer l ‘élément carbone et le carbone 14 n’est plus régénéré. 

-     La quantité de carbone 14 présent dans les tissus diminue alors selon la loi de décroissance radioactive.

-     L’activité radioactive 0 d’un organisme vivant due au carbone 14 est égale à t 1/2 = 814 ± 4 Bq pour un échantillon de 1 g. 

-    En mesurant à un instant t l’activité A (t) d’un échantillon organique mort, de masse connue, on peut déterminer son âge :

-      

-     La quantité de carbone 14 restant dans un échantillon est encore mesurable jusqu’à 50 000 ans environ.

4)- Les effets biologiques de la radioactivité.

Les expositions aux radiations radioactives sont de deux ordres :

-     Les irradiations directes issues de sources extérieures au corps humain (certaines roches granitiques qui contiennent du thorium 232, le radon 222 présent dans l’atmosphère, …les effets de la centrale de Tchernobyl).

-     Les irradiations internes (iode 131 radioactif qui se fixe dans la glande thyroïde : t1/2  =  8,02 j )

-    La dose reçue par une personne irradiée détermine :

-     La gravité des effets immédiats (rougeur de la peau, brûlures, ..)

-     La probabilité d’apparition des effets aléatoires (anomalies génétiques ou héréditaires, cancers, leucémies,…)

 

V- Applications : exercice 12 page 116, 14 page 117, 21 page 117, 29 page119.

1)-  Exercice 12 page 116.

2)- Exercice 14 page 117.

3)- Exercice 21 page 117.

4)- Exercice 29 page119.