Phys. N° 04

La Radioactivité : Exercices. Correction.

 

 

1)-  Exercice 12 page 116.

2)- Exercice 14 page 117.

3)- Exercice 21 page 117.

4)- Exercice 29 page119.

 

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

Instabilité des noyaux ; la radioactivité ; la loi de décroissance radioactive ; les applications de la radioactivité ; radioactivité alpha et beta ; ...

Google

 

I- Applications :

     

1)-  Exercice 12 page 116.

La radium 226 est un élément radioactif. Par une suite de désintégrations de types α et β, il se transforme en noyau stable de plomb 206.

a)-     Donner la composition d’un noyau de radium 226.

-          Composition du noyau : 

226

88

Ra

Nombre de protons : Z = 88

Nombre de neutrons : A - Z = 138

Radium 226

b)-     Définir les désintégrations a et β en précisant la nature de la particule émise.

-          La désintégration α.

-          Un noyau lourd instable éjecte une particule α et donne un noyau fils plus léger, généralement dans un état excité

A

Z

X

     ¾®  

A - 4

Z - 2

Y

     +      

4

2

He

Noyau-père   Noyau-fils   Particule α  

 

 

-          Les particules α (alpha).

-          Ce sont des particules , des noyaux d’hélium dont l’écriture symbolique : , ion He 2 +.

-          Ces particules sont éjectées à grande vitesse v » 2 x 10 7 m / s. 

Ce ne sont pas des particules relativistes.

-          Les particules sont directement ionisantes mais peu pénétrantes. 

-          Elles sont arrêtées par une feuille de papier et par une épaisseur de quelques centimètres d’air.

-          elles pénètrent la peau sur une épaisseur de l’ordre de quelques micromètres. 

-          Elles ne sont pas dangereuses pour la peau. Par contre, elles sont dangereuses par absorption interne : inhalation, ingestion.

-          La désintégration β -.

-          Cette radioactivité se manifeste lorsque le noyau présente un excès de neutrons. Au cours de la désintégration, il y a émission :

-          D’un électron noté

-      Z" = Z - 2 x 5

-      Z" = 88 - 10

-      Z" = 78

A

Z

X

     ¾®  

A

Z + 1

Y

     +      

0

- 1

e

Noyau-père   Noyau-fils   Particule β -

-          Les particules β -  qui sont des électrons :

-     Masse : m e = 9,1 x 10 31 kg

-     Charge : - e = 1,602189 x 10 19  C

-          Les particules sont émises à grande vitesse v » 2,8 x 10 8 m / s.  . Ce sont des particules relativistes.

-          Elles sont plus pénétrantes mais moins ionisantes que les particules α.

-          Elles sont arrêtées par un écran de Plexiglas ou par une plaque d’aluminium de quelques centimètres.

-          Elles pénètrent la peau sur une épaisseur de quelques millimètres. Elles sont dangereuses pour la peau.

c)-     Écrire l’équation représentant la première désintégration du noyau sachant qu’elle est de type α.

-          Équation de la première désintégration :

226

88

Ra

     ¾®  

222

86

Rn

     +    

4

2

He

     +    

g
Radium   Radon   Particule α   Rayonnement

 

d)-     déterminer le nombre de désintégrations de type α et β qui permettent le passage du noyau  au noyau  .

-          nombre de désintégrations de type α et β.

-          Le nombre de masse doit passer de la valeur A = 226 à la valeur A = 206. 

-          Au cours d’une désintégration β – , le nombre de masse ne varie pas et au cours d’une désintégration α, A = A – 4.

-          En conséquence , le nombre de désintégrations α est :

-           

-          Nombre de désintégrations β – :

-          Au bout de 5 désintégrations α :  

-      Z" = Z - 2 x 5

-      Z" = 88 - 10

-      Z" = 78

-          Pour arriver à la valeur Z= 82, il faut :

-      N a = Z' - Z" = 82  -  78  = 4 

2)- Exercice 14 page 117.

a)-     Donner l’expression de la loi de décroissance radioactive d’un nucléide en précisant la signification de tous les termes.

-          Loi de décroissance radioactive.

-          Le nombre de noyaux radioactifs N(t) présents à la date t dans un échantillon est donné par la loi de décroissance radioactive

-          N (t) = N 0 e - λ t

-          N 0 représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t 0 = 0

-          N(t) représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t

-          λ est la constante de désintégration radioactive s –1.

-          Chaque nucléide radioactif est caractérisé par une constante de désintégration radioactive λ, qui est la probabilité de désintégration d’un noyau par unité de temps. 

-          Elle s’exprime en s –1.

-          La constante λ ne dépend que du nucléide. Elle est indépendante du temps, des conditions physiques et chimiques.

b)-     En déduire l’expression du temps de demi-vie t 1/2.

-          Temps de demi-vie t 1/2.

-          Pour un type de noyaux radioactifs, la demi-vie t 1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présent dans l’échantillon se sont désintégrés.

-          Relation entre t 1/2  et λ :

-          Au temps t :   N (t) = N 0 e - λ t

-          Au temps t + t 1/2 : N (t + t 1/2) = N 0 e - λ (t + t 1/2)

-          En conséquence : 

-          La demi-vie n’a qu’une valeur statistique. 

-          Elle indique qu’un noyau radioactif a une chance sur deux de disparaître au bout d’une demi-vie.

On considère un échantillon contenant initialement N 0 noyaux de polonium

-          La constante de décroissance radioactive λ du polonium 210 est 5,8 x 10 – 8 s – 1 .

c)-     Calculer son temps de demi-vie t 1/2  en seconde et en jour.

-          temps de demi-vie t 1/2:

-         

d)-     Combien reste-t-il de noyaux radioactifs aux instants t 1/2, 2 t 1/2, 3 t 1/2 ? Donner l’allure de la courbe de décroissance.

-          Nombre de noyaux radioactifs aux différentes dates.

t 0

N 0

t 1/2

2 t 1/2

3 t1/2

-          Représentation graphique :

 

 

3)- Exercice 21 page 117.

Un noyau radioactif de radon  se désintègre en émettant une particule α

On dispose d’un échantillon de masse m = 1g de cet isotope. 

Le temps de demi-vie du radon 222 est t 1/2 = 3,8 j.

a)-     Écrire l’équation de la désintégration α du radon 222 en précisant quelles sont les lois de conservation utilisées. 

Préciser la nature du noyau fils.

-          Équation de la désintégration du radon 222.

A

Z

X

     ¾®      

A - 4

Z - 2

Y

     +      

4

2

He

Noyau-père   Noyau-fils   Particule α  

 

222

86

Rn

     ¾®      

218

84

Po

     +      

4

2

He

     +      

γ
Radon   Polonium   Particule α       

 

-          Lois de conservation :

-          Toutes les réactions nucléaires vérifient les lois de conservation suivantes :

-          Conservation de la charge électrique.

-          Conservation du nombre total de nucléons.

-          Le noyau fils est le polonium 218.

b)-     Calculer la constante de désintégration radioactive du radon 222.

-         

c)-     Combien y a-t-il de noyaux radioactifs présents dans l’échantillon considéré ?

-          Nombre N 0 de noyaux radioactifs initialement présents.

-         

d)-      Quelle est l’activité de cet échantillon ?Quelle sera-t-elle au bout de 15 jours ?

-          L’activité A, d’un échantillon radioactif, représente le nombre de désintégration par seconde.

-          L’activité à un instant donné est donnée par la relation :

-           

-          Activité de cet échantillon au temps t  : A (t) = A 0 e - λ t

-          Activité de cet échantillon à l’instant initial : A 0 = λ . N 0 .

-          A 0 = λ . N 0 

-          A 0 = 2,11 x 10 - 2,6  x  2,71 x 10 21

-          A 0 »  5,72 x 10 15 Bq

-          Activité de cet échantillon au bout de 15 jours.

-         

 

4)- Exercice 29 page119. Vanadium 52.

Le nucléide  est radioactif β et sa désintégration s’accompagne d’une émission g.

a)-     Écrire l’équation nucléaire correspondant à la désintégration spontanée du vanadium 52.

-          équation nucléaire de désintégration.

52

23

V

     ¾®      

52

24

Cr

     +      

0

- 1

e

     +      

 

γ

Vanadium   Chrome   Particule β -     Rayonnement

 

b)-     On dispose d’un échantillon qui contient N(t) noyaux de vanadium 52 à l’instant t.

-          Quelle est l’expression de N(t) en fonction du temps t, de N 0  (valeur de N à l’instant t = 0) et de la constante de désintégration radioactive λ

-          Relation :  N (t) = N 0 e - λ t

-          N0 représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t 0 = 0

-          N(t) représente le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t

-          λ est la constante de désintégration radioactive s –1.

-          On suppose que le vanadium est le seul élément radioactif présent dans l’échantillon et on définit l’activité A(t)  de celui-ci comme le taux de désintégration. 

-          Exprimer ln A (t)  en fonction de t et des constantes N 0 et λ.

-          Expression : on considère que A(t)  représente le taux de désintégration :

-          Si l’on considère qu’entre t et t + Δt, le nombre de noyaux radioactif a diminué de ΔN, l’activité est donnée par la relation :  

-         

-          Si l’on fait tendre Δt ® 0 , la limite donne l’expression de l’activité :

-         

 -         ln A  = ln (A 0 e - λ t) = ln (λ . N 0) + ln (e - λ t)

 -         ln A  ln (λ . N 0) - λ . t 

c)-     On cherche à faire la vérification expérimentale du résultat précédent.

A l’aide d’un compteur, on détermine le nombre de désintégrations Δn qui ont lieu pendant une courte durée Δt encadrant les diverses dates t du tableau et on admet que l’on peut obtenir A(t) à chaque instant par

-          On obtient les points de coordonnées (t, ln[ A(t) ]) portés sur le graphique ci-après.

-          Montrer que la forme de la courbe constitue une vérification expérimentale de l’expression de N(t) obtenue au 2.a.

 

-          Exploitation du graphique : Les points sont sensiblement alignés. Il existe une relation affine entre t et  ln[ A(t) ]

-          On peut écrire que : ln A = a.t + b a représente le coefficient directeur de la droite moyenne et b, l’ordonnée à l’origine.

-          D’autre part :

-          N (t) = N 0 e - λ t   Þ   ln N = ln N 0 λ t    Þ   ln N = a.t + b' avec a = - λ  et b' = ln N 0

-          Or : A = λ . N   Þ   ln A = ln λ + ln N    Þ   ln A = a.t + b' + ln λ

-          ln A = a.t + b  avec b = b' + ln λ

-          Ceci est bien en accord avec la vérification expérimentale.

d)-     Déduire de la courbe la valeur de la constante radioactive λ du vanadium 52.

-          valeur de la constante radioactive λ du vanadium 52.  

-          C’est l’opposé du coefficient directeur de la droite moyenne.

-          Détermination du coefficient directeur :

-         

-          Constante de radioactive du vanadium 52 : λ = - a = 2,95 x 10 - 3 s - 1

 t min

ln (A)

0,5

4,73

2

4,47

3,5

4,20

5

3,93

6,5

3,67

8

3,40

9,5

3,14

11

2,87

12,5

2,61

14

2,34

 

e)-     Définir la demi-vie d’un élément radioactif et calculer la valeur de la demi-vie du vanadium 52.

-          Demi-vie d’un élément radioactif :

-          Définition : Pour un type de noyaux radioactifs, la demi-vie t 1/2  est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présent dans l’échantillon se sont désintégrés.

-