Phys. N° 06

Le  dipôle (R, C). Cours.

 

 

I- Rappels sur l’orientation d’un circuit.

II- Les condensateurs.

III- Charge d’un condensateur. (TP Physique N° 06)

IV- Charge à intensité constante. (TP Physique N° 06)

V- Charge d’un condensateur par un échelon de tension. (TP Physique N° 06)

VI- Décharge d’un condensateur.

VII- Énergie emmagasinée dans un condensateur.

VIII- Applications

2)- Devoir  : Le condensateur.énoncé (Word zip)

IX- Visualisations à l’oscilloscope.

1)- Exercice 5 page 166

2)- Exercice 11 page 166

3)- Exercice 17 page 167

4)- Exercice 18 page 167

5)- Exercice 24 page 169 

Pour aller plus loin : 
Mots clés :

Récepteur et générateur ; convention récepteur ; convention générateur ; le circuit  électrique ; orientation d'un circuit électrique ; loi d'Ohm ; le conducteur ohmique ; résistance d'un conducteur ohmique ; le condensateur ; capacité d'un condensateur ; charge et décharge d'un condensateur ; énergie d'un condensateur ; constante de temps d'un circuit RC ; ...

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I- Rappels sur l’orientation d’un circuit.

1)- Orientation d’un circuit et d’un dipôle.

-      Pour pouvoir étudier le comportement électrique d’un dipôle électrique, il faut l’orienter le circuit ou la branche de circuit dans lequel il se trouve.

-      On choisit dans le circuit série ou la branche d’un circuit un sens d’orientation arbitraire.

-      Le dipôle est orienté de A vers B.

2)- Intensité et tension.

-      Un courant électrique résulte d’un mouvement ordonné de porteurs de charge (les électrons dans un métal et les ions d’un un électrolyte).

-      La mesure du débit de charges, exprimée en ampère (A), donne l’intensité du courant i qui est une grandeur algébrique.

-      Si le courant circule dans le sens de la flèche alors i est positif, sinon, il est négatif.

-      La tension u AB entre les bornes A et B d’un dipôle est égale à la différence de potentiel (VAVB) entre ses deux points.

-      La tension u AB , exprimée en volt (V), est représentée par une flèche tracé hors du circuit et orientée de B vers A.

-      Convention récepteur : en convention récepteur, la flèche précisant l’orientation du dipôle est en sens contraire par rapport à la flèche utilisée pour représenter la tension u AB.

3)- Courant et tension continus et courant et tension variables.

-      En courant continu, l’intensité du courant est constante. On la note avec une lettre Majuscule i. Elle correspond à un débit de charges électriques.

-      La quantité d’électricité Q qui traverse une portion de circuit pendant la durée Δt  est donnée par la relation :

 

 

 

 

Q = n . e  charge en coulomb (C)

Q = I . Δt

Þ

I

Q


Δt

I intensité en ampère (A)

 

 

 

Δt durée en seconde (s)

-      De même une tension continue entre deux points A et B d’un circuit se note : UAB.

-      Les courants et les tensions sont qualifiés de variables si leurs valeurs varient au cours du temps.

-      On note ses grandeurs à l’aide de lettres minuscules : i pour l’intensité et u AB pour la tension entre deux points A et B d’un circuit.

-      La loi d’additivité des tensions et la loi des nœuds sont vérifiées lorsque les circuits sont parcourus par des courants variables.

4)- Le conducteur ohmique : Loi d’Ohm.

-      Rappel de première : en courant continu et dans un circuit simple ne comportant qu’un générateur, le sens du courant est défini de la borne (+) vers la borne (-)

-      Par commodité, on oriente le dipôle en utilisant le sens du courant dans le circuit :

-      On peut écrire la loi d’Ohm en courant continu : U AB = R . I

-      En courant variable, la Loi d’Ohm est toujours valable, le fait d’orienter le circuit permet de pouvoir écrire la loi d’Ohm : 

-      Dans le cas présent : u AB = R . i

-      Remarque  : u BA = - u AB = - R . i 

 

II- Les condensateurs.

1)- Description.

-      Un condensateur est formé de deux conducteurs métalliques appelés armatures, séparés par un isolant qui peut être de l'air ou un diélectrique.

-      Le plus utilisé et le plus connu des condensateurs est le condensateur plan.

2)- Symbole d’un condensateur :

III- Charge d’un condensateur. (TP Physique N° 06)

1)- Expérience. Logiciel Condo et carte Candibus.

-      Montage 1 : E = 4,0 V  , R = 1 kΩC = 1000 μF

2)- Explications.

-      Le générateur utilisé est un générateur de courant qui délivre une tension constante E

-      On temps t = 0 s, on bascule l'interrupteur sur la position 1 et on charge le condensateur.

-      Au cours de la charge, l'armature A se charge positivement. Elle présente un déficit d'électrons  q A > 0. 

-      Au cours de la charge, l'armature B se charge négativement. Elle présente un excès d'électrons : q B < 0.

-      q A  = - q B à chaque instant.

-      Par définition, la  quantité q A  = - q B représente la charge du condensateur.

-      C’est une grandeur positive. Elle s’exprime en Coulomb C. On l’appelle aussi ; quantité d’électricité emmagasinée.

-      Une tension u AB apparaît entre les plaques A et B lorsque le condensateur se charge.

-      Lorsque le condensateur est chargé, la valeur de l'intensité s'annule et la tension u AB  prend sa valeur maximale. 

3)- Charge et intensité.

-      Le but est de rechercher la relation qu’il existe entre l’intensité du courant et les charges portées par les armatures.

-      Premier cas : 

-      considérons que le condensateur porte la charge q A à l’instant t et que pendant l’intervalle de temps dt, le courant circule dans le sens indiqué par la flèche.

-      Pendant la durée très courte dt, la charge varie de dq A = q A (t + dt) - q A (t)

-      Le courant circule dans le sens arbitraire choisi :

-      

 

-      deuxième cas : 

-      considérons que le courant circule dans le sens inverse du sens indiqué par la flèche. 

-      Pendant la durée très courte dt, la charge varie de dq A.

 

-      Le courant circule dans le sens inverse du sens arbitraire choisi :  

-     

-      Par définition, l’intensité du courant dans un fil conducteur correspond au débit de charges transportées :

-      On écrit que :

-      Remarque : Cette relation découle de la relation suivante Q = I . Δt valable en courant continu.

-      Si pendant la durée Δt, la variation de charge est Δq, on peut définir l’intensité moyenne comme le rapport suivant : 

-      

-      En courant variable, on peut définir l’intensité instantanée.

-      L’intensité instantanée est égale à la dérivée par rapport au temps de la charge transportée :

-      

IV- Charge à intensité constante. (TP Physique N° 06)

Le but est de trouver la relation qui existe entre la tension aux bornes du condensateur et la charge du condensateur.

1)- Montage :

-      Logiciel : Logiciel Condo et carte Candibus.

-      Montage 1 : I 0 = 0,26 mA, R = 1 kΩ,  C = 1000 μF et U max = 5 V

-      Un générateur de courant délivre une intensité constante pendant la durée de la charge.

-      On mesure la valeur de la tension u AB au cours du temps. 

-      Connaissant la valeur de l’intensité, on en déduit celle de la charge q A de l’armature A au cours du temps car : q A = I . Δt

2)- exploitation :

-          Courbe u AB = f (t) : 

-      La tension u AB est proportionnelle à la durée Δt pendant la charge du condensateur. 

-      Lorsque le condensateur est chargé, la tension u AB 4,5 V.

-          Courbe  q A = g(t) : 

-      La charge q A est proportionnelle à la durée Δt pendant la charge du condensateur. 

-      Lorsque le condensateur est chargé, la charge est constante : q A = Q 4,5 mC.

-      Remarque :

-      

-      La charge  q A est proportionnelle à la tension u AB : q AB  = k 1  .u AB  

-          Courbe q A = h (u AB) :    

 

-      Le tracé du graphe représentatif de q A en fonction de u AB est une droite de coefficient directeur positif passant par l’origine.

-      Ceci est bien en accord avec le résultat trouvé précédemment.

-      En conséquence : 

-      La charge q A de l’armature A du condensateur est proportionnelle à la tension u AB entre ses armatures.

-      q AB  = C  .u AB

-      C est appelée la capacité du condensateur. Elle s’exprime en farad (F).

-      La charge q A de l’armature A s’exprime en coulomb (C).

-      La tension u AB s’exprime en volt (V).

-      Représentation : convention récepteur :

   

V- Charge d’un condensateur par un échelon de tension. (TP Physique N° 06)

1)- Dipôle (R, C) soumis à un échelon de tension.

-      Un échelon de tension E est le passage instantané d'une tension de valeur nulle à une tension de valeur constante E.

-      Représentation :

 

2)- Montage :

-      tension aux bornes du générateur de tension : U = E   4,00 V.

-      Logiciel : Logiciel Condo et carte Candibus.

-      Montage 1 :  R = 1 kΩC = 1000 μF et U = 4 V

 

3)- Exploitation :

-          Courbe uAB =f(t) : 

-      la tension u AB augmente au cours du temps. 

-      Il existe un régime transitoire qui correspond à la charge du condensateur et un régime permanent lorsque le condensateur est chargé. 

-      Lorsque le condensateur est chargé, la tension u AB 4 V. C’est la tension délivrée par le générateur idéal de tension.

-          Courbe q A =g (t) : 

-      La charge  q A augmente au cours du temps. 

-     Il existe un régime transitoire qui correspond à la charge du condensateur et un régime permanent lorsque le condensateur est chargé. 

-      Lorsque le condensateur est chargé, la charge q A 4 mC.

-          Courbe q A = h (u AB) :  

-      La charge q A de l’armature A du condensateur est proportionnelle à la tension u AB entre ses armatures.

-      q A = C . u AB  C est appelée la capacité du condensateur. Elle s’exprime en farad (F).

 

-          Courbe :  i = f1 (t) : 

-      L’intensité est une fonction décroissante du temps. La valeur maximale de i max 4 mA.

-      L’intensité du courant décroît au cours du temps et s’annule lorsque le condensateur est chargé.

-      Il existe toujours deux phases : le régime transitoire et le régime permanent.

4)- Facteurs intervenant sur la durée de la charge.

-      Montage (‘’simulation’’ d’un échelon de tension à l’oscilloscope)  :

-      Ou simulation avec excel  fichier : charge d’un condensateur u.

charge d'un condensateur u

télécharger le fichier

 

-      Simulation avec Crocodile clips :  fichier : charge d’un condensateur u.

-      C = 0,5 μF, R = 1 kΩ et f = 100 Hz à 50 Hz.

-          Oscillogramme :

-      Observations : la courbe 2 représente un échelon de tension.

-      La courbe 1 montre que la tension aux bornes du condensateur augmente au cours du temps.

-      La charge du condensateur n'est pas instantanée.

-      Il existe un régime transitoire (charge du condensateur) et un régime permanent (condensateur chargé).

-      Le condensateur d’un dipôle (R, C) soumis à un échelon de tension ne se charge pas instantanément : 

-      La charge d’un condensateur est un phénomène transitoire.

 

-      La durée de charge du condensateur d'un dipôle (R, C) dépend de la résistance du conducteur ohmique et de la capacité du condensateur. 

-      La durée de charge du condensateur augmente avec la valeur du produit R.C.

-      On appelle constante de temps du circuit (R, C), la valeur : τ = R.C.

-      τ  constante de temps :  seconde s.

-      R résistance du conducteur ohmique ohm Ω.

-      C capacité du condensateur : farad F.

-          Analyse dimensionnelle :

-      

-      Le produit R.C est  bien homogène à un temps.

-      Remarque : 

-      Si on charge le condensateur pendant la durée Δt = τ, la charge Q τ  portée par le condensateur est égale à 63 % de sa charge maximale Q max.

-      On écrit :

-      Si Δt = 5 τ , alors : .

-      Exemple :R = 10 kΩ et C = 0,10 μF, τ = R.C = 1,0 ms.

-      On peut considérer qu'au bout de 5 ms, le condensateur est chargé. La constante de temps τ d'un circuit (R, C) permet de connaître l'ordre de grandeur de la durée de charge d'un condensateur.

-      On reviendra sur ces résultats lors de l'étude théorique.

5)- Étude théorique.

a)-     Schéma du montage :

 

b)-     Équation différentielle :

-      Pour trouver l'équation différentielle, il faut orienter le circuit, écrire la loi d'Ohm aux bornes de chaque dipôle et utiliser l'additivité des tensions.

-      Loi d’ohm aux bornes du conducteur ohmique  : u DA = R . i

-      Loi d’ohm aux bornes du condensateur :

-      Relation entre l’intensité i et la tension u AB :

-      Loi d’additivité des tensions :

-     

c)-     Solution :

-      On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre qui admet une solution du type :

-      u AB (t) =  A . e k t  +  B A, B et k sont des constantes.

d)-     Détermination des constantes.

-      On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales et des paramètres du circuit.

-      Première étape : on reporte l’expression de la solution dans l’équation (1).

-       

-      La solution u AB (t) =  A . e k t  +  B  vérifie l’équation différentielle (1).

-      Expression de  :

-      On remplace   et u AB par leur expression respective dans l’équation (1).

-     

-      La relation (2) est vérifiée à chaque instant.

-      Or E = cteB = cte  et t  et  par conséquence e k t varient au cours du temps.

-      Il faut nécessairement que :

{

(1  +  R . C . k) . A = 0

 

Þ

 

 

{

 

k = -  

1 


RC 

E = B

E = B

La solution A = 0 n'a pas de signification physique

 

-      conditions initiales :  au temps t = 0 s, la tension aux bornes du condensateur est nulle : u AB (0) = 0

-      On déduit de ceci que : A  +  B = 0  Þ  A = - B = - E.

-      Il vient :

-      

-      En utilisant le fait que τ = RC constante de temps du circuit,

-      

-      vérification :

-      Signification de la constante de temps τ.

-      Remarque : on charge le condensateur pendant la durée Δt = τ, donner l’expression de u AB en fonction de E.

-      

-      On en déduit qu’ au bout du temps τ :

-     

-      Si Dt = 5 τ ,

-      

-      alors, au bout du temps 5 τ  :  Le condensateur est chargé à plus de  99 %.

-      Intensité de charge :

-      

6)- détermination expérimentale de la constante de temps τ.

-      On trace la tangente à la courbe au point d'abscisse t = 0 s et l'asymptote horizontale.

-      La constante de temps τ est donnée par l'abscisse de leur point d'intersection.

-      Démonstration : 

-      Expression littérale de  : sachant que 

-      additivité des tensions  E = u DA + u AB = R . I + u AB   (1)

-      

-      Au temps t = 0 s :  

-     

-     

Pour déterminer graphiquement la valeur de τ, on trace la tangente à l’origine à la courbe u AB = f (t) et l’asymptote horizontale à cette courbe. L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites donne la valeur de la constante de temps τ.

 

-    Remarque : on peut utiliser le fait que : ou.

 

VI- Décharge d’un condensateur.

1)- Étude expérimentale.

a)-     Montage :

-      Première étape : on charge le condensateur :  Interrupteur sur la position 1

-      Deuxième étape : on décharge le condensateur :Interrupteur sur la position 2

-      Le condensateur est déchargé.

charge d'un condensateur u.xls

télécharger le fichier

 

 

 

b)-     Les courbes q A = f (t) et i = g (t).

c)-     Interprétation.

-      La tension u DA = R.i, positive lors de la charge, est négative  lors de la décharge. 

-      L'intensité du courant positive lors de la charge est négative lors de la décharge.

-      Le courant circule dans le sens inverse du sens positif choisi.

-      Le courant a changé de sens lors de la décharge.

-      L’armature B perd des électrons et l’armature A, initialement chargée positivement gagne des électrons et sa charge diminue.

-      La tension u AB  positive lors de la charge reste positive lors de la décharge et diminue progressivement pour s’annuler en même temps que le courant.

-      Le passage du courant lors de la décharge correspond à un régime transitoire.

-      La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité alors que l’intensité du courant subit une discontinuité.

2)- Étude théorique.

-      Loi d’ohm aux bornes du conducteur ohmique u DA = R.i

-      Loi d’ohm aux bornes du condensateur :

-      Relation entre l’intensité et la tension u AB :

-     

-      La solution de cette équation différentielle est de la forme générale : u AB (t) =  A . e k t

-      Dans le cas présent, on trouve que la solution est :

-      

-      expression de l’intensité de décharge :

-      

-      Avec l’orientation choisie pour le circuit, l’intensité est négative au cours de la décharge.

VII- Énergie emmagasinée dans un condensateur.

1)- Mise en évidence.

-      Montage  :

-      On charge un condensateur de capacité C = 4700 μF puis on le décharge dans un moteur électrique. 

-      Le moteur tourne lors de la décharge du condensateur et fait remonter une charge de masse m.

-      Au cours de la charge, un condensateur emmagasine de l'énergie. Cette énergie est restituée lors de la décharge.

2)- Expression de l'énergie.

-      Un condensateur de capacité C chargée sous la tension u emmagasine l’énergie :

-        

-      E C : énergie en joule J

-      C capacité en farad F

-      u tension aux bornes du condensateur en volt V.

-      C’est de l'énergie potentielle électrostatique :

-      Remarque : le transfert d’énergie ne peut pas se faire instantanément. 

-      La constante de temps t donne un ordre de grandeur de cette durée. L’énergie n’évolue pas brutalement comme la tension.

VIII- Applications. Exercices : 5, 11, 17, 18, 22, 24 pages 166 – 169.

 

1)- Énergie d'un condensateur.

-      On charge un condensateur (voir montage 5). On donne C = 10 μF et U = 100 V.

-      Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur.

-      On décharge le condensateur. On convertit intégralement cette énergie en énergie mécanique pour faire fonctionner un moteur.

-      De quelle hauteur h peut-on faire monter une charge de masse m = 20 g. On considère que les pertes d’énergie sont négligeables.

2)- Exercices : 5, 11, 17, 18, 22, 24 pages 166 – 169.

1)- Exercice 5 page 166

2)- Exercice 11 page 166

3)- Exercice 17 page 167

4)- Exercice 18 page 167

5)- Exercice 24 page 169 

 

2)- Devoir  : Le condensateur. Énoncé (Word zip)

IX- Visualisations à l’oscilloscope.

1)- Intensité et tension.

-      Montage 1 :  C = 0,5 μF et R = 500 Ω et f = 200 Hz

-      Oscillogramme :

 

-      À la voie A de l'oscilloscope, on visualise les variations de la tension u AM = u R en fonction du temps.

-      Or, u AM = R . i, on visualise les variations de l'intensité en fonction du temps ceci à une constante près.

-      À la voie B de l'oscilloscope, on visualise les variations de la tension u BM en fonction du temps.

-      Si l'on appuie sur la touche -B, on visualise les variations de u MB = u C.

-      Si l'on se place au temps t c, lorsque la charge du condensateur commence, la tension u AM > 0 V et le courant circule de A vers B.

-      On remarque que la valeur de l'intensité i du courant diminue au cours du temps et tend vers zéro lorsque le condensateur est chargé.

-      

-      Or au temps t = 0 s, le condensateur est déchargé :  

-     

-      Le régime permanent est atteint si : u C = u MB = E   Þ   i = 0 A

-      La charge q ne subit pas de discontinuité alors que l'intensité i subit une discontinuité (lors de la décharge, le courant change de sens).

2)- Remarque : cas d'un circuit R, C.

-      Montage 2 : C = 10 nF, R = 0,5 kΩ et f = 1500 Hz.

-      

 

-      Oscillogramme : à finir !!

-      Conclusion :