Phys. N°06 

Le circuit RC : exercices. Correction.

 

 

I- Applications.

1)- Exercice 5 page 166

2)- Exercice 11 page 166

3)- Exercice 17 page 167

4)- Exercice 18 page 167

5)- Exercice 24 page 169 

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

 Récepteur et générateur ; convention récepteur ; convention générateur ; le circuit  électrique ; orientation d'un circuit électrique ; loi d'Ohm ; le conducteur ohmique ; résistance d'un conducteur ohmique ; le condensateur ; capacité d'un condensateur ; charge et décharge d'un condensateur ; énergie d'un condensateur ; constante de temps d'un circuit RC ; ...

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1)- Exercice 5 page 166.

Un dipôle RC est constitué d’un conducteur ohmique de résistance R = 2,7 kΩ et d’un condensateur de capacité= 10 – 7 F. 

La constante de temps du circuit vaut :

a)- 2,7 x 10 – 7 s ;

b)- 2,7 x 10 4 s ;

c)- 0,27 ms ;

 

-      La constante de temps τ d’un circuit RC est donnée par la relation : τ = RC .

réponse c)-.

-      τ = 2,7 x 10 - 3 x 10 - 7 

-      τ = 2,7 x 10 - 4 s

-      τ 0,27 ms

 

2)- Exercice 11 page 166.

Un condensateur de capacité C = 0,50 μF est chargé pendant une durée t = 3,5 s. 

Le générateur délivre un courant électrique d’intensité constante I = 0,60 mA.

a)- Calculer la charge accumulée sur l’armature positive. En déduire la charge accumulée sur l’armature négative.

b)- Combien vaut la tension aux bornes du condensateur ?

 

a)- Charge accumulée sur l’armature positive et charge accumulée sur l’armature négative.

- Schéma du circuit :

-      Charge accumulée sur l’armature positive.

-      q A  = I . t

-      q A  = 0,60 x 10 - 6 x 3,5 

-      q A  »  2,1 x 10 - 6 C

-      q A  » 2,1 μC

-      Charge accumulée sur l’armature négative.

-      À chaque instant :

-      q A  = - q B » 2,1 μC

b)- Combien vaut la tension aux bornes du condensateur ?

-      Tension aux bornes du condensateur.

-     

 

 

 

3)- Exercice 17 page 167.

L’expression de la tension aux bornes d’un condensateur est de la forme :

a)- Préciser la signification et l’unité de chaque terme.

b)- Quelle est la valeur de u(t) à t = 0 s ? Lorsque t ? Le condensateur se charge-t-il ou se décharge-t-il ?

c)- Donner l’expression de la charge q (t) du condensateur.

d)- En déduire celle de l’intensité i (t) dans le dipôle RC.

e)- Quelle est la valeur de l’intensité en régime permanent ?

 

 

a)- Signification et l’unité de chaque terme.

-      Schéma du montage :

-      u (t) tension aux bornes du condensateur : volt V.

-      U constante qui représente la valeur de l’échelon de tension volt V.

-      Le temps t en seconde s.

-      La constante de temps du circuit RC : t en seconde s.

b)- Valeur de u(t) à t = 0 s ? Lorsque t et état du condensateur 

-      Valeur de u (t) à t = 0 s :

-       

-      Expression que l’on peut mettre sous une autre forme :

 -    

-     

-      Valeur de u(t) lorsque t ® ¥ :

-     

-      Lorsque l’on ferme l’interrupteur K au temps t = 0 s, le condensateur se charge.

c)- Expression de la charge q (t) du condensateur.

-      Expression de la charge q (t) du condensateur : (voir schéma)

-     

 

d)- Expression de l’intensité i (t) dans le dipôle RC.

-      Intensité du courant électrique dans le circuit avec l’orientation choisie :

-     

e)- Valeur de l’intensité en régime permanent.

-      Valeur de l’intensité en régime permanent : c’est-à-dire lorsque le régime permanent est atteint. 

-      Dans l’expression trouvée précédemment, on fait tendre le temps t vers l’infini.

-     

     En conséquence, lorsque le condensateur est chargé, l’intensité du courant électrique dans le circuit est nulle.

 

 

4)- Exercice 18 page 167.

 

Dans le circuit ci-dessous, on ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0 s. Le condensateur est initialement déchargé.

     Schéma :

a)- Quelle est la valeur de la tension u AB aux bornes du condensateur à t = 0 s ? Lorsqu’il est chargé ?

b)- Exprimer la tension u BD aux bornes du conducteur ohmique de résistance R en fonction de R, C et u AB.

c)- En déduire l’équation différentielle vérifiée par u AB(t).

d)- La solution de cette équation différentielle est du type :

u AB (t) =  k 1  +  k 2 . e - k t  avec k, k1 et k2 constantes. 

En considérant la valeur de u AB pour t = 0 s et lorsque t ® ¥, déterminer l’expression de u AB(t).

e)- Vérifier que u AB(t) est bien solution de l’équation différentielle établie à la question c)-.

f)- À partir de u AB (t), établir les expressions de q (t) et i (t).

 

 

 

     Schéma :

a)- Valeur de la tension u AB aux bornes du condensateur à t = 0 s et lorsqu'il est chargé 

-      Valeur de la tension u AB aux bornes du condensateur à t = 0 s :

-      Le condensateur est déchargé  au temps t = 0 s :  u AB (0) = 0 V.

     Lorsque le condensateur est chargé : u AB () = E.

b)- Expression de la tension u BD aux bornes du conducteur ohmique de résistance R  

-      Tension u BD aux bornes du conducteur ohmique de résistance R en fonction de R, C et u AB.

-      Loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique :

-      Schéma du circuit avec l’orientation choisie.

    

c)- Équation différentielle vérifiée par u AB (t) :

-      Additivité des tensions :

-     

d)-  Solution de l’équation différentielle :

-      Les conditions initiales permettent d’écrire que :

-      u AB (t) =  k 1  +  k 2 . e - k x 0   Þ   k 1  +  k 2  = 0   Þ   k 1  = -  k 2   (1)

{

 u AB (¥ ) =  k 1  +  k 2 . e - k .   k 1 

Þ   k 1  = E  (2)

u AB (¥ ) =  E

-      u AB (t) =  k 1  +  k 2 . e - k t

-      u AB (t) =  E  -  E . e - k t

-      u AB (t) =  E . (1  -  e - k t)

-      Il reste à déterminer l’expression de k.

-      On utilise le fait que u AB (t) est solution de l’équation différentielle :

-     

-      Cette équation est vérifiée ceci quel que soit t. En conséquence, il faut que :

-      .

-      Expression de u AB (t ) :

-     

e)- Vérifier que u AB (t) est bien solution de l’équation différentielle établie à la question c)-.

-      Vérification :

-     

-      Cette équation est vérifiée ceci quel que soit t.

f)- À partir de u AB (t), établir les expressions de q (t) et i (t).

-      Expressions de q A (t) :

-     

-      Expressions de i (t) :

-     

 

 

5)- Exercice 24 page 169 :

 

 

Charge d’un condensateur.

Pour étudier la charge d’un condensateur, on réalise un circuit RC que l’on soumet à un échelon de tension E

Grâce à l’oscilloscope, on observe simultanément :

La tension u R aux bornes du conducteur ohmique de résistance R  

(Ajustée à R = 200 Ω) ;

-      La tension u C aux bornes du condensateur.

1)- Quelle tension permet de connaître les variations de l’intensité du courant en fonction du temps ? Justifier.

2)- La masse du générateur est isolée de la Terre. 

Il est ainsi possible de brancher la masse de l’oscilloscope comme indiquée sur la figure. 

On obtient l’oscillogramme ci-dessous.

 

Afin de mieux distinguer les deux courbes, l’une est décalée vers le haut et l’autre vers le bas, avec les réglages :

-      Base de temps (ou durée de balayage) : 0,5 ms / div ;

-      Sensibilité verticale de la voie A et de la voie B : 2 V / div ;

-      Entrée B inversée.

a)- Identifier les deux courbes.

b)- Compléter le circuit en indiquant les connexions à réaliser avec l’oscilloscope.

c)- Déterminer à l’aide de l’oscillogramme :

3)- La constante de temps τ est définie comme la durée au bout de laquelle le condensateur initialement déchargé atteint 63 % de sa charge maximale.

a)- Déterminer la valeur de τ.

b)- Déterminer par analyse dimensionnelle l’expression correcte de cette constante parmi les relations suivantes :

c)- en déduire une valeur approchée de la capacité C du condensateur.

4)- Pour les mêmes réglages du générateur et de l’oscilloscope, on augmente la valeur de la résistance R du conducteur ohmique.

a)- Les grandeurs E, Imax et t sont-elles modifiées ? Si, oui, dans quel sens ?

b)- L’oscillogramme ci-dessous représente l’allure de la tension aux bornes du condensateur pour R pour une augmentation de R et pour une diminution de R. à quel cas correspond chacune des courbes ?

5)- On augmente la valeur de l’échelon de tension E, les grandeurs I max et τ sont-elles modifiées ? Si oui, dans quel sens ?

 

Charge d’un condensateur.

1)- Tension qui permet de connaître les variations de l’intensité du courant en fonction du temps et justification 

-      Schéma :

-      Avec l’orientation choisie, on peut écrire la loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique :

-      u MB  = u = R . i

-      La tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R permet de visualiser les variations de l’intensité du courant en fonction du temps ceci à une constante près.

    

2)- Oscillogramme :

 

a)- Identification des deux courbes.

-      La courbe 1 visualise les variations de la tension u R en fonction du temps (c’est-à-dire les variations de i en fonction du temps).

-      La courbe 2 visualise les variations de la tension u C en fonction du temps.

-      Lorsque l’on charge un condensateur avec un échelon de tension, l’intensité dans le circuit diminue et s’annule lorsque le condensateur est chargé.

-      La tension aux bornes du condensateur augmente et devient maximale et égale à E lorsque le condensateur est chargé.

b)- Circuit et connexions à réaliser avec l’oscilloscope.

-      Schéma :

 

-      À la voie 1 ou A (YA) de l’oscilloscope, on visualise la tension u AM

-      C’est la tension aux bornes du condensateur de capacité C

-      Avec l’orientation choisie : , on visualise aussi les variations de la charge q en fonction du temps ceci à une constante près.

-      À la voie 2 ou B (Y B) de l’oscilloscope, on visualise la tension u BM

-      Avec l’orientation choisie, u BM  = - u = - R . i

-      Pour visualiser les variations de i, à une constante près, il faut appuyer sur la touche – B ou B ‘’inversée’’

-      Cela revient à visualiser MB = - BM = R.i.

c)- Déterminer à l’aide de l’oscillogramme :

-      tension E entre les bornes du générateur :

     AMmax E = k . y  

     AMmax E = 2 x 2

     AMmax E 4 V

-      La valeur maximale I max de l’intensité du courant qu’il débite.

-      Valeur maximale I max de l’intensité du courant qu’il débite.

    

3)- La constante de temps τ est définie comme la durée au bout de laquelle le condensateur initialement déchargé atteint 63 % de sa charge maximale.

a)- Déterminer la valeur de τ.

-      Constante de temps du circuit RC.

    

     Détermination graphique :

 -    

-      En utilisant l’oscillogramme, on peut donner une valeur approchée de la constante de temps τ du circuit RC

-      Ici, on trouve que τ  0,25 ms. 

-      Cette méthode à l’aide de l’oscillogramme n’est pas très précise mais elle donne un ordre de grandeur de la valeur de τ.

b)- Déterminer par analyse dimensionnelle l’expression correcte de cette constante parmi les relations suivantes :

-     

     Analyse dimensionnelle :

    

-     

-     

     La bonne relation est : τ = RC

c)- Valeur approchée de la capacité C du condensateur :

-     

4)- On augmente la valeur de la résistance R du conducteur ohmique.

a)- Les grandeurs E, Imax et t sont-elles modifiées 

-      Lorsqu’on augmente la valeur de la résistance du conducteur ohmique, la valeur E de l’échelon de tension reste inchangée. 

-      La valeur Imax diminue et la constante de temps t augmente.

b)- L’oscillogramme ci-dessous représente l’allure de la tension aux bornes du condensateur pour R pour une augmentation de R et pour une diminution de R. à quel cas correspond chacune des courbes ?

 

 

-      La courbe 2 correspond à R = 200 Ω.

-      La courbe 1 correspond à R < 200 Ω, la constante de temps est plus petite, le condensateur se charge plus vite.

-      La courbe 3 correspond à R > 200 Ω, la constante de temps est plus grande, le condensateur se charge plus lentement.

5)- On augmente la valeur de l’échelon de tension E, les grandeurs I max et τ sont-elles modifiées ? Si oui, dans quel sens ?

-      Lorsque l’on augmente la valeur de l’échelon de tension E, I max augmente et la constante de temps τ du circuit ne change pas.