Phys. N° 07

Le dipôle R L :

Exercices.

Correction.

 

   

 

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Programme 2012 :

Programme 2012 : Physique et Chimie

1)- Exercice 9 page 188.

2)- Exercice 12 page 189.

3)- Exercice 13 page 189.

4)- Exercice 23 page 192.

 

Applications.

 

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

La bobine ; établissement du courant dans une bobine ; induction ; auto-induction ; circuit RL ; constante de temps d'un circuit RL, énergie emmagasinée dans une bobine ; l'alternateur ; ...

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1)- Exercice 9 page 188.

Cliquer sur l'image pour l'agrandir

L’intensité du courant traversant une bobine idéale d’inductance = 10 mH a l’allure représentée ci-contre.

La bobine est étudiée en convention récepteur.

Représenter l’allure de la tension u aux bornes de la bobine 

(prendre 

1 cm 1 V 

et 

1 cm  1 ms)

 

-  Expression de la tension.

-  Il faut faire un schéma et orienter le circuit.


= L .  

 di  


 dt 

 

-  Première phase : Pour t [ 0, 1 ms ], l’intensité i = a . t + b.

En conséquence,

-  Il faut trouver la valeur du coefficient directeur : 

a =  

0,3    0,2 


1 x 10 – 3

=>

a  

5 x 10 3 A / s 

-  Pour

t € [ 0, 1 ms ] 

=>

L  

di 


dt 

           

 

u =

( 10 x 10 – 3 ) ( 5 x 10 3)

       

 

u    

5,0 V 

 

 

-  Deuxième phase : Pour t [ 1 ms, 6 ms ], l’intensité i = a’ . t + b’.

En conséquence,

-  Il faut trouver la valeur du coefficient directeur : 

a' =  

( 0,2)  ( 0,3) 


(6 1) x 10 - 3

=>

a'  

1 x 10 2 A / s 

-  Pour

t € [ 1 ms, 6 ms ] 

=>

L  

di 


dt 

 

       

u = 

( 10 x 10 – 3 ) (1 x 10 2)

       

 

           

u  

1,0 V 

-  Allure de la tension :


 

2)- Exercice 12 page 189.

Dans un circuit schématisé ci-dessous, le générateur délivre un échelon de tension à la fermeture du circuit.

On visualise sur un oscilloscope à mémoire la tension uG délivrée par le générateur et la tension ur aux bornes du conducteur ohmique de résistance r = 2,7 kΩ.

Sur l’oscilloscope, la sensibilité verticale est : 2 V / div.

a)- Quelle est la tension visualisée sur la voie A de l’oscilloscope ? sur la voie B ?

b)- Placer sur le schéma les branchements de l’oscilloscope.

c)- Quelle grandeur physique la voie B permet-elle aussi de visualiser ? Justifier.

d)- Quelle est la valeur de l’échelon de tension E ?

e)- Quelle est la valeur de l’intensité du courant électrique lorsque le régime permanent est établi ?

f)- Qu’aurait-on observé sur la voie B si le circuit avait été purement résistif ? Quelle est l’influence de la bobine ?

 

Dans un circuit schématisé ci-dessous, le générateur délivre un échelon de tension à la fermeture du circuit.

On visualise sur un oscilloscope à mémoire la tension uG délivrée par le générateur et la tension ur au bornes du conducteur ohmique de résistance r = 2,7 kΩ.

Sur l’oscilloscope, la sensibilité verticale est : 2 V / div.

a)- Quelle est la tension visualisée sur la voie A de l’oscilloscope ? sur la voie B ?

-  À la voie A de l’oscilloscope, on visualise un échelon de tension.

C’est la tension aux bornes du générateur idéal de tension u G.

-  À la voie B de l’oscilloscope,

on visualise la tension aux bornes du conducteur ohmique r, c’est-à-dire ur.

b)- Placer sur le schéma les branchements de l’oscilloscope.

c)- Quelle grandeur physique la voie B permet-elle aussi de visualiser ? Justifier.

-  Avec l’orientation choisie, on peut écrire la loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique :  

u BM =  u r =  

r . i

  => 

i


. u r

 

-  La voie B visualise ur mais aussi i ceci à une constante près.

d)- Quelle est la valeur de l’échelon de tension E ?

-  Valeur de l’échelon de tension E : E = k . y  =>  E = 2 x 3 =>  E 6 V

e)- Quelle est la valeur de l’intensité du courant électrique lorsque le régime permanent est établi ?

-  Valeur de l’intensité Ip en régime permanent :  

Ip =  


. u r

=>

I p =   


. E

   

 Ip =   


2,7 x 10 3 

x

 

 Ip    

 2,2 x 10 – 3

A

f)- Qu’aurait-on observé sur la voie B si le circuit avait été purement résistif ? Quelle est l’influence de la bobine ?

-  Si le circuit est purement résistif, le signal à la voie B a même allure que le signal observé à la voie A.

-  La bobine retarde l’établissement du courant dans le circuit.

Elle s’oppose à l’établissement du courant dans le circuit.

3)-  Exercice 13 page 189.

Un circuit série est constitué d’un générateur idéal de tension de f.é.m. E,

d’une bobine d’inductance L et de résistance r,

d’un conducteur ohmique de résistance r’ et d’un interrupteur K.

A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.

a)- Représenter le schéma du circuit.

b)- Établir l’équation différentielle du premier ordre régissant l’évolution de l’intensité i du courant électrique en fonction du temps.

c)- La solution de cette équation différentielle est du type  :

 i (t) = k'  +  k'' . e - k t.

-  En reportant cette expression dans l’équation, déterminer les constante k et k’ en fonction de E, R et L.

d)-  déterminer l’expression de la tension uL,r (t) aux bornes de la bobine.

Que devient uL,r (t) en régime permanent ?

-  Quelle est l’influence de la bobine dans le circuit ?

 

Correction :

Un circuit série est constitué d’un générateur idéal de tension de f.é.m. E,

d’une bobine d’inductance L et de résistance r,

d’un conducteur ohmique de résistance r’ et d’un interrupteur K.

A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.

a)- Représenter le schéma du circuit.

b)- Établir l’équation différentielle du premier ordre régissant l’évolution de l’intensité i du courant électrique en fonction du temps.

On pose : R = r + r’.

-  Équation différentielle : On oriente le circuit à l’instant t.

-  On utilise l’additivité des tensions :  

E uAM = uABuBM

 

E ==  uAM  = (L .  

 di  


 dt 

+ r . i) + 

r' . i 

 

- En ordonnant, on peut écrire :

E = L .  

 di  


 dt 

+

( r  +  r'). i 

 

 

En posant R = r  + r'

 

E = L .  

 di  


 dt 

+

R . i     (1)

 

c)- La solution de cette équation différentielle est du type  :

 i (t) = k'  +  k'' . e - k t.

-  En reportant cette expression dans l’équation, déterminer les constante k et k’ en fonction de E, R et L.

-  On remplace i et  par leur expression dans l’équation (1).

-  

-  L’équation (2) doit-être vérifiée ceci quel que soit t.

Or R, L, k’ et k’’ sont des constantes.

Il faut :  

{

R  L . k ) . A = 0

 

=>

 

{

 

k =  

R 


L 

   

E = R . k'

k' =  

E 


R 

-  À partir de la condition initiale, déterminer la constante k’’ en fonction de E et R.

-  À l’instant initial, i (0) = 0 : 

i (0) = k' + k'' .e k . 0  = 0

=>

k' + k'' = 0  

 

k' + k'' = 0  

 

k" = k' =  

E 


R 

 

 

-  Préciser l’expression de i (t).

-  Expression de i (t).

- 

d)-  déterminer l’expression de la tension uL,r (t) aux bornes de la bobine.

Que devient uL,r (t) en régime permanent ?

-  expression de la tension u L,r (t) aux bornes de la bobine.

-  Remarque :

-  

-  en régime permanent, l’intensité dans le circuit ne varie plus au cours du temps :  et le terme .

-  

-  Quelle est l’influence de la bobine dans le circuit ?

-  La bobine s’oppose à l’établissement du courant dans le circuit électrique.

4)- Exercice 23 page 192.

étude d’un dipôle R, L.

Un ordinateur, relié au montage schématisé ci-dessous par une interface appropriée, permet d’enregistrer au cours du temps les valeurs des tensions. 

1)- À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K et on procède à l’enregistrement. On obtient les courbes y1 = f (t) et y2 = g (t).

a)- Identifier les grandeurs y1 et y2. Justifier la réponse.

b)- À partir de la courbe représentant la variation de l’intensité du courant, expliquer le comportement de la bobine.

c)- Donner la valeur de la force électromotrice E de la pile.

2)- Lorsque le régime permanent est établi, l’intensité i prend la valeur IP tandis que y2 prend la valeur YP.

a)- Donner les expressions de uAM, uAB et uBM.

b)- Montrer que la bobine a une résistance R1 non nulle.

3)- Le circuit étudié peut être caractérisé par sa constante de temps t.

Pour un circuit (R, L), on pose : .

a)- Montrer que la constante de temps est bien homogène à un temps.

b)- Que représente R dans le circuit ? Quelle est sa valeur ? On admet que : . Montrer que A = IP.

4)- Valeur de τ.

a)- Donner la valeur de τ déterminée graphiquement.

b)- En déduire la valeur de L. Calculer l’énergie emmagasinée par la bobine quant le régime permanent est établi.

 

étude d’un dipôle R, L.

 Solution.

1)- Avant de commencer, il faut indiquer le sens positif choisi sur le circuit et noter certains points du circuit.

On note A le point du circuit relié à la voie 1 et on note B le point du circuit relié à la voie 2.

a)- Identification les grandeurs y1 et y2.

-  La voie 1 visualise les variations de la tension aux bornes de la pile (E, r), uAM.

-  La fonction y1 représente les variations de la tension u AM.

-  La voie 2 visualise les variations de la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R2 : u BM.

-  La fonction y2 représente les variations de la tension u BM.

b)- Comportement de la bobine.

-  La voie 2 visualise à une constante près les variations de l’intensité i du courant dans le circuit électrique.

-  Car uBM = R.i.

-  On remarque que le courant électrique ne s’établi pas instantanément.

-  La bobine s’oppose à l’établissement du courant dans le circuit.

-  Elle s’oppose à l’augmentation de l’intensité dans le circuit.

-  Elle s’oppose à la variation de l’intensité dans le circuit.

c)- Valeur de la f.é.m. E de la pile.

-  La f.é.m. E de la pile est donnée par l’ordonnée à l’origine de la courbe y1.

-  Il faut tenir compte de l’échelle :

{

E  5,6 cm

=>  E 13,1 V 

10 V    4,9 cm

-  La f.é.m. E de la pile est la tension aux bornes de la pile lorsqu’elle ne débite aucun courant.

2)- Régime permanent :

a)- Expression des tensions : avec l’orientation choisie.

-  Tension aux bornes de la pile  uAM =   r . i  

-  Tension aux bornes de la bobine :

uAB = L .  

 di  


 + R 1 . i 

 dt 

-  Tension aux bornes du conducteur ohmique : uBM = R2 . i

b)- Résistance de la bobine.

-  L’additivité des tensions permet d’écrire que :

    uAM  = uABuBM

E  - r . i = L .  

 di  


 dt 

+ R1 . i

R2 . i 

 

 

-  en régime permanent i = I p = cte.

-    r . Ip = R1 . Ip + R2 . Ip

-  Le terme E  -  r . Ip représente l’asymptote horizontale de y1 et le terme R2 . Ip représente l’asymptote horizontale de  y2.

-  L’écart entre les deux asymptotes horizontales est dû au terme R1 . Ip.

-  En conséquence, la bobine possède une résistance non négligeable.

c)- Valeurs de r et R1.

-  Lorsque le régime permanent est atteint : uAM =   r . Ip et graphiquement :

{

uAM  5,6 cm

=>  u AM 11,4 V 

10 V    4,9 cm

-  d’autre part : uBM = R2 . Ip et graphiquement :

{

uBM  4,6 cm

=>  u BM 9,4 V 

10 V    4,9 cm

-  En conséquence, uAB = R1 . Ip et graphiquement : 

uAB = 11,4  -  9,4  =>  uAB 2,0 V

-  On tire :

-  Résistance de la bobine :

-  Résistance interne de la pile :

- 

3)- La constante de temps du circuit RL.

a)- Analyse dimensionnelle.

- 

-  D’autre part de la relation :

,

on tire que :

-  

-  En combinant (1) et (2) :

-  Le rapport  a la dimension d’un temps.

Il s’exprime en seconde dans le S.I.

-    est bien homogène à un temps.

b)- La grandeur R représente la résistance totale du circuit :

R = R 1 + R 2 + r 70 Ω.

-  Remarque : au temps t = 0, i = 0.

En conséquence :

-  

4)- Étude de .

a)- Détermination graphique de la constante de temps τ.

-  Pour déterminer graphiquement la valeur de τ,

on trace la tangente à l’origine à la courbe i = f (t) et

l’asymptote horizontale à cette courbe.

-  L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites donne la valeur de la constante de temps τ.

-  

-  constante de temps : τ 2,5 ms.

b)- Valeur de l’inductance L :

-  Énergie emmagasinée dans la bobine :

-