Phys. N° 08

Oscillations libres dans un circuit (R, L, C). Cours. 

 

 

I- Rappels.

II- Décharge d’un condensateur dans une bobine.

III- Influence de la résistance R du circuit sur les oscillations libres.

IV- Influence de L et de C. (TP Physique N° 08)

V- Étude analytique d’un circuit oscillant.

VI- énergie d’un circuit oscillant.

VII- Applications.

 Exercice 11 page 209

Exercice 15 page 210

Exercice 22 page 211

Exercice 24 page 212

Exercice 5 page 217

Simulation avec Excel : oscillations libres u, i,
Simulation avec Excel : fichier zip : fichiers/oscillations libres amorties u et i sin.zip

 

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

Oscillations libres ; oscillations libres amorties ; régime périodique ; régime pseudo-périodique ; ; pseudo-période ; période propre ;  ...

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I- Rappels.

1)- Le condensateur.

Représentation symbolique :

 

 

2)- La Bobine.

Représentation symbolique :

 

 

3)- Le conducteur ohmique.

Représentation symbolique :

u AB = R . i

II- Décharge d’un condensateur dans une bobine.

1)- Montage.

 Bobines :

Bobine 1 : L 1 = 5 mH et r 1 = 4 Ω

Bobine 2 : L 2 = 20 mH et r 2 = 20 Ω

Boîte de condensateurs :

On commence par une capacité de 1μF.

Potentiomètre de 1 kΩ que l’on utilise en rhéostat.

Valeur de la tension E = 3 V.

2)- Manipulation.

-          Première étape : on charge le condensateur en plaçant le commutateur sur la position 1.

-          Deuxième étape : on bascule le commutateur en position 2. On réalise ainsi un circuit (R, L, C) avec R = r + R.

-          Quelles sont les tensions visualisées à la voie Y A et à la voie Y B ?

-          On visualise les variations de la tension u AM en fonction du temps (tension aux bornes du condensateur) à la voie Y A de l’oscilloscope.

-          On visualise les variations de la tension u BM en fonction du temps (tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R) à la voie Y B de l’oscilloscope.

-          Quelle est la valeur prise par la tension u AM lorsque le commutateur est en position 1 ?

-     Lorsque le condensateur est chargé, u AM = E = 3,0 V.

-     Qu’observe-t-on lorsque l’on bascule le commutateur sur la position 2 ?

3)- Observations.

-     Lorsque le commutateur est en position 2, on constate que les tensions tension u AM et u BM prennent des valeurs alternativement positives et négatives.

-     On remarque aussi que leurs amplitudes diminuent au cours du temps.

-     La tension u AM traduit les variations de la charge : q A = C . u AM

-     La tension u BM traduit les variations de l’intensité dans le circuit  : 

i = -   u BM 

R' 

-     Pour visualiser les variations de i dans le circuit, on appuie sur la touche  – B

-     Avec la carte candi-PCI, pour visualiser i, on tape l’expression : 

i = -   u 2 

R' 

 

L = 5 mH

 R = 1 Ω

 C = 1μF.

 Réglages de l’oscilloscope :

 Sensibilité verticale :

k = 1 V / div

 Durée de balayage :

b = 0,5 ms / div

Réglages de l’oscilloscope :

 Sensibilité verticale :

k = 1 V / div

 

Durée de balayage :

b = 0,1 ms / div

-     Le courant change alternativement de sens lors de la charge et de la décharge du condensateur.

-     L’amplitude des oscillations diminue au cours du temps car le circuit (R, L, C) perd progressivement, l’énergie initialement emmagasinée dans le condensateur, par effet Joule dans les résistances.

-     En conséquence, un circuit électrique (R, L, C), réalisé avec un condensateur chargé, est le siège d’oscillations électriques libres amorties.

III- Influence de la résistance R du circuit sur les oscillations libres.

1)- Étude expérimentale.

a)-     Avec la carte d’acquisition Candi-PCI :

L = 5 mH

 r = 4 Ω 

 

C = 1μF.

 

R = 1 kΩ

 

Simulation avec Excel

-     Première étape : on charge le condensateur en plaçant le commutateur sur la position 1.

-     Deuxième étape : on bascule le commutateur en position 2. On réalise ainsi un circuit (R, L, C) avec R = r + R.

-     On renouvelle l’acquisition et entre chaque acquisition, on augmente la valeur de la résistance R.

b)-     Avec l’oscilloscope :

L = 5 mH

 r = 4 Ω 

 

C = 1μF.

 

R’ = 1 kΩ

 

Simulation avec Excel

 

2)- Observations.

-     On observe des oscillations dont l’amplitude décroît au cours du temps.

-     Pour de faibles valeurs de la résistance R, on observe des oscillations dont l’amplitude décroît progressivement : 

-     Le régime est pseudo-périodique.

Réglages de l’oscilloscope :

Sensibilité verticale :

k = 1 V / div

Durée de balayage :

b = 0,5 ms / div

R = 1 Ω

 

Réglages de l’oscilloscope :

Sensibilité verticale :

k = 1 V / div

Durée de balayage :

b = 0,5 ms / div

R = 5 Ω

-     Le phénomène possède une pseudo-période : la pseudo-période T est la durée entre deux passages consécutifs par la valeur nulle de la tension, celle-ci variant dans le même sens.

-     On peut déterminer la valeur de la pseudo-période :

Réglages de l’oscilloscope :

Sensibilité verticale :

k = 1 V / div

Durée de balayage :

b = 0,10 ms / div

R = 1 Ω

T  = b . x

T  = 0,10 x 4,4

T  0,44 ms

-     Selon la valeur de la résistance du circuit (R, L, C), on distingue les régimes : pseudo-périodique, critique, apériodique.

-     Il existe une valeur particulière R C de la résistance R qui délimite les deux régimes. On l’appelle la résistance critique.

-     Si R < R C , on observe des oscillations libres amorties, c’est le régime pseudo-périodique.

-     Si R = R C , la tension tend rapidement vers zéro, c’est le régime critique.

-     Si R > R C, la tension tend vers zéro sans oscillations, c’est le régime apériodique.

R < R C , on observe des oscillations libres amorties, c’est le régime pseudo-périodique.

R = R C , la tension tend rapidement vers zéro, c’est le régime critique.

R > R C, la tension tend vers zéro sans oscillations, c’est le régime apériodique.

 -     Lorsque l’amortissement est faible, la pseudo-période T est pratiquement égale à la période propre T0 du circuit (L, C) sans résistance : 

  -     T T 0.

IV- Influence de L et de C. (TP Physique N° 08)

1)- Montage :

Simulation avec Excel

 2)- Influence de L.

-     On utilise dans un premier temps la bobine L1 = 5 mH, puis L2 = 20 mH. 

-     La valeur de la capacité de change pas, C = 1 μF.

-     On obtient les oscillogrammes suivants :

L 1  = 5 mH

C = 1 μF.

Durée de balayage :

b = 0,2 ms / div

T 1 = b . x

T 1 = 0,20 x 2,2

T 1 0,44 ms

L 2  = 20 mH

C = 1 μF.

Durée de balayage :

b = 0,2 ms / div

T 2 = b . x

T 2 = 0,20 x 4,4

T 2 0,88 ms

-     La valeur de la période est multipliée par deux lorsque celle de l’inductance est multipliée par quatre.

3)- Influence de C.

-     Dans un premier temps, on utilise un condensateur de capacité C 1 = 1 μF, puis C 2 = 4 μF. 

-     La valeur de l’inductance ne change pas L = 5 mH.

L   = 5 mH

C 1 = 1 μF. 

Durée de balayage :

b = 0,20 ms / div  

T 1 = b . x

T 1 = 0,20 x 2,2

T 1 0,44 ms

L   = 5 mH

C 2 = 4 μF.

Durée de balayage :

b = 0,20 ms / div  

T 2 = b . x

T 2 = 0,20 x 4,4

T 2 0,88 ms

-     La valeur de la période est multipliée par deux lorsque celle de la capacité est multipliée par quatre.

4)- Conclusion :

-     La période propre d’un circuit (L, C) dépend de l’inductance de la bobine et de la capacité du condensateur

-     La période propre T 0 d’un dipôle (L, C) est la période des oscillations libres non amorties.

-     Elle est donnée par la relation :

-     Unités :  T 0 en seconde (s) , L en Henry (H) et C en Farad (F).

-     Dans un circuit peu amorti, la période propre est voisine de la pseudo période : T T 0

-     Analyse dimensionnelle.

-    

V- Étude analytique d’un circuit oscillant.

1)- Équation différentielle d’un circuit (R, L, C).

-          Montage :

Premier temps : on charge le condensateur en basculant le commutateur sur la position1. Deuxième temps : au temps t = 0, on bascule le commutateur sur la position 2.

-     On utilise l’additivité des tensions :

-    

-     On pose : R = R + r et on ordonne :

-    

-     Durant les oscillations libres amorties, la charge q du condensateur obéit à l’équation différentielle :

-    

2)- Équation différentielle d’un circuit (L, C).

-     Un circuit (L, C) est un circuit idéal de résistance nulle : R = 0.

-     En conséquence, la charge q du condensateur obéit à l’équation différentielle suivante :

-    

3)- Solutions de l’équation dans le cas d’un circuit (L, C).

-     L’équation différentielle  est une équation linéaire en q,  du second ordre, sans deuxième membre.

-     Elle admet une solution générale de la forme :

 

4)- Détermination des constantes.

-     On détermine les constantes à partir des paramètres du circuit et des conditions initiales.

-     Expression de :

-    

-     On remarque que :  

-    

-     En remplaçant dans l’équation différentielle :

-    

-     Cette équation est vérifiée ceci quel que soit t. Or  varie au cours du temps.

-     Il faut que

-     T0 représente la période propre des oscillations. Elle s’exprime en seconde s.

-     Conditions initiales :

-     à l’instant t = 0, l’intensité du courant dans le circuit est nulle

-     Or

-          

-     La grandeur φ 0 représente la phase à l’origine des dates. Elle s’exprime en radian rad.

-          À l’instant initial, dans le cas qui nous intéresse,   le condensateur est chargé, il porte la charge q 0 > 0, c’est la charge portée par l’armature A du condensateur au temps t = 0 s.

-     Au temps t = 0 s, soit :

{ φ 0 = 0

φ 0 = π

Þ

{ q (0) = q 0 = q m

q (0) = q 0 = - q m

 

-     Or, à l’instant initial, le condensateur porte la charge q 0 > 0, comme la grandeur q m est strictement positive, la solution est :

-     φ 0 = 0 et q (0) = q 0 = q m  

-     On peut écrire :  

-     q 0 = q m  représente l’amplitude de la charge. La charge du condensateur varie entre - q 0 et + q 0.

-     Elle s’exprime en coulomb C.

-     Remarque : on peut donner l’expression de la tension aux bornes du condensateur :

-    

VI- énergie d’un circuit oscillant.

1)-   Transfert d’énergie en régime pseudo-périodique.

a)-     Montage : Ordinateur et logiciel CONDO

Matériel :

 Boite de condensateur : 

prendre C = 1 mF

 Bobines prendre

L = 20 mH et r = 20 Ω  ou

L = 5 mH et r = 4 Ω 

 Alimentation réglable 0 – 12 V

Simulation avec Excel

fichier.zip

-     On observe les variations de la tension u AM aux bornes du condensateur au cours du temps.

-     Grâce au logiciel, on peut visualiser les variations de l’énergie emmagasinée dans le condensateur et celle emmagasinée dans la bobine.

-     Avec :

-     D’autre part : 

-    

-     l’énergie du circuit (L, C) idéal :

-    

b)-     Simulation à la calculatrice.

-    

-     Oscillogrammes :

 

Sans amortissement :

Avec amortissement :

2)- Conclusions.

-     Un circuit (L, C) possède deux réservoirs d’énergie entre lesquels des échanges d’énergie provoquent des oscillations électriques. 

-     Des échanges d’énergie se produisent entre le condensateur et la bobine.

-     Les variations de W C et W L sont périodiques, de période égale à la moitié de la période propre T 0 de l’oscillateur libre.

-     L’énergie du condensateur et l’énergie de la bobine varient en sens inverses.

-     Si l’amortissement est négligeable, l'énergie totale du système se conserve. 

-     Mais comme tout circuit électrique comporte une résistance R, l’énergie se dissipe par effet Joule.

-     Dans un circuit oscillant amorti, il y a échange d’énergie entre le condensateur et la bobine, mais l ‘énergie totale du circuit diminue progressivement par effet Joule.

3)- Entretien des oscillations.

-     Pour obtenir des oscillations non amorties dans un circuit (R, L, C), il faut lui fournir de l’énergie pour compenser les pertes par effet Joule dans les résistances. 

-     On introduit dans le circuit (R, L, C), un dipôle D dont le rôle est de fournir au circuit l’énergie perdue par effet Joule. 

-     Ce dipôle est appelé : ‘’montage à résistance négative’’.

-     Montage expérimental : utilisation de la carte Candi-PCI avec labo.

Montage équivalent :

-     Manipulation :

-     Pour des valeurs faibles de R 0, on n’observe aucune oscillation. 

-     En augmentant la valeur de R 0, on parvient à une valeur particulière telle que les oscillations prennent naissance dans le circuit. 

-     Leur amplitude croît puis se stabilise.

-     Les oscillations paraissent sinusoïdales de période T 0 égale à la période propre du circuit (L, C).

-     Si  on augmente encore la valeur de R 0, les oscillations se déforment et ne paraissent plus sinusoïdales.

-     Avec ce dispositif, le circuit puise périodiquement, à sa propre fréquence l’énergie dans le dipôle D.

VII- Applications.

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Exercice 22 page 211

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Exercice 5 page 217