Phys. N° 09

La mécanique

de Newton :

exercices.

 Correction.

 

   

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Programme 2012 :

 Cinématique et dynamique newtoniennes

Applications des lois de Newton et Kepler

Programme 2012 : Physique et Chimie

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

Les lois de Newton ; Newton ; vecteur position ;

vecteur vitesse ; vecteur accélération ;

relation fondamentale de la dynamique ; ...

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Exercices : 7 page 242

Exercices : 11 page 243.

Exercices : 17 page 245.

Exercices : 20 page 246.

 

QCM N° 05
Cinématique et
dynamique newtonienne
Sous forme de tableau

QCM N° 06
Applications des lois de
Newton et Kepler
Sous forme de tableau

Applications.

1)- Exercice : 7 page 242.

Un glaçon de masse m = 10 g glisse sur un plan incliné d’un angle α = 20 ° par rapport à l’horizontale.

Les frottements qui s’exercent sur la glaçon, ainsi que la poussée d’Archimède, sont négligeables par rapport aux autres forces.

a)- Déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie G du glaçon le long du plan incliné.

b)- Déterminer les valeurs des forces s’exerçant sur le glaçon.

 

Un glaçon de masse m = 10 g glisse sur un plan incliné d’un angle α = 20 ° par rapport à l’horizontale.

Les frottements qui s’exercent sur la glaçon, ainsi que la poussée d’Archimède, sont négligeables par rapport aux autres forces.

a)- Déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie G du glaçon le long du plan incliné.

-  Schéma :

 

-  Le glaçon est soumis à son poids  et à la réaction du support . Le vecteur accélération a même direction et même sens que le vecteur  .

-  Ceci découle de la deuxième loi de Newton :

-   ou

-  Méthode 1 :

-  Le mouvement a lieu sur le plan incliné, en conséquence, la somme vectorielle des composantes perpendiculaires au plan incliné est nulle.

-  Or

-  caractéristiques de la résultante :  :

direction : ligne de plus grande pente du plan incliné ;

sens ; orienté vers le bas ;

valeur : FR = m g sin α.

-  On en déduit les caractéristiques de  :

direction : ligne de plus grande pente du plan incliné ;

sens ; orienté vers le bas ;

valeur : aG =  g sin α  3,4 m / s ².

-  Méthode 2 :

-  On travaille dans le repère

-  Schéma :

-  Coordonnées des vecteurs et  dans le repère .

-  

-  La deuxième loi de Newton permet d’écrire :

-  

-  Le mouvement a lieu sur le plan incliné, en conséquence, la somme vectorielle des composantes perpendiculaires au plan incliné est nulle.

-  On en déduit les caractéristiques de  : 

-  direction : ligne de plus grande pente du plan incliné

-  sens ; orienté vers le bas ; 

-  valeur : aG =  g sin α  3,4 m / s ².

b)- Déterminer les valeurs des forces s’exerçant sur le glaçon.

-  Valeur du poids : 

-  P = m . g  

-  P = 10 x 10 – 3 x 9,8

-  P 9,8 x 10 – 2 N

-  Valeur de la réaction du support :

R = P cos α

R = 10 x 10 – 3 x 9,8

R = 9,8 x 10 – 2 x cos 20

R 9,2 x 10 – 2 N

 

2)- Exercice : 11 page 243

Le pendule élastique

On réalise l’enregistrement du mouvement de translation d’un solide portant une réglette graduée de masse m = 50 g se déplaçant sans frottement sur un banc horizontal entre deux capteurs.

Le solide est attaché à un ressort horizontal de masse négligeable et de constante de raideur k, dont l’autre extrémité est fixée à un support vertical.

La position du centre d’inertie G du solide est repérée le long d’un axe parallèle au banc ; lorsque le ressort n’est pas étiré, G a une abscisse nulle.

L’acquisition débute quand l’opérateur lance la réglette.

Par traitement du fichier d’acquisition avec le logiciel REGRESSI, on obtient alors les graphes reproduits ci-dessous pour la position x (t) et la vitesse v (t) de G ;

On constate que x et v sont des fonctions sinusoïdales du temps.

1)- Faire un schéma du dispositif.

2)- Quelle est la position initiale du centre d’inertie G du solide ? Quel est le sens de la vitesse communiquée au solide par l’opérateur ?

3)- Quelle est l’amplitude du mouvement de G ? (on rappelle que l’amplitude d’une grandeur sinusoïdale est la valeur maximale de cette grandeur.)

4)- Déterminer la valeur maximale de la vitesse de G.

5)- Calculer la valeur de l’accélération de G :

a)- À l’instant t = 0 s ;

b)- Quand l’abscisse x est maximale ;

c)- Quand l’abscisse x est minimale.

6)- Quelle est la valeur de la constante de raideur k du ressort ?

     

Le pendule élastique

On réalise l’enregistrement du mouvement de translation d’un solide portant une réglette graduée de masse m = 50 g se déplaçant sans frottement sur un banc horizontal entre deux capteurs.

Le solide est attaché à un ressort horizontal de masse négligeable et de constante de raideur k, dont l’autre extrémité est fixée à un support vertical.

La position du centre d’inertie G du solide est repérée le long d’un axe parallèle au banc ; lorsque le ressort n’est pas étiré, G a une abscisse nulle.

L’acquisition débute quand l’opérateur lance la réglette.

Par traitement du fichier d’acquisition avec le logiciel REGRESSI, on obtient alors les graphes reproduits ci-dessous pour la position x (t) et la vitesse v (t) de G ;

On constate que x et v sont des fonctions sinusoïdales du temps.

1)- Faire un schéma du dispositif.

2)- Quelle est la position initiale du centre d’inertie G du solide ? Quel est le sens de la vitesse communiquée au solide par l’opérateur ?

-  À l’instant initial, l’abscisse du point G est nulle, sa position coïncide avec l’origine O des espaces.

-  Le vecteur vitesse est de sens opposé au vecteur unitaire , la direction : (x’x) et le sens de x vers x’.

3)- Quelle est l’amplitude du mouvement de G ? (on rappelle que l’amplitude d’une grandeur sinusoïdale est la valeur maximale de cette grandeur.)

-  Graphiquement, on peut déterminer l’amplitude du mouvement de G :

xM = 0,10 m.

4)- Déterminer la valeur maximale de la vitesse de G.

-  Graphiquement, on peut déterminer la valeur maximale de la vitesse de G:

vM = 0,30 m / s.

5)- Calculer la valeur de l’accélération de G :

Animation : CABRIJAVA

a)- À l’instant t = 0 s ;

-  À t = 0 s, la vitesse de G est extrémale. Comme

-  D’après l’allure des courbes, on peut considérer que :

-  

b)- Quand l’abscisse x est maximale ;

-  Quand x = xm :

-  

c)- Quand l’abscisse x est minimale.

-  Quand x = xm :

-  

6)- Quelle est la valeur de la constante de raideur k du ressort ?

-  Valeur de la constante de raideur k du ressort.

-  La deuxième loi de Newton permet d’écrire dans le référentiel terrestre :

-  

-  En travaillant dans le repère  lié au référentiel d’étude, on en déduit la relation suivante :

-  Schéma à l’instant t :

-  (1)  => Px  +  Rx  +  Tx  = m . ax 

Tx  = m . ax

-  m . ax + k . x = 0

-  On a vu que :

-  

 

 

3)- Exercice : 17 page 245

Mouvement dans un plan horizontal

On considère un ressort de constante de raideur k et de masse négligeable ;

On attache l’une des extrémités en un point fixe O d’une table à coussin d’air, l’autre extrémité étant solidaire d’un palet cylindrique de masse m = 720 g.

On repère la position A0 du centre d’inertie du palet quand le ressort n’est pas déformé.

On tend le ressort et on lance le palet sur la table à coussin d’air horizontale.

L’enregistrement des positions successives du centre d’inertie du palet effectué à intervalles de temps réguliers de 40 ms est reproduit ci-dessous.

1)- Quelles sont les forces s’exerçant sur le palet ?

2)- Sur l’enregistrement, les vecteurs représentent respectivement les vecteurs vitesse en A2 à la date t2 et en A4 à la date t4

-  Le vecteur   en A3 représente le vecteur variation de vitesse entre les dates t2 et t4.

Donner la valeur de ce vecteur en m / s.

3)- D’après l’enregistrement, déterminer la valeur de OA0, celle de OA3, et en déduire l’allongement du ressort en  A3.

-  Calculer la constante de raideur k du ressort étudié.

 

Mouvement dans un plan horizontal

On considère un ressort de constante de raideur k et de masse négligeable ;

On attache l’une des extrémités en un point fixe O d’une table à coussin d’air, l’autre extrémité étant solidaire d’un palet cylindrique de masse m = 720 g.

On repère la position A0 du centre d’inertie du palet quand le ressort n’est pas déformé.

On tend le ressort et on lance le palet sur la table à coussin d’air horizontale.

L’enregistrement des positions successives du centre d’inertie du palet effectué à intervalles de temps réguliers de 40 ms est reproduit ci-dessous.

1)- Quelles sont les forces s’exerçant sur le palet ?

-  Le palet est soumis : à son poids , à la réaction du support  et à la force de rappel exercée par le ressort :  

-  où le point A0 correspond à la position du mobile lorsque le ressort n’est pas déformé.

On peut faire un schéma vu de profil.

 

2)- Sur l’enregistrement, les vecteurs représentent respectivement les vecteurs vitesse en A2 à la date t2 et en A4 à la date t4

-  Le vecteur   en A 3 représente le vecteur variation de vitesse entre les dates t2 et t4.

Donner la valeur de ce vecteur en m / s.

-  Valeur du vecteur variation de la vitesse :

-  Longueur du représentant :   1 cm.

À l’aide de l’échelle, on en déduit la valeur du vecteur variation de la vitesse :  

-  Δv 1 x 18 cm / s

-  Δv 18 cm / s

-  Δv 0,18 m / s

3)- D’après l’enregistrement, déterminer la valeur de OA0, celle de OA3, et en déduire l’allongement du ressort en  A 3.

-  Calculer la constante de raideur k du ressort étudié.

-  Connaissant les deux positions, on peut déterminer la valeur de l’allongement x du ressort :  

AO0 4,5 x 1,43 => AO0 6,4 cm 

AO3 10,5 x 1,43 => AO3 15 cm 

x = AO3 AO0 8,6 cm

-  La deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation (1) :

-  

-  Or expérimentalement, on peut considérer que :

- 

-  Pour la position A3, on peut écrire que :

- 

4)- Exercice  20 page 246.

Frottements sur un plan incliné

Un solide S de masse m = 400 g, abandonné sans vitesse initiale, glisse sur un plan incliné d’un angle α = 35 ° par rapport au plan horizontal.

Un dispositif approprié permet d’enregistrer quelques positions successives Gi du centre d’inertie G à des dates ti régulièrement espacées :

ti+1 ti = τ = 80 ms.

L’origine des dates correspond à la position G0. On néglige les dimensions de S et on prend g = 9,8 m / s ².

 

1)- Établir l’expression de la valeur de ath de l’accélération théorique qu’aurait G s’il n’y avait pas de frottements ; faire l’application numérique.

2)- Soient vi et ai les valeurs expérimentales de la vitesse et de l’accélération de G à la date t i.

Reproduire et compléter le tableau suivant en utilisant l’enregistrement ; on indiquera la méthode de calcul utilisée.

ti

t0  = 0

t1

t2

t3

t4

t5

vi   m / s

 

2,32

2,50

2,77

2,95

 

ai  m / s ²

 

 

 

 

 

 

3)- Comparer les valeurs de ai  à celle de ath calculée dans la première question.

On interprète la différence entre ai et ath par l’existence de frottements.

En supposant ces frottements représentés par une force unique constante , calculer sa valeur f.

4)- À quelle date a-t-on abandonné le solide S sur le plan incliné ?

5)- Le plan incliné est raccordé à un plan horizontal.

Le solide S a été lâché sans vitesse initiale à une distance d = 2,00 m de la ligne de raccordement.

(on admettra que la passage du solide S sur la ligne de raccordement ne produit pas de choc susceptible de modifier la valeur v de sa vitesse).

-  On suppose que les frottements sont représentés par une force unique  de valeur f ’ = 0,75 N  pendant toute la durée du mouvement sur le plan horizontal.

-  Quelle distance d’ le solide S parcourt-il sur le plan horizontal avant de s’arrêter ?

 

Frottements sur un plan incliné

Un solide S de masse m = 400 g, abandonné sans vitesse initiale, glisse sur un plan incliné d’un angle α = 35 ° par rapport au plan horizontal.

Un dispositif approprié permet d’enregistrer quelques positions successives Gi du centre d’inertie G à des dates ti régulièrement espacées :

ti+1 ti = τ = 80 ms.

L’origine des dates correspond à la position G0. On néglige les dimensions de S et on prend g = 9,8 m / s ².

 

1)- Établir l’expression de la valeur de ath de l’accélération théorique qu’aurait G s’il n’y avait pas de frottements ; faire l’application numérique.

-  Valeur de l’accélération théorique.

-  La deuxième loi de Newton appliqué au système S permet d’écrire que :

-  On travaille dans le repère

-  Coordonnées des vecteurs et  dans le repère .

-  

-  La deuxième loi de Newton permet d’écrire :

- 

-  Le mouvement a lieu dans le plan incliné, en conséquence, la somme vectorielle des composantes perpendiculaires au plan incliné est nulle.

-  On en déduit les caractéristiques de  :

direction : ligne de plus grande pente du plan incliné ;

sens ; orienté vers le bas ;

valeur :  

-  a th = g cos α

-  a th =  9,8 x cos 35

-  a th 5,6 m / s2

2)- Soient vi et ai les valeurs expérimentales de la vitesse et de l’accélération de G à la date t i.

Reproduire et compléter le tableau suivant en utilisant l’enregistrement ; on indiquera la méthode de calcul utilisée.

-  Pour calculer la vitesse moyenne à un instant donnée, on calcule la vitesse moyenne pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant considéré.

-  Pour la valeur du vecteur accélération :  le mouvement est rectiligne.

Pour connaître la valeur de l’accélération à un instant donné, on calcule la valeur de la variation de la vitesse pendant un intervalle de temps très court encadrant ‘instant considéré.

ti

t0  = 0

t1

t2

t3

t4

t5

vi   m / s

 

2,32

2,50

2,77

2,95

 

ai  m / s ²

 

 

2,81

2,81

 

 

3)- Comparer les valeurs de ai  à celle de ath calculée dans la première question.

On interprète la différence entre ai et ath par l’existence de frottements.

En supposant ces frottements représentés par une force unique constante , calculer sa valeur f.

 

-  Comparaison :

ath > aexp .

En conséquence, les frottements ne sont pas négligeables.

Il existe une force de frottement qui s’oppose au mouvement du solide S.

-  La deuxième loi de Newton appliqué au système S permet d’écrire que :

-  

4)- À quelle date a-t-on abandonné le solide S sur le plan incliné ?

-  Considérons qu’on lâche le mobile à l’instant t’.

à cet instant v(t’) = 0.

-  

-  Si on se place aux instants  t1 et t’ :

-  

5)- Le plan incliné est raccordé à un plan horizontal.

Le solide S a été lâché sans vitesse initiale à une distance d = 2,00 m de la ligne de raccordement.

(on admettra que la passage du solide S sur la ligne de raccordement ne produit pas de choc susceptible de modifier la valeur v de sa vitesse).

-  On suppose que les frottements sont représentés par une force unique  de valeur f ’ = 0,75 N  pendant toute la durée du mouvement sur le plan horizontal.

-  Quelle distance d’ le solide S parcourt-il sur le plan horizontal avant de s’arrêter ?

Correction :

-  On choisit comme origine des espaces la position de départ et comme origine des dates l’instant où le solide occupe cette position.

-  Compte tenu des conditions initiales :

-  

-  Vitesse atteinte par le solide après un parcours de 2 m sur le plan incliné :

-  

-  Si l’on se place sur la partie horizontale, on peut considérer qu’au temps t = 0, la vitesse du solide est v0 = 3,35 m / s

-  La deuxième loi de Newton appliqué au système S permet d’écrire que :

- 

-  

-  durée du parcours : la vitesse vx s’annule lorsque le mobile s’arrête :

-  

-  Distance parcourue :

-