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Phys. N° 10 |
Chute verticale d'un solide. Cours. |
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Phys. N° 10 |
Chute verticale d'un solide. Cours. |
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III- Chute verticale avec frottement. (TP Physique N° 11). IV- Étude d’une chute libre verticale. V- Applications. Exercices : 10, 11, 14, 19, 20 pages 264 – 268.
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Pour aller plus loin :
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Mots clés : Force ; poids ; poussée d'Archimède ; Archimède ; frottements visqueux ; frottements solide ; chute libre ; ... |
1)- Expérience : Solide suspendu à un ressort (dynamomètre).
- Le dynamomètre mesure aussi bien la force qu’on lui applique que la force qu’il exerce.
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2)- Force et champ de pesanteur.
-
La force de pesanteur est représentée par le vecteur 
. Il a les caractéristiques suivantes :
- Caractéristiques :
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Point d'application : |
centre d'inertie G |
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Direction : |
verticale du lieu passant par G |
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Sens : |
du haut vers le bas |
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Valeur : |
P = m . g exprimée en newton (N) |
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P poids en Newton N m la masse en kg et g le facteur d’attraction terrestre : g = 9,81 N / kg |
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- En un même lieu, les vecteurs poids de différents solides sont parallèles, de même sens et de valeurs proportionnelles aux masses.
-
La force de pesanteur résulte du champ de pesanteur de la Terre. Le vecteur
est le vecteur champ de pesanteur
du lieu considéré.
- Caractéristiques :
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Point d'application : |
centre d'inertie G |
|
Direction : |
verticale du lieu passant par G |
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Sens : |
du haut vers le bas |
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Valeur : |
g Intensité de la pesanteur au lieu considéré |
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g ≈ 9,81 N / kg dépende de l'altitude et de la latitude |
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- On peut considérer que le champ de pesanteur est quasiment uniforme dans une région dont les dimensions sont de l’ordre de quelques kilomètres.
1)- Expérience : Solide suspendu à un ressort (dynamomètre) que l’on immerge dans un liquide.
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2)- Expression de la Poussée d’Archimède.
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Tout corps immergé dans un fluide est soumis à une force verticale |
- Caractéristiques :
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- Le centre de poussée C est située au centre d’inertie du fluide déplacée. Pour un solide homogène, C et G sont confondus.
- Remarque : La poussée d’Archimède exercée par un gaz sur un solide compact peut être négligée devant le poids d’un solide.
- C’est le cas d’une bille d’acier en mouvement dans l’air. Cette approximation n’est pas possible dans le cas d’un liquide.
III-
Chute verticale avec frottement. (TP Physique N° 11).
1)- Expérience.
- On lâche la bille sans vitesse initiale dans l’huile contenue dans une grande éprouvette graduée de 500 mL.
- La chute de la bille a été enregistrée par chronophotographie.
- La caméra prend 50 images par seconde.
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Données : Diamètre de la bille : D = 10mm Masse de la bille : m = 4,08g Masse volumique de la bille : ρ = 7563 kg.m – 3 Masse
volumique de l’huile :
ρ
0 = 920
kg.m – 3 Entre la graduation 50mL et 500mL ,on a d = 24,2cm
τ = 1/50 s 1)- Dans quel référentiel étudie-t-on le mouvement de la bille ? 2)- Décrire le mouvement de la bille dans ce référentiel. 3)- Déterminer la valeur de la vitesse instantanée aux temps t 8 et t 14. 4)- À partir de quelle position peut-on dire que les forces qui agissent sur la bille ont des effets qui se compensent ? On appelle vitesse limite, la vitesse de la bille à partir de cette position. 5)-
Déterminer la valeur
v lim de
cette vitesse limite par deux méthodes. |
2)- Conclusions.
a)- Existence d’une force de frottement.
- La bille chute sans vitesse initiale.
- Dans un premier temps, la valeur de la vitesse v G augmente, puis elle atteint une vitesse limite.
-
Il existe une force de frottement 
due au fluide.
b)- Résultants importants :
-
La force de frottement est toujours colinéaire et de sens contraire au
vitesse 
du centre d’inertie du solide.
- Elle dépend de la forme et de l’état de surface du solide.
- Elle dépend de la viscosité η d’un fluide en Pa.s.
- Elle dépend de la valeur v G de la vitesse du centre d’inertie.
- Remarque : les liquides sont plus visqueux que les gaz car l’état liquide est un état condensé et l’état gazeux un état dispersé.
- La viscosité η d’un fluide dépend aussi de la température.
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Liquide à 20 ° C |
eau |
huile |
Glycérol |
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Viscosité (x 10 –
3 Pa.s) |
1,01 |
100 |
1000 |
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Gaz à 20 ° C |
dioxygène |
diazote |
air |
|
Viscosité (x 10 –
3 Pa.s) |
1,9 x 10 – 2 |
1,7 x 10 – 2 |
1,8 x 10 – 2 |
c)-
Expressions de la force de frottement .
- On peut distinguer deux grandes lois de variation pour la valeur de la force de frottement fluide f.
- Lorsque la vitesse limite atteinte est « faible », la force de frottement fluide est de la forme f = k . v G
- La constante k dépend de la viscosité du fluide et de la forme du solide.
- Exemple : pour une sphère de diamètre d tombant dans un fluide de viscosité η :
- k = 3 π . η . d
Formule de STOCKES : k = 6 π η R
- Lorsque la vitesse limite atteinte est « grande », la force de frottement fluide est de la forme : f = k . vG2
- La constante k ne dépend pas de la viscosité du fluide mais de la forme du solide.
- Exemple : pour une sphère de diamètre d tombant dans un gaz de masse volumique ρ 0 :
-
3)- Équation différentielle du mouvement.
a)- Bilan des forces.
- Système : bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.
- Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère
-
avec le vecteur
vertical et orienté du haut vers
le bas.
- Au cours de la chute, la bille est soumise à
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b)- Deuxième loi de Newton.
- Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :
-
c)- étude qualitative du mouvement.
- Au départ, la valeur de la force de frottement est nulle.
- Le poids étant supérieur à la poussée d’Archimède, la bille tombe avec une vitesse croissante.
- Au cours de la chute, la valeur de la force de frottement fluide, qui s’oppose au mouvement, augmente.
- La valeur de la vitesse continue à augmenter mais de moins en moins rapidement.
- Si la durée de la chute est suffisante, la bille atteint une vitesse limite.
- Alors la vitesse de la bille est constante.
- La bille est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
- Elle est soumise à des actions dont les effets se compensent : c’est la réciproque du principe de l’inertie.
d)- Équation différentielle du mouvement.
- Notations : V volume de la bille ; ρ masse volumique de la bille et ρ 0 masse volumique du fluide et f = k.v n
- avec n = 1 ou 2.
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ρ : masse volumique du solide |
|
ρ
0 : masse volumique du fluide |
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- On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :
-
- De l’expression (2), on tire : ρ . V . g - ρ 0 . g . V - k . vxn= ρ . V . ax (3)
- Pour obtenir une expression plus simple, on pose :
- Pour obtenir une expression plus simple, on pose :
-
-
D’autre part : 
4)- Étude analytique.
a)- La force de frottement fluide est de la forme : f = k.v.
- On pose : v x = v et on remplace dans l’équation (2).
-
- On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre qui admet une solution du type :
-
où
A,
B
et k 1 sont des constantes.
-
-
- cette équation est vérifiée quelle que soit la valeur de t.
-
-
Au temps
t = 0, la vitesse de
la bille est nulle : 
- Expression de la vitesse en fonction du temps :
-
- expression de la vitesse limite.
- Si la durée de la chute est suffisante, la bille atteint une vitesse limite. Alors :
-
-
en conséquence :
- Comme dans le cas des dipôles (R, L) et (R, C) on définit une constante de temps notée τ telle que :
-
avec
- Le mobile possède un régime initial ou transitoire pendant que la vitesse varie :
-
- Au bout du temps τ, la vitesse du mobile est 63 % de sa vitesse limite et au bout du temps 5 τ, le mouvement du mobile est pratiquement uniforme, le régime permanent est atteint :
-
b)- La force de frottement fluide est de la forme : f = k.v 2.
- L’équation différentielle est de la forme :
-
Équation
différentielle :
Pour
aller plus loin
- équation différentielle du premier ordre non linéaire avec deuxième membre.
- On peut résoudre cette équation par une méthode numérique itérative : la méthode d’Euler.
- De la même façon que précédemment, on peut calculer la valeur de la vitesse limite.
-
- Au bout d’une durée plus ou moins longue, le régime permanent est atteint, la vitesse de la bille est uniforme.
5)- Résolution de l’équation par une méthode
itérative : la méthode d’Euler.(TP physique N° 11).
a)-
Résolution de 
.
- On se propose de résoudre numériquement l’équation différentielle (2’) par la méthode d’Euler.
- Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f(t) et d’en déduire une représentation graphique.
-
À condition de choisir
dt
suffisamment petit, on peut écrire que :
- Or dv représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée dt.
- Si on connaît les valeurs de α et b et les conditions initiales, on peut trouver de proche en proche les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps.
- Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t 0 = 0, v = v 0.
- On choisit une valeur de δt suffisamment petite : c’est le pas du calcul.
- À la date t 1 = t 0 + δt, la vitesse est devenue : v 1 = v 0 + δv 0 avec
-
-
en conséquence :
- Cette valeur est calculable puisque les valeurs α, b et v 0 sont connues.
- On procède de la même façon pour le calcul de v 2.
-
À la date
t 2 =
t 1 +
δt, la vitesse est devenue :
v
2 =
v 1 +
δv 1
=
v
1 + (b
-
α.v
1).δt.
-
À la date
t n+1 =
t n +
δt, la vitesse est devenue :
v
n+1 =
v n +
δv n
=
v
n + (b
-
α.v
n).δt.
- On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt.
-
On peut ainsi obtenir la représentation graphique de
v
en fonction du temps
t.
- L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.
- Si on connaît les conditions initiales et les grandeurs α et b, il est possible de résoudre l’équation différentielle du mouvement par une méthode itérative.
- On peut améliorer la précision des calculs en choisissant un pas de calcul δt plus petit, mais cela impose un grand notre de calculs.
- Il faut disposer d’une calculatrice graphique ou d’un tableur.
-
Lors de la séance de travaux pratique, on utilise un tableur (TP physique
N° 11).
b)- Comparaison des résultats expérimentaux et des résultats obtenus par la méthode d’Euler.
- On peut, en comparant la courbe expérimentale à celles obtenues par la méthode d’Euler, vérifier si le modèle choisi pour l’expression de la force de frottement est correct.
IV-
Étude d’une chute libre verticale.
1)- Définition.
-
On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son
poids .
I Expérience.
- On prend une feuille de papier que l'on plie. Lorsque la surface de la feuille devient petite, on s'aperçoit que celle-ci tombe suivant une ligne verticale.
- On peut considérer que les objets de petites tailles se déplaçant sur une faible distance sont en chute libre.
2)- Équation différentielle du mouvement.
- Bilan des forces s’exerçant sur le solide :
| |
Point d'application : |
centre d'inertie G |
|
Direction : |
verticale du lieu passant par G |
|
|
Sens : |
du haut vers le bas |
|
|
Valeur : |
P = m . g exprimée en newton (N) |
|
|
P poids en Newton N m la masse en kg et g le facteur d’attraction terrestre : g = 9,81 N / kg |
||
- On étudie le mouvement du solide dans un référentiel terrestre supposé galiléen.
-
La position du solide est repérée à chaque instant dans le repère
orthonormé : 
- À l’instant t = 0, les coordonnées du point G sont données par le vecteur position :
-
-
On lâche le solide sans vitesse initiale :
-
Expression du vecteur champ de pesanteur dans le repère
R :
- Conséquence de l'application du théorème du centre d'inertie (deuxième loi de Newton).
-
- L’équation (1) permet de déterminer les équations différentielles du mouvement.
-
-
Coordonnées du vecteur accélération : 
- équation horaire du mouvement.
- Coordonnées du vecteur vitesse.
-
On utilise la relation 
. On cherche les primitives des équations précédentes.
- Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.
-
On déduit : 
-
Coordonnées du vecteur vitesse :
-
Coordonnées du vecteur position. On opère de la même façon :
- Des équations (a’), (b’) et (c’), on déduit en utilisant les conditions initiales :
-
-
Coordonnées du vecteur position :
3)- Conclusion.
- Récapitulatif : objet en chute libre sans vitesse initiale.
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Vecteur position |
Vecteur vitesse |
Vecteur accélération |
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- L’accélération du mouvement est indépendante de la masse m du solide.
- La vitesse du centre d’inertie est proportionnelle au temps.
- Le centre d’inertie G du solide est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié.
V-
Applications. Exercices : 10, 11, 14, 19, 20 pages 264 – 268.
, orientée vers le haut, de valeur égale au poids du volume
