Phys. N° 10

Chute verticale d'un solide. Cours. 

 

 

I- La force de pesanteur.

II- La poussée d’Archimède.

III- Chute verticale avec frottement. (TP Physique N° 11).

IV- Étude d’une chute libre verticale.

V- Applications. Exercices : 10, 11, 14, 19, 20 pages 264 – 268.

 

1)- Exercice 10 page 264.

2) - Exercice 11 page 265.

3) - Exercice 14 page 265.

4)- Exercice 19 page 267.

5) - Exercice 20 page 267.

 

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

Force ; poids ; poussée d'Archimède ; Archimède ; frottements visqueux ; frottements solide ; chute libre ; ...

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I- La force de pesanteur.

1)- Expérience : Solide suspendu à un ressort (dynamomètre).

-          Le dynamomètre mesure aussi bien la force qu’on lui applique que la force qu’il exerce.

2)- Force et champ de pesanteur.

-          La force de pesanteur est représentée par le vecteur . Il a les caractéristiques suivantes :

-          Caractéristiques : 

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g exprimée en newton (N)

P poids en Newton N

m la masse en kg et 

g le facteur d’attraction terrestre : g = 9,81 N / kg

-          En un même lieu, les vecteurs poids de différents solides sont parallèles, de même sens et de valeurs proportionnelles aux masses.

-          La force de pesanteur résulte du champ de pesanteur de la Terre. Le vecteur  est le vecteur champ de pesanteur du lieu considéré.

-          Caractéristiques : 

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

g  Intensité de la pesanteur au lieu considéré

  g 9,81 N / kg dépende de l'altitude et de la latitude

-          On peut considérer que le champ de pesanteur est quasiment uniforme dans une région dont les dimensions sont de l’ordre de quelques kilomètres.

II- La poussée d’Archimède.

1)- Expérience : Solide suspendu à un ressort (dynamomètre) que l’on immerge dans un liquide.

2)-  Expression de la Poussée d’Archimède.

Tout corps immergé dans un fluide est soumis à une force verticale , orientée vers le haut, de valeur égale au poids du volume V de fluide déplacé par le corps immergé.

-          Caractéristiques : 

    

Point d'application : 

centre de poussée C

Direction : 

verticale du lieu passant par C

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

  π = ρ 0 .V. g exprimée en newton (N)

π  : Poussée d'Archimède en Newton N

ρ 0 : Masse volumique du fluide déplacé en kg / m 3

V  : Volume du fluide déplacé en  m 3

g  : Facteur d’attraction terrestre : g = 9,81 N / kg

-          Le centre de poussée C est située au centre d’inertie du fluide déplacée. Pour un solide homogène, C et G sont confondus.

-          Remarque : La poussée d’Archimède exercée par un gaz sur un solide compact peut être négligée devant le poids d’un solide. 

-          C’est le cas d’une bille d’acier en mouvement dans l’air. Cette approximation n’est pas possible dans le cas d’un liquide.

III- Chute verticale avec frottement. (TP Physique N° 11).

1)- Expérience.

-          On lâche la bille sans vitesse initiale dans l’huile contenue dans une grande éprouvette graduée de 500 mL.

-          La chute de la bille a été enregistrée par chronophotographie.

-          La caméra prend 50 images par seconde.

 

Données :

Diamètre de la bille : D =  10mm

Masse de la bille : m = 4,08g

Masse volumique de la bille : ρ = 7563 kg.m – 3

Masse volumique de l’huile : ρ 0 =  920 kg.m – 3

Entre la graduation 50mL et 500mL ,on a d = 24,2cm

τ = 1/50 s

1)- Dans quel référentiel étudie-t-on le mouvement de la bille ?

2)- Décrire le mouvement de la bille dans ce référentiel.

3)- Déterminer la valeur de la vitesse instantanée aux temps t 8 et t 14.

4)- À partir de quelle position peut-on dire que les forces qui agissent sur la bille ont des effets qui se compensent ?

On appelle vitesse limite, la vitesse de la bille à partir de cette position.

5)- Déterminer la valeur v lim de cette vitesse limite par deux méthodes.

2)- Conclusions.

a)-     Existence d’une force de frottement.

-          La bille chute sans vitesse initiale. 

-          Dans un premier temps, la valeur de la vitesse v G augmente, puis elle atteint une vitesse limite.  

-          Il existe une force de frottement  due au fluide.

b)-     Résultants importants :

-          La force de frottement est toujours colinéaire et de sens contraire au vitesse  du centre d’inertie du solide.

-          Elle dépend de la forme et de l’état de surface du solide.

-          Elle dépend de la viscosité η d’un fluide en Pa.s.

-          Elle dépend de la valeur v G de la vitesse du centre d’inertie.

-          Remarque : les liquides sont plus visqueux que les gaz car l’état liquide est un état condensé et l’état gazeux un état dispersé. 

-          La viscosité η d’un fluide dépend aussi de la température.

Liquide à 20 ° C

eau

huile

Glycérol

Viscosité (x 10 – 3 Pa.s)

1,01

100

1000

Gaz à 20 ° C

dioxygène

diazote

air

Viscosité (x 10 – 3 Pa.s)

1,9 x 10 – 2

1,7 x 10 – 2

1,8 x 10 – 2

c)-     Expressions de la force de frottement .

-          On peut distinguer deux grandes lois de variation pour la valeur de la force de frottement  fluide f.

-          Lorsque la vitesse limite atteinte est « faible », la force de frottement fluide est de la forme f = k . v G

-          La constante k dépend de la viscosité du fluide et de la forme du solide. 

-          Exemple : pour une sphère de diamètre d tombant dans un fluide de viscosité η :  

-          k = 3 π . η . d

Formule de STOCKES : k = 6 π η

-          Lorsque la vitesse limite atteinte est « grande », la force de frottement fluide est de la forme : f = k . vG2

-          La constante k ne dépend pas de la viscosité du fluide mais de la forme du solide.

-         Exemple : pour une sphère de diamètre d tombant dans un gaz de masse volumique  ρ 0 :  

-         

3)- Équation différentielle du mouvement.

a)-     Bilan des forces.

-          Système : bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-          Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère

-           avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

 

-          Au cours de la chute, la bille est soumise à

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g exprimée en newton (N)

    

Point d'application : 

centre de poussée C

Direction : 

verticale du lieu passant par C

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

  π = ρ 0 .V. g  

Exprimée en newton (N)

    

Point d'application : 

centre d'inertie C'

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

f  

(variable) exprimée en newton (N)

b)-     Deuxième loi de Newton.

-          Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :

-         

c)-     étude qualitative du mouvement.

-          Au départ, la valeur de la force de frottement est nulle.

-          Le poids étant supérieur à la poussée d’Archimède, la bille tombe avec une vitesse croissante.

-          Au cours de la chute, la valeur de la force de frottement fluide, qui s’oppose au mouvement, augmente.

-          La valeur de la vitesse continue à augmenter mais de moins en moins rapidement.

-          Si la durée de la chute est suffisante, la bille atteint une vitesse limite.

-          Alors la vitesse de la bille est constante.

-          La bille est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.

-          Elle est soumise à des actions dont les effets se compensent : c’est la réciproque du principe de l’inertie.

d)-     Équation différentielle du mouvement.

-          Notations : V volume de la bille ; ρ masse volumique de la bille et ρ 0 masse volumique du fluide et f = k.v n  

-          avec n = 1 ou 2.

ρ : masse volumique du solide

ρ 0 : masse volumique du fluide

 

-          On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-         

-          De l’expression (2), on tire : ρ . V . g - ρ 0 . g . V - k . vxn= ρ . V . ax   (3)

-          Pour obtenir une expression plus simple, on pose :

-          Pour obtenir une expression plus simple, on pose :

-           

-          D’autre part :

4)- Étude analytique.

a)-     La force de frottement fluide est de la forme : f = k.v.

-          On pose : v x = v et on remplace dans l’équation (2).

-         

-          On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre qui admet une solution du type :

-           où A, B et k 1 sont des constantes.

-         

-           

-          cette équation est vérifiée quelle que soit la valeur de t.

-         

-          Au temps t = 0, la vitesse de la bille est nulle :

-          Expression  de la vitesse en fonction du temps :

-           

-          expression de la vitesse limite.

-          Si la durée de la chute est suffisante, la bille atteint une vitesse limite. Alors :

-         

-          en conséquence :

-          Comme dans le cas des dipôles (R, L) et (R, C) on définit une constante de temps notée τ telle que :

-           avec

-          Le mobile possède un régime initial ou transitoire pendant que la vitesse varie :

-         

-          Au bout du temps τ, la vitesse du mobile est 63 % de sa vitesse limite et au bout du temps 5 τ, le mouvement du mobile est pratiquement uniforme, le régime permanent est atteint :

-         

b)-     La force de frottement fluide est de la forme : f = k.v 2.

-          L’équation différentielle est de la forme :

-           Équation différentielle : Pour aller plus loin

-          équation différentielle du premier ordre non linéaire avec deuxième membre.

-          On peut résoudre cette équation par une méthode numérique itérative : la méthode d’Euler.

-          De la même façon que précédemment, on peut calculer la valeur de la vitesse limite.

-         

-          Au bout d’une durée plus ou moins longue, le régime permanent est atteint, la vitesse de la bille est uniforme.

5)- Résolution de l’équation par une méthode itérative : la méthode d’Euler.(TP physique N° 11).  

a)-     Résolution de .

-          On se propose de résoudre numériquement l’équation différentielle (2’) par la méthode d’Euler.

-          Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f(t) et d’en déduire une représentation graphique.

-          À condition de choisir dt suffisamment petit, on peut écrire que :

-          Or dv représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée dt.

-          Si on connaît les valeurs de α et b et les conditions initiales, on peut trouver de proche en proche les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps.

-          Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t 0 =  0, v = v 0.

-          On choisit une valeur de δt suffisamment petite : c’est le pas du calcul.

-          À la date t 1 t 0δt,  la vitesse est devenue : v 1 v 0δv 0 avec

-           

-          en conséquence :

-          Cette valeur est calculable puisque les valeurs α, b et v 0 sont connues.

-          On procède de la même façon pour le calcul de v 2.

-          À la date t 2 t 1δt,  la vitesse est devenue : v 2 v 1δv 1 = v 1 + (b α.v 1).δt.

-          À la date t n+1 t nδt,  la vitesse est devenue : v n+1 v nδv n = v n + (b α.v n).δt.

-          On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt.

-          On peut ainsi obtenir la représentation graphique de v en fonction du temps t.

-          L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.

-          Si on connaît les conditions initiales et les grandeurs α et b, il est possible de résoudre l’équation différentielle du mouvement par une méthode itérative.

-          On peut améliorer la précision des calculs en choisissant un pas de calcul δt  plus petit, mais cela impose un grand notre de calculs.

-          Il faut disposer d’une calculatrice graphique ou d’un tableur.

-          Lors de la séance de travaux pratique, on utilise un tableur (TP physique N° 11).

b)-     Comparaison des résultats expérimentaux et des résultats obtenus par la méthode d’Euler.

-          On peut, en comparant la courbe expérimentale à celles obtenues par la méthode d’Euler, vérifier si le modèle choisi pour l’expression de la force de frottement est correct.

IV- Étude d’une chute libre verticale.

1)- Définition.

-          On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids .

I    Expérience.

-          On prend une feuille de papier que l'on plie. Lorsque la surface de la feuille devient petite, on s'aperçoit que celle-ci tombe suivant une ligne verticale.

-          On peut considérer que les objets de petites tailles se déplaçant sur une faible distance sont en chute libre.

2)- Équation différentielle du mouvement.

-          Bilan des forces s’exerçant sur le solide :

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g exprimée en newton (N)

P poids en Newton N

m la masse en kg et 

g le facteur d’attraction terrestre : g = 9,81 N / kg

-          On étudie le mouvement du solide dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-          La position du solide est repérée à chaque instant dans le repère orthonormé :

-          À l’instant t = 0, les coordonnées du point G sont données par le vecteur position :

-         

-          On lâche le solide sans vitesse initiale :  

-          Expression du vecteur champ de pesanteur dans le repère R :

-          Conséquence de l'application du théorème du centre d'inertie (deuxième loi de Newton).

-         

-          L’équation (1) permet de déterminer les équations différentielles du mouvement.

-         

-          Coordonnées du vecteur accélération :

-          équation horaire du mouvement.

-          Coordonnées du vecteur vitesse.

-          On utilise la relation . On cherche les primitives des équations précédentes.

-          Il apparaît des constantes qui sont liées aux conditions initiales.

-          On déduit :

-          Coordonnées du vecteur vitesse :

-          Coordonnées du vecteur position. On opère de la même façon :

-          Des équations (a’), (b’) et (c’), on déduit en utilisant les conditions initiales :

-         

-          Coordonnées du vecteur position :

3)- Conclusion.

-          Récapitulatif : objet en chute libre sans vitesse initiale.

Vecteur position

Vecteur vitesse  

Vecteur accélération  

-          L’accélération du mouvement est indépendante de la masse m du solide.

-          La vitesse du centre d’inertie est proportionnelle au temps.

-          Le centre d’inertie G du solide est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié.

V- Applications. Exercices : 10, 11, 14, 19, 20 pages 264 – 268.

1)- Exercice 10 page 264  .

2) - Exercice 11 page 265 .

3) - Exercice 14 page 265 .

4)- Exercice 19 page 267. 

5) - Exercice 20 page 267. .