Phys. N° 10

Chute verticale

d'un solide :

Exercices.

Correction.

 

   

 
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Programme 2012 :

 Cinématique et dynamique newtoniennes

Applications des lois de Newton et Kepler

Travail et énergie

Programme 2012 : Physique et Chimie

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

Force ; poids ; poussée d'Archimède ; Archimède ;

frottements visqueux ; frottements solide ;

chute libre ; formule de Stockes; ...

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1)- Exercice 10 page 264  .

2) - Exercice 11 page 265.

3) - Exercice 14 page 265 .

4) - Exercice 19 page 267.

5) - Exercice 20 page 267..

1)- Exercice 10 page 264.

Une gouttelette d’eau sphérique de rayon r = 10 μm

tombe verticalement dans l’air avec une vitesse constante v0.

La valeur de la force de frottement fluide exercée par l’air,

proportionnelle à v0, est donnée par la formule de STOCKES :

f = 6 π η air r v0, où ηair est la viscosité de l’air.

Déterminer la valeur de v0.

Données : ηair = 1,80 x 10 – 5 Pa . s ;

ρeau = 1,00 x 10  3 kg . m– 3 

ρair = 1,29 kg . m– 3 ; g = 9,80 m . s.

 

 Solution :

-  Système : gouttelette d’eau dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel :

le mouvement étant rectiligne,

on choisit le repère  avec

le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la gouttelette est soumise à

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g = ρ eau .V. g  

exprimée en newton (N)

    

Point d'application : 

centre de poussée C

Direction : 

verticale du lieu passant par C

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

  π = ρ air .V. g  

Exprimée en newton (N)

    

Point d'application : 

centre d'inertie C'

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

f  = 6 π η air .  r . v  = k . v

(variable) exprimée en newton (N)

a)- On considère que la bille est animée
d’un mouvement rectiligne uniforme
en conséquence d’après la
réciproque du principe de l’inertie

.

Principe de l'Inertie

-  Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur un système est égale au vecteur nul, son centre d’inertie G est animé d’un mouvement rectiligne uniforme.

-  Réciproquement, dans un référentiel galiléen, si le centre d’inertie G d’un système est animé d’un mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur le système est égale au vecteur nul :

 

-  

-  on en déduit que :

-  

-  Volume de la gouttelette :

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-  

b)-  Deuxième méthode (plus longue, mais elle permet de réviser).

On considère qu’au temps t, la gouttelette se déplace à la vitesse v.

-  La deuxième loi de Newton appliquée à la gouttelette permet d’écrire :

-  

-  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :

-  

-  On projète la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

- 

-  Pour obtenir une expression plus simple, on pose :

-  

-  D’autre part :

-  On pose  vx = v

-  Plus simplement :

-  Lorsque la vitesse limite v0 est atteinte,

- 

-  Application numérique :

-  Volume de la gouttelette :

- 

 

2)- exercice 11 page 265.

Une bille d’acier de rayon r = 5,00 mm tombe verticalement

dans l’eau à vitesse constante de v0.

La force de frottement fluide exercée par l’eau a pour expression :

 F = K A ρeau v02

η  air est la viscosité de l’air

A = π . r2  est la surface de la section droite de la bille et

K un coefficient constant qui dépend de la forme du solide.

- Déterminer la valeur de v0.

Données : 

ρ acier = 7,80 x 103 kg . m– 3 ;

ρeau = 1,00 x 10 3 kg . m– 3 

K = 0,200 ; g = 9,80 m . s– 2 .

 

Solution :

-  Système : bille d’acier dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère  avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la bille d’acier est soumise à

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g = ρ acier .V. g  

exprimée en newton (N)

    

Point d'application : 

centre de poussée C

Direction : 

verticale du lieu passant par C

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

  π = ρ eau .V. g  

Exprimée en newton (N)

    

Point d'application : 

centre d'inertie C'

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

f  = K . A . ρ eau .  v 0 2  = k . v02

(variable) exprimée en newton (N)

 

-  On considère que la bille est animée d’un mouvement rectiligne uniforme en conséquence d’après la réciproque du principe de l’inertie.

-  

-  on en déduit que :

-  

-  Volume de la gouttelette :

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-  

-  Application numérique :

-  

 

3)- exercice 14 page 265.

On abandonne une bille d’acier de diamètre d = 3,00 mm sans vitesse initiale dans l’air ou dans un mélange d’eau et de glycérol contenu dans une éprouvette transparente de hauteur h = 80 cm.

1)- On étudie la chute de la bille dans l’air.

a)- Quel est le mouvement du centre d’inertie de la bille dans le référentiel terrestre pour une hauteur de chute de l’ordre de 1 m ?

b)- Imaginer une expérience simple pour vérifier que le centre d’inertie de la bille a un mouvement de chute verticale.

c)- Peut-on, à l’aide d’un double mètre à ruban et d’un chronomètre au 1 /10e de seconde, étudier précisément l’évolution de la vitesse moyenne de la bille pour des hauteurs de chute comprises entre 10 cm et 150 cm ? Si, oui, déterminer la durée correspondant à une chute de 20 cm, et recommencer trois fois l’expérience ; comparer les résultats obtenus et conclure.

d)- En utilisant un dispositif adéquat, on obtient les positions z (t) du centre d’inertie de la bille à intervalles de temps égaux au cours de la chute ; puis en dérivant numériquement z (t) avec un logiciel, on obtient les valeurs de la vitesse v (t). Les graphes z (t) et v (t) sont reproduits sur l’écran ci-dessous.

-  La vitesse de la bille est-elle proportionnelle au temps, une fonction affine du temps, ou une fonction plus complexe ?

-  Pour des valeurs de t beaucoup plus grandes (et donc des hauteurs de chute beaucoup plus grandes), le graphe v (t) conserverait-il la même allure ? Expliquer pourquoi.

2)- On étudie la chute de la bille dans le mélange liquide.

a)-     La bille a-t-elle un mouvement uniformément accéléré ? Pourquoi ?

b)-     Proposer une expérience permettant de mesurer la vitesse limite atteinte par la bille. (on suppose que la vitesse limite est atteinte au bout de 20 cm de chute environ).

 

 

Solution :

1)- Chute de la bille dans l’air.

a)- Mouvement du centre d’inertie de la bille :

On peut considérer que la bille est en chute libre car la hauteur de la chute est petite (h = 80 cm) .

-  On peut négliger les forces de frottement dues à l’air.

La bille est petite et dense : bille d’acier de diamètre d = 3,00 mm.

-  La position du solide est repérée à chaque instant dans le repère orthonormé :

-  z'Oz axe vertical orienté vers le bas et y'Oy axe horizontal orienté de droite à gauche.

-  Les vecteurs  forment un trièdre direct.

-  On choisit comme origine des espaces le point O et l'origine des dates l'instant ou la balle occupe la position O.

-  Conséquence de l'application du théorème du centre d'inertie (deuxième loi de Newton).

-  

-  L’équation (1) permet de déterminer les équations différentielles du mouvement.

-  

-  Coordonnées du vecteur accélération :

-  Coordonnées du vecteur vitesse :

-  Coordonnées du vecteur position :

-  La bille est animée d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

b)-  Expérience qui permet de vérifier que la direction du mouvement est la verticale du lieu.

-  On repère sur le sol à l’aide du fil à plomb le point A du plan qui appartient à la verticale passant par le point O d’où la bille est lâchée.

-  Schéma :

c)- Si on utilise un chronomètre manuel, on peut considérer que la précision est de l’ordre de 1 / 10 de seconde en tenant compte du temps de réaction de l’opérateur.

-  Si la hauteur de chute est de 20 cm, on peut calculer la durée mise par la bille pour atteindre le sol :

-   

-  En conséquence, la valeur de la mesure est du même ordre de grandeur que l’erreur commise. 

-  Le chronomètre manuel est mal adapté pour cette étude.

d)- Étude de la vitesse :

-    

-  en conséquence vG = a . t la valeur de la vitesse est proportionnelle au temps (courbe bleue).

-  Pour des hauteurs de chute plus grandes, on ne peut plus négliger les forces de frottement dues à l’air.

-  La vitesse n’est plus proportionnelle au temps mais tend vers une asymptote horizontale.

2)- Chute de la bille dans le mélange eau-glycérine.

a)- Mouvement de la bille :

Dans le mélange eau-glycérol, on ne peut plus négliger les forces de frottement dues au fluide.

-  La valeur de la vitesse augmente dans un premier temps, puis atteint une valeur limite.

-  Lorsque la valeur limite de la vitesse est atteinte, la bille est animée d'un mouvement rectiligne uniforme.

b)- Expérience : On peut faire une étude chronophotographique du mouvement de la bille dans le mélange.

-  On filme la chute de la bille.

On étudie l’enregistrement à l’aide d’un logiciel qui permet de repérer la position du centre d’inertie de la bille pour chaque image.

-  On peut ainsi connaître la position du centre d’inertie de la bille à chaque instant.

-  On peut ensuite en déduire la valeur de la vitesse à chaque instant et retrouver ainsi la vitesse limite atteinte par la bille.

 

 

 

4)- Exercice 19 page 267 : Chute d’une sphère.

On étudie dans un référentiel terrestre supposé galiléen, le mouvement d’une sphère tombant verticalement dans un champ de pesanteur. La sphère est abandonnée, sans vitesse initiale, d’un point O situé à l’altitude h, suffisamment petite par rapport au rayon de la Terre pour que la valeur de g du champ de pesanteur soit considérée comme constante au cours du mouvement et égale à sa valeur au sol :  g0 = 9,80 m . s– 2 .

La poussée d’Archimède est négligeable et la sphère n’est soumise qu’à l’action de son poids  et à la résistance de l’air . Au cours du mouvement,  est verticale, orientée vers le haut, et sa valeur est nulle au moment où la sphère est lâchée et augmente lorsque la vitesse augmente.

Le graphique ci-dessous donne l’allure des variations de la vitesse en fonction du temps, v 1 étant la vitesse limite atteinte par la sphère.

2)- Étude de la courbe.

a)- En observant la courbe v = f (t), indiquer comment varie l’accélération du mouvement en fonction du temps.

b)- Interpréter cette variation.

c)- Quelle doit être la valeur du coefficient directeur de la tangente à cette courbe à l’instant initial ?

3)- Lorsque la sphère a atteint sa vitesse limite, la valeur de la résistance de l’air  est-elle supérieurs, inférieure ou égale à la valeur du poids  ?

4)- Si la sphère avait été lancée du point O avec une vitesse initiale  dirigée vers le sol avec une vitesse supérieure à la vitesse v1, la vitesse de la sphère aurait-elle augmenté ou diminué au cours du mouvement de chute verticale ?

 

Solution :

1)- Étude de la courbe.

a)- Variation de l’accélération du mouvement.

-  Système : bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel : le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère  avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la bille est soumise à

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g  

exprimée en newton (N)

 

    

Point d'application : 

centre d'inertie C'

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

R = (variable)  

exprimée en newton (N)

-  La deuxième loi de Newton : 

-  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :

- 

-  On projette la relation (1) sur l’axe x’Ox , on obtient l’équation suivante :

-  

-  Comme , la valeur de l’accélération au temps t est donnée par la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe v = f (t) à l’instant t considéré. 

-  La pente de la tangente à la courbe v = f (t) diminue au cours du temps. 

-  En conséquence, l’accélération diminue au cours du temps et s’annule lorsque la courbe tend vers une asymptote horizontale.

b)-     Le la relation 

-  Lorsque la vitesse de la sphère augmente, la résistance de l’air augmente et l’accélération diminue.

c)- À l’instant t = 0 => R = 0 => aG = g. 

-  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe v = f (t),

au temps t = 0, est égal à g0= 9,80 m . s – 2 .

2)- Lorsque la vitesse limite v1 est atteinte, le mouvement de la sphère est rectiligne uniforme.

-  En conséquence, d’après la réciproque du principe d’inertie :

-  

3)- Si la valeur initiale de la vitesse est supérieure à la vitesse limite v1, la valeur de la vitesse de la bille va diminuer pour tendre asymptotiquement vers la valeur v1.

 

 

5)- Exercice 20 page 267 : Chute d’une bille avec frottement.

On se propose d’étudier la chute d’une petite bille d’acier dans l’air et dans un liquide visqueux, la glycérine. On admet que la bille, dont le centre est animé d’un mouvement de vitesse , est soumise dans un fluide (liquide ou gaz) à :

-  Son poids : , où m est la masse de la bille et  le vecteur champ de pesanteur ;

-  La poussée d’Archimède : , où r’ est la masse volumique du fluide et V le volume de la bille ;

-  La résistance au mouvement, force complexe qui, dans les conditions de l’expérience, est donnée par la formule de STOCKES : , où η est la viscosité du fluide, grandeur caractéristique indépendante de la vitesse

Le mouvement est observé dans une éprouvette en verre de forme parallélépipédique (de section horizontale carrée et de hauteur 30 cm environ). La bille est lâchée sans vitesse initiale dans le fluide à partir du point O, pris comme origine de l’axe z vertical et orienté vers le bas, et descend d’un mouvement rectiligne.

1)- Étude du mouvement de la bille dans l’air.

a)- On commence par négliger les forces autres que le poids de la bille. Utiliser la deuxième loi de Newton pour trouver les expressions de la vitesse instantanée u (t) et de la coordonnée instantanée z (t) du centre de la bille.

b)- La cote z vaut au maximum 30 cm. Calculer la vitesse maximale de la bille et montrer que les forces autres que le poids peuvent être négligées.

2)- Étude du mouvement dans la glycérine.

a)- On tient compte des trois forces , . Appliquer la deuxième loi de Newton à la bille pour trouver l’équation différentielle liant u (t) à sa dérivée par rapport au temps. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :

- 

b)- Quelle l’unité permet d’exprimer la constante t ?

c)- L’expérience est réalisée. Il est facile de s’apercevoir que le mouvement de la bille devient rapidement (c’est-à-dire au bout d’une distance très faible) rectiligne uniforme de vitesse Ul qui est de l’ordre de quelques centimètres par seconde. Comment vérifier expérimentalement ces phénomènes et mesurer la vitesse Ul?

d)- Vérifier que u(t) = Ul est solution de l’équation différentielle trouvée à la question 2.a)-  à condition qu’in existe une relation entre Ul , C et τ.

e)- Les mesures donnent Ul = 4,2 cm / s. Quelle valeur de η peut-on déduire de cette mesure ?

f)- Un logiciel de simulation donne pour u et z fonctions du temps, les graphes joints ci-après. Ceux-ci sont-ils conformes aux résultats expérimentaux ? Comment vérifier sur le graphe de z(t) l’existence d’une vitesse limite de 4,2 cm / s ?

Données :

-  rayon de la bille d’acier R = 1,5 x 10 – 3  m.

-  Volume de la ville :

-  Masse de la bille : m = ρ V  1,1x 10 – 4  kg

-  Intensité de la pesanteur : g 10 m . s– 2 

-  Masse volumique de l’acier : ρ  = 7,8 x 10 3 kg . m

-  Masse volumique de l’air : ρ0 = 1,3  kg . m

-  Masse volumique de la glycérine: ρ = 1,26 x 10 3 kg . m– 3 

-  Viscosité de l’air : ; η = 1,85 x 10 – 5  kg . m 1. s – 1

-  Viscosité de la glycérine : ; η = 1,0 kg . m– 1. s – 1  

 

Solution :

1)- Mouvement de la bille dans l’air.

a)- La bille n’est soumise qu’à son poids .

Elle est en chute libre.

-  Système : bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel :

le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère  avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la bille est soumise à

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g  

exprimée en newton (N)

-  La deuxième loi de Newton appliquée au système dans le référentiel d’étude permet d’écrire :

-  

-  à chaque instant, le vecteur accélération a  :

-  même direction, 

-  même sens 

-  et même valeur que le vecteur champ de pesanteur.

-  Dans le repère lié au référentiel d’étude, on peut donner les expressions de la vitesse instantanée u (t) et de la coordonnée instantanée z (t).

-  Le mouvement de la bille est rectiligne (voir énoncé) sa direction est donnée par l’axe z’Oz.

-  Expression de l’accélération : az = a = g   (1)

-  L’expression u (t) est une primitive de a qui est une constante.

En tenant compte des conditions initiales :

-  u (t) = g t    (2)

-  L’expression de z (t) est une primitive de u (t).

En tenant compte des conditions initiales :

-    (3)

-  Dans l’air, la bille est animée d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

b)- Vitesse maximale de la bille :

-  En utilisant les relations (2) et (3) :

-  

-  Il faut comparer les valeurs de P, F et P.

-  

-  On peut négliger les effets de F et P devant celui de P.

2)- Mouvement dans la glycérine.

a)-  Équation différentielle :

-  Système : bille dans un référentiel terrestre supposé galiléen.

-  Repère lié au référentiel :

le mouvement étant rectiligne, on choisit le repère  avec le vecteur  vertical et orienté du haut vers le bas.

-  Au cours de la chute, la bille est soumise à

    

Point d'application : 

centre d'inertie G

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du haut vers le bas

Valeur :  

P = m . g  = ρ .V. g

exprimée en newton (N)

 

    

Point d'application : 

centre de poussée C

Direction : 

verticale du lieu passant par C

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

  π = ρ' .V. g  

Exprimée en newton (N)

 

    

Point d'application : 

centre d'inertie C'

Direction : 

verticale du lieu passant par G

Sens : 

du bas vers le haut

Valeur :  

F  = 6 π η .  R . u 

(variable) exprimée en newton (N)

-  Deuxième loi de Newton.

-  Le vecteur accélération vérifie à chaque instant dans le référentiel terrestre l’équation suivante :

-  

-  Dans le repère lié au référentiel d’étude, on peut donner les expressions de la vitesse instantanée u (t) et de la coordonnée instantanée z (t).

-  Le mouvement de la bille est rectiligne (voir énoncé) sa direction est donnée par l’axe z’Oz.

-  

-  En posant :

b)-  Unité de la grandeur τ :

-  Remarque : l’expression :

[C] représente la grandeur physique et l’expression :

(m / s2) représente l’unité.

-    d’autre part : [u] = (m / s)  

-  

-  La grandeur τ s’exprime en seconde (s).

c)- Mesure de la vitesse limite Ul.

-  On peut faire une étude chronophotographique. 

-  Lorsque la vitesse limite est atteinte, la bille parcourt des distances égales pendant des durées égales. 

-  On peut vérifier que :

d)- Vérification de la solution particulière.

-  Lorsque la vitesse limite est atteinte :

e)- Valeur de la viscosité de la glycérine.

-  

-  Remarque :

Dans l’énoncé, la valeur donnée est  : η = 1,0 kg . m – 1. s – 1 !!!

f)- Vérification de la vitesse limite à partir du graphe z (t).

-  On utilise le fait que .

Lorsque la vitesse limite est atteinte, la vitesse est constante et z est alors une fonction du premier degré par rapport au temps.

La fin de la courbe est assimilable à une portion de droite.

La valeur de la vitesse limite est donnée par le coefficient directeur de cette portion de droite.

-  Il est préférable d’utiliser le graphe de u (t) car pour connaître la vitesse limite, il faut tracer l’asymptote horizontale à la courbe u = g (t).

-  Ici on trouve que vlim 0,042 m / s.