Phys. N° 12

Satellites et Planètes. Cours.

 

 

I- Lois de Kepler.

II- Le système Solaire.

III- Mouvements des planètes et des satellites.

IV- Application.

 Exercice 12 page 306

Exercice 21 page 308

Exercice 22 page 309

 Exercice 24 page 309

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

  Lois de Kepler ; le système solaire ; mouvements des planètes ; mouvements des satellites  ; la force gravitationnelle ; ...

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I- Lois de Kepler.

1)- Historique.

-          Pour Ptolémée (II e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde.

-          Copernic est  à l’origine du système héliocentrique (1543). 

-          Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil.

-          Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahé (1546 – 1601) formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

2)- Les lois de Kepler.

a)-     Première loi : la loi des trajectoires

-          Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.

-          Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.

-          Définition d’une ellipse : une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : 

-          r 1 + r 2 = 2 a

-          Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a. La distance entre les deux foyers est 2 c.

-          Schéma : animation

b)-      Deuxième loi : Loi des aires.

-          Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

-          Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil. 

-          En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

animation  : CABRIJAVA

 c)-     Troisième loi : Loi des périodes.

-          Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :

-          .

-          Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète. Si  la trajectoire est circulaire, on peut écrire que :  

-          .

II- Le système Solaire.

1)- Planète et Satellite.

-          Les neuf Planètes gravitent approximativement dans le même plan autour d’une étoile centrale : 

-          Le Soleil. Ce plan qui contient le centre du Soleil est appelé : Plan de l’écliptique.

-           Le système Solaire comprend :  le Soleil,   les planètes ( Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton) et des satellites naturels ou artificiels.

 

-          Les trajectoires des planètes sont des ellipses très voisines de cercles (sauf pour Pluton qui joue un rôle un peu particulier).

-          Dans le référentiel Héliocentrique, le mouvement du centre d ‘une planète autour du Soleil est quasiment circulaire. Le centre de chaque trajectoire circulaire coïncide presque avec le centre du Soleil.

-          La Terre possède un seul satellite naturel (la Lune) et un nombre important de satellites artificiels.

2)- Loi de gravitation Universelle.

-          Deux corps ponctuels A et B de masses respectives m A et m B exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction,  

-          directement opposées, 

-          dirigées suivant la droite (AB)

-          de valeur proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance r.

-          Schéma :

 

-          Expression vectorielle :

-         

-          Principe de l’action et de la réaction :

-         

-          G est la constante de gravitation Universelle : G » 6,67 x 10 – 11  m 3 x kg – 1  x s – 2 .

-          La loi de gravitation Universelle s’applique au corps à répartition sphérique de masse comme les planètes.

-          Application :  Calculer  la valeur des forces d’attraction Soleil –Terre et Terre–Soleil. Pourquoi une seule de ces actions est perceptible ? Laquelle ?

-          Données :

M S = 1,98 x 10 30 kg

M T = 5,98 x 10 24 kg

r ST = 149,5 x 10 6 km

G 6,67 x 10 – 11  S.I 

-          Valeur des forces : d’après le principe de l’action et de la réaction :

-         

-          L’action du Soleil sur la Terre est perceptible car :

3)- Le référentiel héliocentrique.

-          C’est un solide imaginaire constitué par le centre S  du Soleil et de 3 axes d’origine S parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.

-          Le référentiel héliocentrique est galiléen.

-          On peut considérer que les planètes du système solaire ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel héliocentrique.

4)- Le référentiel géocentrique.

Animation : CABRIJAVA

-          C’est un solide imaginaire constitué par le centre T de la Terre et de 3 axes d’origine T parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.

-          Le référentiel géocentrique est galiléen pour des durées d’étude inférieures à 365 j.

-          Il n’est pas entraîné  dans le mouvement de rotation de la Terre. Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation de période T = 24 h.

-          On peut considérer que les satellites de la Terre ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

III- Mouvements des planètes et des satellites.

1)- Le mouvement circulaire uniforme.

a)-     Caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.

-          Considérons un point mobile M animé d’un mouvement circulaire uniforme.

-          La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R  et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.

-          Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

-         

-           désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-           désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers  le centre O du cercle.

Animation : CABRIJAVA

-          Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré . Le vecteur vitesse change de direction à chaque instant.

-          Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver cette expression par rapport au temps.

-           (1) ceci se dérive comme un produit.

-          Le vecteur accélération peut se décomposer de la façon suivante :

-          R est le rayon de la trajectoire circulaire.

-          En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :

-          Accélération tangentielle qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse.

-          Accélération normale qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.

-          Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-         

-          L’accélération est radiale et centripète. Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.

2)- Satellites terrestres.

-          Application : on étudie le mouvement d’un satellite de la Terre dans le référentiel géocentrique. 

-          Ce satellite a une masse m et son centre d’inertie est situé à la distance R du centre de la terre. La masse de la Terre est notée : M T.

-          Quelles sont les caractéristiques de la force d’attraction gravitationnelle qu’il subit ? En déduire celles de son accélération. 

-          On néglige les forces d’attraction gravitationnelle exercées par les planètes voisines et par le Soleil.

-          Que se passe-t-il lorsque la trajectoire du satellite est circulaire ? Donner l’expression de sa vitesse dans le référentiel géocentrique.

-          On note R = R T + h, ou h désigne l’altitude du satellite. Comment varie la valeur de la vitesse en fonction de l’altitude ?

-          Donner l’expression et calculer la vitesse et la période de la station orbitale ISS de masse m = 415 t

-          et d’altitude h = 400 km (R T = 6380 km ; M T = 5,98 x 10 24  kg ; G = 6,67 x 10 – 3  m 3.s – 2 .kg).

-          Correction : 

-      Le satellite S est soumis à une force gravitationnelle exercée par la Terre T.

-          Expression vectorielle de la force :

-          Dans le référentiel géocentrique, on applique la deuxième loi de Newton :

-         

-          Pour simplifier l’étude, on travaille dans le repère de Frenet :

-          On remarque que .

-          L’expression de l’accélération dans ce repère :

-          Dans le référentiel géocentrique, l’accélération du centre d’inertie du satellite est indépendante de sa masse.

-          Le vecteur accélération est centripète.

-          Si la trajectoire du satellite est circulaire, alors

-          puisque dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-         

-          En identifiant :

-          Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d’un satellite en orbite circulaire est uniforme.

-          Sa vitesse dépend de l’altitude mais est indépendante de sa masse m.

-         

-          La vitesse diminue lorsque l’altitude augmente.

-          Valeur de la vitesse :

-         

-          Expression de la période : durée nécessaire pour effectuer un tour :

-         

-          Valeur de la période.

-         

3)- Le Satellite géostationnaire.

-          Un Satellite Géostationnaire est un Satellite qui reste toujours à la verticale d’un même point P de la Terre. 

-          Le plan de l’orbite dans le référentiel géocentrique est le plan équatorial.

-          Quelle est la période de révolution d’un tel Satellite  ?

-          En déduire l’altitude h d’un Satellite géostationnaire.

-          Période de révolution d’un Satellite Géostationnaire :

-          C’est la durée pour effectuer un tour dans le référentiel géocentrique : c’est la durée d’un jour sidéral

-          1 j = 86164 s = 23 h 56 min 4 s

-          altitude de révolution d’un Satellite Géostationnaire : 

-         

-         

IV- Application.

1)- Détermination de la masse d’une planète.

Lorsqu’un Satellite est animé d’un mouvement circulaire, autour d’une planète de masse M, le rayon r de son orbite et la période T de son mouvement vérifient la troisième loi de Kepler : 

-         

a)-     Les Satellites géostationnaires de la Terre ont une orbite circulaire de rayon r G = 42164 km et une période T G = 86164 s. Calculer la masse M T de la Terre.

b)-     Mars a deux Satellites naturels, Phobos et Deimos. Phobos gravite à  la distance r p = 9380 km du centre de Mars avec une période T p = 7 h 39 min.

-          Deimos a une trajectoire quasi circulaire de rayon  r D = 23460 km et une période de révolution T D = 30 h 18 min.

-          Calculer la masse M M de la planète Mars à partir des caractéristiques du mouvement de Phobos et de Deimos.

-          Comparer les valeurs obtenues.

c)-     Au cours de la mission APOLLO XVII en 1972, le module de commande en orbite autour de la Lune à une distance de 2040 km du centre de celle-ci, avait une période de 8240 s dans le référentiel Sélénocentrique.

-          Calculer la masse de la Lune.

Solution :

-          Masse de la Terre  :

-         

-          Masse de la planète Mars : En utilisant les caractéristiques de Phobos.

-         

-          en utilisant les caractéristiques de Deimos.

-         

-          Comparaison des valeurs :

-         

-          incertitude relative :

-          Masse de la Lune  :

-         

2)- exercices : 

 Exercice 12 page 306

Exercice 21 page 308

Exercice 22 page 309

 Exercice 24 page 309