Phys. N° 12

Satellites

et Planètes. 

Cours.

   

 

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Programme 2012 :

Applications des lois de Newton et Kepler.

Programme 2012 : Physique et Chimie

I- Lois de Kepler.

1)- Historique.

2)- Les Lois de Kepler.

II- Le système Solaire.

1)- Planètes et satellites.

2)- Loi de Gravitation Universelle.

3)- Le référentiel héliocentrique.

4)- Le référentiel géocentrique.

III- Mouvements des planètes et des satellites.

1)- Le mouvement circulaire uniforme.

2)- Satellites terrestres.

3)-  Le Satellite géostationnaire.

IV- Application.

1)- Détermination de la masse d’une planète.

2)- QCM :

3)- Exercices :

QCM N° 06
Applications des lois de
Newton et Kepler
Sous forme de tableau

 Exercice 12 page 306

Exercice 21 page 308

Exercice 22 page 309

 Exercice 24 page 309

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

  Lois de Kepler ; le système solaire ; mouvements des planètes ;

mouvements des satellites ; la force gravitationnelle ; ...

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I- Lois de Kepler.

1)- Historique.

-   Pour Ptolémée (II e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde.

-   Copernic est  à l’origine du système héliocentrique (1543). 

-   Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil.

-   Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahé (1546 – 1601)

-   formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

2)- Les lois de Kepler.

a)- Première loi : la loi des trajectoires

-   Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.

-   Remarque : le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus avec le centre.

-   Définition d’une ellipse : une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F’ (les foyers) est une constante : 

-   r1 + r2 = 2 a

-   Le grand axe de l’ellipse est égal à 2 a.

-   La distance entre les deux foyers est 2 c.

Schéma : animation

b)-  Deuxième loi : Loi des aires.

-   Le segment de droite qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

-   Il résulte de ceci que la planète se déplace plus vite lorsqu’elle se rapproche du Soleil. 

-   En toute rigueur, le mouvement d’une planète n’est pas uniforme.

animation  : CABRIJAVA

 c)- Troisième loi : Loi des périodes.

-   Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe a de la trajectoire et le carré de la période T de révolution est la même :

-   .

-   Cette constante ne dépend pas de la masse de la planète.

-    Si  la trajectoire est circulaire, on peut écrire que :  

-    .

II- Le système Solaire.

1)- Planètes et Satellites.

-   Les neuf Planètes gravitent approximativement dans le même plan autour d’une étoile centrale : 

-   Le Soleil.

-   Ce plan qui contient le centre du Soleil est appelé : Plan de l’écliptique.

-   Le système Solaire comprend : 

-   le Soleil,   les planètes ( Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton) et des satellites naturels ou artificiels.

Additif : 

En août 2006, l'Union Astronomique internationale a décidé que Pluton n'était plus une planète, mais une planète naine.

Définition d'une planète :

Pour qu'un objet céleste soit une planète, il faut :

  1. Qu'il soit en orbite autour du Soleil,

  2. Qu'il ait une gravité suffisante pour garder une forme presque ronde,

  3. Que sa gravité ait attiré tout ce qui se déplaçait à proximité dans l'espace pendant sa rotation autour du Soleil, afin que sa route soit dégagée.

  • Pluton n'est plus une planète car elle ne respecte pas la troisième condition (il existe beaucoup d'objets autour d'elle dans sur son trajet orbital)

  • On dénombre pour le moment 3 planètes naines : Cérès, Pluton et Eris.

Sources : Lucy et Stephen HAWKING Georges et les secrets de L'UNIVERS

-   Les trajectoires des planètes sont des ellipses très voisines de cercles (sauf pour Pluton qui joue un rôle un peu particulier).

-   Dans le référentiel Héliocentrique, le mouvement du centre d'une planète autour du Soleil est quasiment circulaire.

-   Le centre de chaque trajectoire circulaire coïncide presque avec le centre du Soleil.

-   La Terre possède un seul satellite naturel (La Lune) et un nombre important de satellites artificiels.

2)- Loi de gravitation Universelle.

Énoncé :

-   Deux corps ponctuels A et B de masses respectives mA et mB exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction,  

-   directement opposées, 

-   dirigées suivant la droite (AB), 

-   de valeur proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance r.

-   Schéma :

 

-   Expression vectorielle :

-   Principe de l’action et de la réaction :

-  

-   G est la constante de gravitation Universelle : G 6,67 x 10 – 11 m 3. kg – 1 . s – 2.

-   La loi de gravitation Universelle s’applique au corps à répartition sphérique de masse comme les planètes.

-   Application :  

-   Calculer  la valeur des forces d’attraction Soleil –Terre et Terre–Soleil.

-   Pourquoi une seule de ces actions est perceptible ? Laquelle ?

-   Données :

MS = 1,98 x 10 30 kg

MT = 5,98 x 10 24 kg

rST = 149,5 x 10 6 km

G 6,67 x 10 – 11  S.I 

-   Valeur des forces : d’après le principe de l’action et de la réaction :

-   

-   L’action du Soleil sur la Terre est perceptible car :

-  

3)- Le référentiel héliocentrique.

-   C’est un solide imaginaire constitué par le centre S du Soleil et de 3 axes d’origine S parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.

-   Le référentiel héliocentrique est galiléen.

-   On peut considérer que les planètes du système solaire ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel héliocentrique.

4)- Le référentiel géocentrique.

Animation : CABRIJAVA

-   C’est un solide imaginaire constitué par le centre T de la Terre et de 3 axes d’origine T parallèles aux directions de trois étoiles lointaines fixes.

-   Le référentiel géocentrique est galiléen pour des durées d’étude inférieures à 365 j.

-   Il n’est pas entraîné  dans le mouvement de rotation de la Terre.

-   Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation de période T = 24 h.

-   On peut considérer que les satellites de la Terre ont un mouvement quasi circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

 

III- Mouvements des planètes et des satellites.

1)- Le mouvement circulaire uniforme.

a)- Caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.

-   Considérons un point mobile M animé d’un mouvement circulaire uniforme.

-   La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R  et la valeur de la vitesse ne change pas au cours du temps.

-   Pour simplifier l’étude d’un tel mouvement et en déduire les caractéristiques, il faut utiliser le repère de Frenet :

-   

-     désigne un vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

-     désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à et orienté vers  le centre O du cercle.

Animation : CABRIJAVA

-   Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point considéré .

-   Le vecteur vitesse change de direction à chaque instant.

-   Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il faut dériver cette expression par rapport au temps.

-     (1) ceci se dérive comme un produit.

-   Le vecteur accélération peut se décomposer de la façon suivante :

-  

-   R est le rayon de la trajectoire circulaire.

-   En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :

-   Accélération tangentielle qui dépend de la variation de la valeur de la vitesse.

-   Accélération normale qui est liée à la variation de la direction du vecteur vitesse.

-   Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-   

-   L’accélération est radiale et centripète.

-   Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire.

2)- Satellites terrestres.

Application :

-   on étudie le mouvement d’un satellite de la Terre dans le référentiel géocentrique. 

-   Ce satellite a une masse m et son centre d’inertie est situé à la distance R du centre de la terre. La masse de la Terre est notée : MT.

-   Quelles sont les caractéristiques de la force d’attraction gravitationnelle qu’il subit ? En déduire celles de son accélération. 

-   On néglige les forces d’attraction gravitationnelle exercées par les planètes voisines et par le Soleil.

-   Que se passe-t-il lorsque la trajectoire du satellite est circulaire ?

-   Donner l’expression de sa vitesse dans le référentiel géocentrique.

-   On note R = RT + h, ou h désigne l’altitude du satellite.

-   Comment varie la valeur de la vitesse en fonction de l’altitude ?

-   Donner l’expression et calculer la vitesse et la période de la station orbitale ISS de masse m = 415 t

-   et d’altitude h = 400 km (RT = 6380 km ; MT = 5,98 x 10 24  kg ;

-   G = 6,67 x 10 – 3  m 3.s – 2 .kg).

 

Correction :

-   Le satellite S est soumis à une force gravitationnelle exercée par la Terre T.

-   Expression vectorielle de la force :

-  

-   Dans le référentiel géocentrique, on applique la deuxième loi de Newton :

-   

-   Pour simplifier l’étude, on travaille dans le repère de Frenet :

-  

-   On remarque que .

-   L’expression de l’accélération dans ce repère :

-   Dans le référentiel géocentrique, l’accélération du centre d’inertie du satellite est indépendante de sa masse.

-   Le vecteur accélération est centripète.

-   Si la trajectoire du satellite est circulaire, alors :

-    

-   puisque dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme :

-   

-   En identifiant :

-  

-   Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d’un satellite en orbite circulaire est uniforme.

-   Sa vitesse dépend de l’altitude mais est indépendante de sa masse m.

-   

-   La vitesse diminue lorsque l’altitude augmente.

-   Valeur de la vitesse :

-  

-   Expression de la période : durée nécessaire pour effectuer un tour :

-   

-   Valeur de la période.

-   

3)- Le Satellite géostationnaire.

-   Un Satellite Géostationnaire est un Satellite qui reste toujours à la verticale d’un même point P de la Terre. 

-   Le plan de l’orbite dans le référentiel géocentrique est le plan équatorial.

-   Quelle est la période T de révolution d’un tel Satellite  ?

-   En déduire l’altitude h d’un Satellite géostationnaire.

-   Période de révolution d’un Satellite Géostationnaire :

-   C’est la durée pour effectuer un tour dans le référentiel géocentrique :

-   c’est la durée d’un jour sidéral

1 j = 86164 s = 23 h 56 min 4 s

-   altitude de révolution d’un Satellite Géostationnaire : 

-   

-   

Animation : CABRIJAVA

Vidéo

 

IV- Application.

 

1)- Détermination de la masse d’une planète.

Lorsqu’un Satellite est animé d’un mouvement circulaire, autour d’une planète de masse M, le rayon r de son orbite et la période T de son mouvement vérifient la troisième loi de Kepler : 

-   

a)- Les Satellites géostationnaires de la Terre ont une orbite circulaire de rayon rG = 42164 km et une période TG = 86164 s. Calculer la masse MT de la Terre.

b)- Mars a deux Satellites naturels, Phobos et Deimos. Phobos gravite à  la distance rp = 9380 km du centre de Mars avec une période Tp = 7 h 39 min.

-   Deimos a une trajectoire quasi circulaire de rayon  rD = 23460 km et une période de révolution TD = 30 h 18 min.

-   Calculer la masse MM de la planète Mars à partir des caractéristiques du mouvement de Phobos et de Deimos.

-   Comparer les valeurs obtenues.

c)- Au cours de la mission APOLLO XVII en 1972, le module de commande en orbite autour de la Lune à une distance de 2040 km du centre de celle-ci, avait une période de 8240 s dans le référentiel Sélénocentrique.

-   Calculer la masse de la Lune.

 

Solution :

-   Masse de la Terre  :

-   

-   Masse de la planète Mars : En utilisant les caractéristiques de Phobos.

-   

-   en utilisant les caractéristiques de Deimos.

-  

-   Comparaison des valeurs :

-  

-   incertitude relative :

-   Masse de la Lune  :

-   

2)- QCM :

QCM N° 06
Applications des lois de
Newton et Kepler
Sous forme de tableau

3)- exercices : 

 Exercice 12 page 306

Exercice 21 page 308

Exercice 22 page 309

 Exercice 24 page 309