Phys. N° 13

Oscillateurs

mécaniques.

Cours.

 

   

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Programme 2012 :

Programme 2012 : Physique et Chimie

 

I - Notion de système oscillant.

1)- Quelques exemples.

2)- Particularité d’un système oscillant.

3)- Le pendule pesant.

II - Le pendule simple.

1)- Le modèle du pendule simple.

2)- Étude expérimentale.

III -  Le pendule élastique.

1)- Force de rappel exercée par un ressort.

2)- Expression de la période propre

de l’oscillateur élastique.

3)- Étude dynamique du sytème solide-ressort.

IV -  Phénomène de résonance.

1)- Les oscillations forcées : Définition.

2)- Exemple : Le Haut-Parleur

3)- Conclusions.

V - Applications.

1)- QCM :

2)- Exercices :

TP Physique N° 13 : Systèmes mécaniques oscillants
TP Physique N° 14 : Le pendule élastique, étude énergétique

 
Exercices

Exercice 12 page 328

Exercice 13 page 329

Exercice 31 page 332.

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

  système oscillant ; pendule simple ;

pendule élastique ; résonance ; ...

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I- Notion de système oscillant.

1)- Quelques exemples.

-  Une balançoire, une masse accrochée à un ressort, une masse accrochée à un fil sont des systèmes oscillants mécaniques.

2)- Particularité d’un système oscillant.

-  Un système oscillant possède une énergie potentielle minimale.

-  Lorsqu’on écarte le système de son état d’équilibre et qu’on l’abandonne à lui-même, il effectue des oscillations libres autour de son état d’équilibre.

-  On appelle oscillation la variation cyclique autour d’une valeur moyenne d’une grandeur caractérisant l’état du système.

-  En physique, l’amplitude désigne la moitié de l’écart entre la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction. 

-  C’est une grandeur positive :

3)- Le pendule pesant.

a)- Définition.

-  Un pendule pesant est un système oscillant en rotation autour d’un axe horizontal.

-  Écarté de sa position d’équilibre, il oscille autour de cette position sous la seule action de son poids.

-  Une balançoire constitue un pendule pesant.

-  Exemple de pendule pesant : pendule constitué d’un disque de masse m surmonté d’une tige de masse négligeable devant celle du disque.

-  L’ensemble peut pivoter librement autour d’un axe horizontal.

b)- Action des forces.

-  Le pendule est soumis à deux forces : son poids  et la force  exercée par l’axe de rotation.

-  Cette dernière n’a aucun effet sur le mouvement du pendule (sa ligne d’action passe par l’axe de rotation).

-  Lorsque le pendule est en équilibre, la ligne d’action du poids passe par l’axe de rotation.

-  Pour cette position particulière, le poids n’a aucune action sur la rotation du pendule.

-  Si l’on écarte le pendule de cette position, la ligne d’action du poids ne passe plus par l’axe de rotation et

le poids a une action sur la rotation du pendule, le pendule tend à revenir vers sa position d’équilibre.

-  Un pendule est en équilibre stable lorsque le centre d’inertie est sur la verticale passant par l’axe de rotation et est situé en dessous de l’axe de rotation.

Animation : CABRIJAVA.

c)- Grandeurs caractéristiques.

-  On peut repérer à chaque instant l’abscisse angulaire θ (t) : 

c’est l’angle formé par le pendule à la date t et le pendule à l’équilibre.

-  C’est une grandeur algébrique.

-  L’amplitude θm est la valeur absolue de l’abscisse angulaire maximale.

C’est une grandeur positive.

-  La période est la durée d’une oscillation complète : un aller-retour.

d)-  Isochronisme des petites oscillations.

-  La période d’un pendule pesant ne dépend pas de l’amplitude θm des oscillations si celle-ci reste inférieure à 20 ° ;

c’est l’isochronisme des petites oscillations.

e)- Amortissement des oscillations.

-  Les forces de frottement qui s’exercent sur le pendule provoquent une diminution de l’amplitude des oscillations.

-  Le mouvement est amorti et le phénomène n’est pas rigoureusement périodique.

-  Quand l’amortissement est faible, le régime est pseudo-périodique  est possède une pseudo-période qui est voisine de la période propre du pendule.

-  Quand on augmente l’amortissement, le pendule passe d’un régime pseudo-périodique à un régime apériodique ( il n’oscille plus).

II- Le pendule simple.

1)- Le modèle du pendule simple.

-  Un pendule simple est constitué d’un objet de petites dimensions suspendu à un fil de masse négligeable.

-  La masse du fil est négligeable devant la masse m de l’objet et la longueur du fil fil > 10 R.

-  R représente le rayon d’un objet sphérique.

2)- Étude expérimentale du pendule simple : TP Physique N° 13.

-  La période propre d’un pendule simple est indépendante de la  masse m

-  Elle varie dans le même sens que la longueur du fil et en sens inverse de la valeur du champ de pesanteur.

-  La période propre des oscillations de faibles amplitudes dépend :

-  De la longueur du pendule simple

-  De la valeur g du champ de gravitation.

-  Les grandeurs et g sont des paramètres spécifiques.

-  Remarque : la période propre T0 ne dépend pas de la masse m du solide.

-  Expression de la période :

-  

-  analyse dimensionnelle :

-  

 

III- Le pendule élastique.

1)- Force de rappel exercée par un ressort.

-  Un ressort à spires non jointives exerce une force proportionnelle à la longueur du déplacement de l’extrémité libre du ressort.

      

Animation : CABRIJAVA.

-  O représente la position de l’extrémité du ressort à l’équilibre ( origine de l’axe) et M représente la position de l’extrémité du ressort lorsqu’il est excité.

-  Force de rappel  exercée par le ressort sur le solide S : 

-  expression vectorielle :

-  Valeur de la tension : F = k . | x |

-  k représente la raideur du ressort à spires non jointives en N / m,

-  x représente l’abscisse de  l’allongement du ressort par rapport à sa position d’équilibre,

-  F représente la valeur de la tension en N.

2)- Expression de la période de la période propre de l’oscillateur élastique.

a)- Période de l’oscillateur et masse du solide S.

-  On remarque que la période T0 augmente lorsque la valeur de la masse augmente.

-  La période T0 diminue lorsque la valeur de la raideur du ressort augmente.

-  Expression de la période propre du pendule élastique :

b)- Analyse dimensionnelle.

-  Montrer que cette relation a bien la dimension d’un temps.

- 

3)- étude dynamique du système solide-ressort.

-  Écarté de sa position d’équilibre et abandonné à lui-même, le solide S, en translation effectue des oscillations libres.

-  Le mobile S se déplace sur coussin d’air et on peut considérer que les frottements sont négligeables.

-   Le système  {support - ressort - solide } constitue un oscillateur libre.

-  L’étude de la variation de l’élongation x en fonction du temps t, x = f (t), montre que les oscillations sont sinusoïdales.

-  Le mobile effectue des oscillations périodiques autour de la position d’équilibre.

-  Étude du système à l’instant t.

Animation : CABRIJAVA.

-  Le repère choisi : O représente la projection de G à l’équilibre sur l’axe x’Ox et M représente la projection de G à l’instant t.

-  Bilan des forces : 

On se place dans le cas ou les forces de frottement sont négligeables devant les autres forces.

Le mobile est soumis : 

  •  à son poids

  •  à la réaction du support

  •  à la force de rappel du ressort

-  Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on peut appliquer le théorème du centre d’inertie :

-  

-  Projetons la relations sur l’axe x’Ox :

-  

-  Le mouvement de l’oscillateur élastique libre non amorti vérifie cette équation différentielle.

-  On parle d’oscillateur harmonique.

-  Remarque : l’équation différentielle se présente comme une relation du premier degré entre la fonction de x (t) et certaines de ses dérivées.

-  Cette équation différentielle est qualifiée de linéaire car elle présente cette propriété (oscillateur linéaire).

-  La solution générale de l’équation est du type :

-  La grandeur xm représente l’amplitude des oscillations, T0 représente la période propre des oscillations et φ la phase à l’origine des dates.

-  La période propre est liée aux caractéristiques du système mécanique.

-  La solution vérifie l’équation (1) si

IV- Phénomène de résonance.

1)-  Les oscillations forcées. Définition.

Définition des oscillations forcées :

-  Un système oscillant de fréquence propre f0  que l’on appelle le résonateur, subit des oscillations forcées, s’il oscille à la fréquence imposée par l’excitateur.

2)- Exemple :

-  Le haut-parleur est un exemple d’oscillations forcées.

-  On accroche un pendule élastique à la membrane du H.P.

-  On règle le G.B.F sur 10 x mHz et on affiche 500.

Puis on détermine la valeur de la fréquence de vibration du dispositif.

-  Schéma du montage.

-  Le pendule élastique effectue des oscillations forcées à la fréquence f  imposée par le G.B.F.

on augmente lentement la fréquence de l’excitateur et on observe le comportement du pendule élastique (le résonateur).

-  L’amplitude des oscillations du pendule élastique (résonateur) dépend de la fréquence f de l’excitateur.

-  Cette amplitude est maximale lorsque f0 f.

On dit que le résonateur entre en résonance.

3)- Conclusions.

-  Un système oscillant entre en résonance lorsqu’il est excité à une fréquence voisine de sa fréquence propre f0

-  à la résonance, l’amplitude des oscillations est maximale.

-  La résonance se manifeste de manière importante lorsque le système est peu amorti.

-  Courbe de résonance.

Exemple :

-  Remarque : si l’amortissement est faible, la résonance est aiguë,

-  Si l’amortissement est fort, la résonance est floue.

-  Si l’amortissement est faible fR favec fR f0.

 

Animation : résonnance d'un pendule élastique.

V- Applications.

1)- QCM :

2)- Exercices :

Exercices

Exercice 12 page 328

Exercice 13 page 329

Exercice 31 page 332.