Phys. N° 14

Énergie

mécanique :

Exercices.

Correction.

 

   

 

Recherche GoogleMoteur de recherche sur les différents sites

 


Programme 2012 : Travail et énergie.

Programme 2012 : Physique et Chimie

I -Exercice 11 page 353.

II -Exercice 14 page 353.

III - Exercice 26 page 355.

IV - Exercice 27 page 356.

Pour aller plus loin : 

Mots clés :

  Energie mécanique ; travail d'une force ;

énergie potentielle ; énergie cinétique ...

Google

I- Exercice 11 page 353.

Un ressort horizontal de raideur k = 100 N / m, initialement à vide est étiré de 2,0 cm.

1)-  

a)-  établir l’expression du travail de la tension  exercée à l’extrémité libre du ressort pour ce déplacement et calculer sa valeur. (Faire un schéma)

b)- Que vaut alors le travail de la force de rappel exercée par le ressort ?

2)- Le ressort est étiré de 3,2 cm supplémentaires. Calculer la variation correspondante de l’énergie potentielle élastique du ressort.

 

Un ressort horizontal de raideur k = 100 N / m, initialement à vide est étiré de 2,0 cm.

1)-  

a)-  établir l’expression du travail de la tension  exercée à l’extrémité libre du ressort pour ce déplacement et calculer sa valeur. (Faire un schéma)

-  expression du travail de la tension .

-  Comme l’allongement passe de xA à  xB, la force varie au cours du déplacement.

Le travail se calcule en prenant une infinité de déplacements élémentaires :

-  

-  On en déduit l’expression du travail élémentaire effectué par la force pour passer de l’allongement x à l’allongement x + dx :

-  

-  Par intégration, on obtient le travail de la force :

-  

-  Application numérique :

-  

b)- Que vaut alors le travail de la force de rappel exercée par le ressort ?

-  Travail de la force de rappel exercée par le ressort.

-  À chaque instant :  :  Troisième loi de Newton.

-  

2)- Le ressort est étiré de 3,2 cm supplémentaires. Calculer la variation correspondante de l’énergie potentielle élastique du ressort.

-  Variation de l’énergie potentielle élastique du ressort ;

-  La variation d’énergie potentielle est égal au travail de la force de tension  pour passer de xA = 2 cm à  xB = 5,2 cm.

 

-  

 

 

 

II- exercice 14 page 353.

Un pendule élastique horizontal est constitué d’un ressort idéal de raideur k et d’un mobile de masse m. (Faire un schéma du dispositif)

On néglige les phénomènes d’amortissement.

1)- Donner l’expression de l ‘énergie mécanique Em du pendule élastique en fonction de la position x du mobile par rapport à sa position d’équilibre et de sa vitesse .

2)- Que vaut la dérivée de Em du système S par rapport au temps ?

3)- En déduire l’équation différentielle du mouvement.

 

Un pendule élastique horizontal est constitué d’un ressort idéal de raideur k et d’un mobile de masse m

On néglige les phénomènes d’amortissement.

1)- Donner l’expression de l ‘énergie mécanique Em du pendule élastique en fonction de la position x du mobile par rapport à sa position d’équilibre et de sa vitesse .

-  Énergie mécanique du pendule élastique :

-  L’énergie mécanique  Em du système S = { solide + ressort } horizontal est la somme de l’énergie cinétique EC du système S et de l’énergie potentielle élastique Epe des ressorts.

-  

2)- Que vaut la dérivée de Em du système S par rapport au temps ?

-  Dérivée de Em du système S par rapport au temps.

-  Au cours du mouvement, en l’absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve.

-  On néglige les phénomènes d’amortissement.

-  

3)- En déduire l’équation différentielle du mouvement.

-  équation différentielle.

-  

 

 

 

III- exercice 26 page 355.

Étude d’un ressort.

Un ressort de masse négligeable, à spires non jointives, a un coefficient de raideur k et une longueur à vide 0.

L’axe du ressort est horizontal.

Il est fixé à son extrémité gauche à un support fixe. 

À son extrémité droite, une bille, de masse m = 150 g, est fixée à la butée P.

Dans cette première partie de l’exercice, la bille est solidaire de la butée P

Elle ne sera libérée que dans la seconde partie.

On prend pour l’intensité de la pesanteur : g = 9,81 m / s².

On travaille dans le repère , l’origine O du repère coïncide avec le point P quand le ressort n’est ni comprimé, ni étiré.

On néglige les frottements et on repère à l’instant t la position P par son abscisse x (t).

On comprime le ressort de sorte qu’à l’instant t = 0 s, x (0) = 0,10 m et on abandonne la bille sans vitesse initiale.

On chronomètre quinze allers et retours de la bille.

On lit la durée 6,12 s sur le chronomètre.

1)- Déterminer la valeur de la période T0 du phénomène.

2)- à l’aide de l’analyse dimensionnelle, montrer que T0 est proportionnelle à .

On admettra que le coefficient de proportionnalité est égal à 2 p.

3)- Exprimer en fonction de m et de T0 la constante de raideur k du ressort, puis la calculer.

 étude du lanceur de la bille du flipper.

Le flipper est constitué d’un plan horizontal et d’un plan incliné d’un angle α = 20 ° avec l’horizontale et d’un longueur L = 80 cm.

Au sommet du plan incliné, se trouve une cible H à atteindre.

On comprime le ressort de x (0) = 0,10 m, on pose la bille contre la butée et on libère le système.

La bille quitte la butée et on considère qu’elle poursuit son mouvement en glissant sans frottement sur la portion de plan horizontal, puis sur le plan incliné avant d’atteindre la cible H.

1)- D’où provient l’énergie acquise par la bille.

2)- On suppose que l’énergie mécanique est conservée et que la bille quitte le ressort quand celui-ci reprend sa longueur à vide 0.

a)- Établir l’expression littérale de la vitesse avec laquelle la bille quitte le ressort, puis effectuer l’application numérique.

b)-  En considérant que l’énergie mécanique de la bille, déduire de la question précédente sa vitesse en A.

 

3)- On veut déterminer la vitesse minimale vmin que doit posséder la bille, en A, pour atteindre la cible H au sommet du plan incliné.

a)- Faire un schéma de la bille en mouvement sur le plan incliné entre les points A et B et représenter les forces qui s’exercent sur elle.

b)- Établir l’expression du travail de ces forces entre les points A et H. Effectuer l’application numérique.

-  

c)- Établir l’expression de vmin, puis effectuer l’application numérique.

4)- En utilisant les résultats des questions précédentes, établir l’expression littérale de la longueur minimale xmin (0) de compression initiale du ressort pour que la bille atteigne la cible H.

-  Effectuer l’application numérique.

 

Étude d’un ressort.

Un ressort de masse négligeable, à spires non jointives, a un coefficient de raideur k et une longueur à vide 0.

L’axe du ressort est horizontal.

Il est fixé à son extrémité gauche à un support fixe. 

À son extrémité droite, une bille, de masse m = 150 g, est fixée à la butée P.

Dans cette première partie de l’exercice, la bille est solidaire de la butée P

Elle ne sera libérée que dans la seconde partie.

On prend pour l’intensité de la pesanteur : g = 9,81 m / s².

On travaille dans le repère , l’origine O du repère coïncide avec le point P quand le ressort n’est ni comprimé, ni étiré.

On néglige les frottements et on repère à l’instant t la position P par son abscisse x (t).

On comprime le ressort de sorte qu’à l’instant t = 0 s, x (0) = 0,10 m et on abandonne la bille sans vitesse initiale.

On chronomètre quinze allers et retours de la bille.

On lit la durée 6,12 s sur le chronomètre.

1)- Déterminer la valeur de la période T0 du phénomène.

-  Période T0 du phénomène.

- 

2)- à l’aide de l’analyse dimensionnelle, montrer que T0 est proportionnelle à .

On admettra que le coefficient de proportionnalité est égal à 2 p.

-  analyse dimensionnelle.

-  

-  

3)- Exprimer en fonction de m et de T0 la constante de raideur k du ressort, puis la calculer.

-  Constante de raideur du ressort.

-  

 étude du lanceur de la bille du flipper.

Le flipper est constitué d’un plan horizontal et d’un plan incliné d’un angle α = 20 ° avec l’horizontale et d’un longueur L = 80 cm.

Au sommet du plan incliné, se trouve une cible H à atteindre.

On comprime le ressort de x (0) = 0,10 m, on pose la bille contre la butée et on libère le système.

La bille quitte la butée et on considère qu’elle poursuit son mouvement en glissant sans frottement sur la portion de plan horizontal, puis sur le plan incliné avant d’atteindre la cible H.

1)- D’où provient l’énergie acquise par la bille.

-  Énergie acquise par la bille.

-  On comprime le ressort. À l’instant initial, le ressort a emmagasiné de l’énergie potentielle élastique.

-  Au cours de la détente, cette énergie est transformée en énergie cinétique. La bille possède alors une vitesse de déplacement v.

2)- On suppose que l’énergie mécanique est conservée et que la bille quitte le ressort quand celui-ci reprend sa longueur à vide 0.

a)- Établir l’expression littérale de la vitesse avec laquelle la bille quitte le ressort, puis effectuer l’application numérique.

-  Expression littérale et valeur de la vitesse de la bille.

-  Comme il n’y a pas de pertes d’énergie : L’énergie potentielle élastique du ressort s’est transformée en énergie cinétique dans la bille.

-  État initial position xi = 0,10 m, le système S = {bille, ressort}, ne possède que de l’énergie potentielle élastique :

-  

-  Instant t :

à cet instant, le ressort n’est ni comprimé, ni étiré.

La bille possède la vitesse v0.

le système S = {bille, ressort}, ne possède que de l’énergie cinétique :

-  

-  Comme l’énergie mécanique du système S se conserve :

-  

b)-  En considérant que l’énergie mécanique de la bille, déduire de la question précédente sa vitesse en A.

-  Vitesse de la bille au point A.

-  On considère le système S= {bille, Terre}. La bille n’est plus en interaction avec le ressort.

-  À l’instant où la bille n’est plus en contact avec le ressort, elle possède une vitesse v0.

-  On prend comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur l’altitude du plan horizontal.

-  Le système S possède l’énergie mécanique suivante :

-  

-  Au cours du déplacement de 0 à A, la bille se déplace sur un plan horizontal.

-  On néglige les forces de frottement. Son énergie mécanique se conserve :

-  

3)- On veut déterminer la vitesse minimale vmin que doit posséder la bille, en A, pour atteindre la cible H au sommet du plan incliné.

a)- Faire un schéma de la bille en mouvement sur le plan incliné entre les points A et B et représenter les forces qui s’exercent sur elle.

-  Schéma :

b)- Établir l’expression du travail de ces forces entre les points A et H. Effectuer l’application numérique.

-  

c)- Établir l’expression de vmin, puis effectuer l’application numérique.

-  Vitesse minimale de la bille en A.

-  

-  En utilisant la conservation de l’énergie mécanique :

-  

-  Valeur de la vitesse limite.

-  

4)- En utilisant les résultats des questions précédentes, établir l’expression littérale de la longueur minimale xmin (0) de compression initiale du ressort pour que la bille atteigne la cible H.

-  Effectuer l’application numérique.

-  Longueur minimale de compression xmin (0).

-  

 

 

 

IV- exercice 27 page 356.

Étude énergétique d’un oscillateur mécanique.

Un oscillateur mécanique est constitué d’un mobile de masse m = 46 g qui peut glisser sur un banc à coussin d’air horizontal, et de deux ressorts identiques, parallèles au banc, ayant chacun la même constante de raideur k.

On notera 0 et e respectivement les longueurs à vide et à l’équilibre des deux ressorts.

On enregistre les évolutions temporelles x = f (t) de l’élongation du centre d’inertie G du mobile mesurée par rapport à la position d’équilibre 0 et v = g (t) de la vitesse de ce point.

 

Animation : CABRIJAVA.

1)- En précisant les conditions initiales choisies, établir l’expression numérique de x (t).

2)- D’après la courbe 1, à quels instants la vitesse du mobile est-elle égale à  ?

3)- La courbe 2 représente les variations de l’énergie potentielle du système S = { solide + ressort } en fonction de l’élongation x.

- En déduire la valeur de l’énergie cinétique du mobile quand .

4)- Montrer que l’équation différentielle du mouvement du centre d’inertie G du mobile est : .

-  En déduire la valeur de k.

-  Rappel : L’expression de la force de rappel d’un ressort est donnée par la relation :

-  Le point O indique la position de l’extrémité du ressort à vide et le point M, la position de l’extrémité du ressort excité.

 

Étude énergétique d’un oscillateur mécanique.

Un oscillateur mécanique est constitué d’un mobile de masse m = 46 g qui peut glisser sur un banc à coussin d’air horizontal, et de deux ressorts identiques, parallèles au banc, ayant chacun la même constante de raideur k.

On notera 0 et e respectivement les longueurs à vide et à l’équilibre des deux ressorts.

On enregistre les évolutions temporelles x = f (t) de l’élongation du centre d’inertie G du mobile mesurée par rapport à la position d’équilibre 0 et v = g (t) de la vitesse de ce point.

 

Animation : CABRIJAVA.

1)- En précisant les conditions initiales choisies, établir l’expression numérique de x (t).

-  Expression de x = f (t).

-  À l’instant initial t = 0 s, l’élongation du ressort est maximale xm = 0,04 m, et la vitesse est nulle, v0x = 0 m / s.

-  De plus, x est une fonction sinusoïdale  du temps :

- 

2)- D’après la courbe 1, à quels instants la vitesse du mobile est-elle égale à  ?

-  étude de la vitesse.

-  Amplitude de la vitesse :

-  La valeur de l’amplitude de la vitesse en tenant compte de l’échelle :

-  vm ≈ 1,2 m / s  (voir la représentation graphique).

-  On peut déterminer graphiquement les instants où la vitesse du mobile vaut :

.

 t1

 t2

 t3

 t4

0,13 s

0,18 s

0,34 s

0,39 s

 

 

3)- La courbe 2 représente les variations de l’énergie potentielle du système S = { solide + ressort } en fonction de l’élongation x.

- En déduire la valeur de l’énergie cinétique du mobile quand .

-  Échanges énergétiques.

-  L’énergie mécanique  Em du système S = { solide + ressort } horizontal est la somme de l’énergie cinétique EC du système S et de l’énergie potentielle élastique Epe du ressort.

-  Le solide se déplace sur coussin d’air.

On néglige les forces de frottements.

L’énergie mécanique se conserve.

-  Lorsque la vitesse est nulle, l’élongation est extrémale et lorsque la vitesse est extrémale, l’élongation est nulle.

-  Énergie mécanique initiale : à l’instant initial, l’élongation du ressort est maximale et la vitesse est nulle.

- 

-  Valeur de l’énergie cinétique si

-  

-  additif :

4)- Montrer que l’équation différentielle du mouvement du centre d’inertie G du mobile est : .

-  En déduire la valeur de k.

-  équation différentielle du mouvement.

-  Étude du système à l’équilibre. Étude statique.

Animation : CABRIJAVA.

-  Le ressort R1 a une longueur à vide 01. Son extrémité O1 a pour abscisse x01.

-  Le ressort R2, une longueur à vide 02. Son extrémité O2 a pour abscisse x02.

-  Lorsqu’on relie les deux ressorts au mobile, les deux ressorts sont tendus et le système est à l’équilibre.

-  La longueur du ressort R1 est 1 et celle du ressort R2, est 2.

-  Le principe d’inertie appliqué au mobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne :

-  

-  Rappel : L’expression de la force de rappel d’un ressort est donnée par la relation :

-  Le point O indique la position de l’extrémité du ressort à vide et le point M, la position de l’extrémité du ressort excité.

-  Cette relation appliquée à l’équation (1) donne :

-  

-  On projette la relation sur l’axe x’Ox :

-  

-  Étude du système à l’instant t. Étude dynamique.

Animation : CABRIJAVA.

-  Le mobile se déplace.

La deuxième loi de Newton appliquée au mobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne :

-  

-  

-  On projette la relation sur l’axe x’Ox :

-    or

-  

-  On utilise le fait que : k1 = k2 = k.

-  

-  Valeur de k.

-  À partir de la période :

-