TP Physique N° 11

Chute verticale

dans un fluide.

Enoncé.

 

   

Correction

Correction succincte

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Programme 2012 :

Programme 2012 : Physique et Chimie

 

Matériel :

Huile d’olive vierge – éprouvette graduée de 1 L

différentes billes métalliques – balle de tennis de table

une balance – un ordinateur muni d’un tableur – une Webcam

les logiciels : Virtualdub Logiciel AVIMECA 2.7.

Vidéo : Bille50.zip

Fichier Excel : methode_euler_eleves.xlsm

Fichier avec les valeurs

 

 Objectifs : résoudre une équation différentielle par la méthode d’Euler.

 

I -Chute d'une bille dans l'huile.

II -Exploitation des résultats.

III -Conclusions.

Tableau de valeurs et courbes

 

I- Chute d’une bille dans l'huile.

 1)- Protocole expérimental.

-  On filme, à l’aide d’une Webcam la chute d’une bille dans l’huile contenue dans une éprouvette graduée de 1 L.

On obtient le fichier : bille50.

-  Ouvrir le logiciel d’acquisition et de traitement vidéo :

aviméca 2.7. (Présentation avec Tour Operator)

-  Clique sur l’icône :  et dans le dossier vidéo, choisir le fichier : bille50.

-  Avant d’effectuer les mesures, cliquer sur l’icône  et choisir 200 % pour agrandir l’image et améliorer la précision.

-  Clic gaucheCliquer sur l’icône :  propriétés du clip et les noter.

-  Clic gaucheCliquer sur l’icône étalonnage :

 

Choisir l’origine des axes.

 

Sélectionner, échelle horizontale. Placer le premier point à l’extrême gauche et le deuxième à l’extrême droite.

entrer la valeur 0.10 m

Sélectionner, échelle verticale. Placer le premier point 1 sur la graduation 500 mL et le deuxième point sur la graduation 50 mL.

Entrer la valeur 0.242 m

Cliquer sur mesures.

Le logiciel est prêt à enregistrer les différentes valeurs.

À l’aide de la cible, repérer la position de la bille et faire un clic gauche sur la première image.

Automatiquement, le logiciel affiche la deuxième image de la vidéo et laisse une marque.

Repérer les positions successives occupées par la bille au cours du temps.

-  Remarque : Ne pas oublier de choisir l’origine des axes. On peut choisir l’origine des axes après avoir effectué les mesures.

2)- traitement des résultats.

 

-  Clic gaucheCliquer sur l’icône : . Il apparaît l’affichage suivant :

-  Clic gaucheCliquer sur OK. Les valeurs sont dans le presse papier. Il ne reste plus qu’à les exploiter.

-  Le logiciel : EXCEL.

-  Ouvrir le fichier : méthode_euler_eleves.xls

-  Sélectionner la cellule jaune et coller. On obtient l’affichage suivant :

-  À l’aide du logiciel :

-  Déterminer la valeur de la vitesse à chaque instant et la valeur de la vitesse limite vlim.

Cette valeur est très importante pour la suite.

-  Tracer v (t).

-  Commenter la courbe obtenue.

 

II- Exploitation des résultats.

 

1)- Modélisation.

-  La force de frottement exercée par un fluide peut-être modélisée de deux façons :

-  Modèle 1 : f = k1.v

-  Modèle 2 : f = k2.v 2

-  À partir de la deuxième loi de Newton, établir l’équation différentielle liant l’accélération a à la vitesse v et la mettre sous la forme :

-    avec

 

2)- méthode d’Euler.

 

-  Résoudre cette équation différentielle par la méthode d’Euler à l’aide du tableur Excel à l’aide des deux modèles de la force de frottement et la valeur de la vitesse limite vlim.

-  Tracer pour chaque modèle v(t) et comparer les courbes obtenues avec celle obtenue expérimentalement.

-  Conclure quant à la validité du modèle pour la force de frottement hydrodynamique.

-  Que se passe-t-il si la valeur du pas δt augmente ou diminue ? Quelle est la valeur du pas la mieux adaptée à l’expérience ?

 

-  Explication de la méthode :

-  On se propose de résoudre numériquement l’équation différentielle (2) par la méthode d’Euler. 

-  Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f (t) et d’en déduire une représentation graphique.

-  À condition de choisir δt suffisamment petit, on peut écrire que :

-  Or δv représente la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée δt.

-  Si on connaît les valeurs de α et b et les conditions initiales, on peut trouver de proche en proche les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps.

-  Pour le modèle 1 : la relation devient :

-  Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t0 = 0, v = v0.

-  On choisit une valeur de dt suffisamment petite : C’est le pas du calcul.

-  À la date t1 t0 δt,  la vitesse est devenue : v1 v0 δv0 avec

-  

-  en conséquence :  ou

-  Cette valeur est calculable puisque les valeurs α1, b et v0 sont connues.

-  On procède de la même façon pour le calcul de v 2.

-  À la date t2 t1 δt,  la vitesse est devenue : v2 v1 δv1 = v1 + (b –  α1.v1).δt.

-  À la date tn+1 tn δt,  la vitesse est devenue : vn+1 vn δvn = vn + (b α1.vn).δt.

-  On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt

-  On peut ainsi obtenir la représentation graphique de v en fonction du temps t.

-  L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.

 

-  Pour le modèle 2 : la relation devient :

-  Les conditions initiales sont les suivantes : au temps t0 =  0, v = v0.

-  On choisit une valeur de δt suffisamment petite : C’est le pas du calcul.

-  À la date t1 t0 δt,  la vitesse est devenue : v1 v0 δv0 avec

-  

-  Cette valeur est calculable puisque les valeurs α2, b et v0 sont connues.

-  On procède de la même façon pour le calcul de v 2.

-  À la date t2 t  +  δt,  la vitesse est devenue : v2 v1 δv1 = v1 + (b –  α2.v21).δt.

-  À la date tn+1 tn δt,  la vitesse est devenue : vn+1 vn δvn = vn + (b –  α2.v 2 n).δt.

-  On peut en répétant ce calcul, déterminer la valeur de la vitesse aux différentes dates séparées de δt

-  On peut ainsi obtenir la représentation graphique de v en fonction du temps t.

-  L’équation différentielle « a été résolue » numériquement par une méthode itérative.

-  Remarque :

-  On peut améliorer la précision des calculs en choisissant un pas de calcul δt  plus petit, mais cela impose un grand nombre de calculs. 

-  Il faut disposer d’une calculatrice graphique ou d’un tableur

 

3)- Modèle 1 : Calcul des constantes α1 et b.

-     et 

-  La connaissance des différentes masses volumiques permet de calculer la valeur de b.

-  à partir de la valeur de la vitesse limite, on peut calculer la valeur de a1.

-  Lorsque le mobile a atteint sa vitesse limite :

 

4)- Modèle 2 : Calcul des constantes a 2 et b.

-     et 

-  Pour b, la valeur est la même :

-  à partir de la valeur de la vitesse limite, on peut calculer la valeur de a2.

-  Lorsque le mobile a atteint sa vitesse limite :

 

 

5)- exploitation avec Excel.

-  Entrer les valeurs des différentes constantes dans les cellules.

-  Méthode 1 :

-  On utilise le fait que :  avec  et que :  

-  La colonne E permet de calculer les différentes vitesses et la colonne D permet de calculer la variation de la valeur de la vitesse pendant l’intervalle dt.

-  Dans la cellule E15, entrer la valeur de v0 = 0

-  Dans la cellule D15 entrer la formule : = $H$12 – $I$12 * E15 puis dupliquer cette formule vers le bas.

-  Dans la cellule E16 entrer la formule : =E15+D15*$H$9 puis dupliquer vers le bas.

 

-  Méthode 2 :

-  On utilise le fait que :  avec  et que :

-  Dans la cellule G15, entrer la valeur de v0 = 0

-  Dans la cellule F15 entrer la formule : = $H$12 – $J$12 * G15^2 puis dupliquer cette formule vers le bas.

-  Dans la cellule G16 entrer la formule : =G15 + F15*$H$9 puis dupliquer vers le bas.

III- Conclusions.